（广东卷）2013年普通高等学校招生全国统一考试（文数）

1 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 A 数学 文科 数学 文科 本试卷共 21 题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室 号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相 应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷 上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目 指定区域相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答 案 不准使用铅笔盒涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 锥体的体积公式为 1 3 VSh 其中 S 为锥体的底面积 h 为锥体的高 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 2 20 Sx xxxR 2 20 Tx xxxR 则ST A 0 B 0 2 C 2 0 D 2 0 2 解析 先解两个一元二次方程 再取交集 选 A 5 分到手 妙 2 函数 lg 1 1 x f x x 的定义域是 A 1 B 1 C 1 1 1 D 1 1 1 解析 对数真数大于零 分母不等于零 目测 C 3 若 34i xyii x yR 则复数xyi 的模是 A 2 B 3 C 4 D 5 侧 1 侧 侧 侧 侧 侧 侧 s i i 1 i n i 1 s 1 侧 侧 n 侧 侧 s s i 1 2 侧 2 1 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 2 1 解析 复数的运算 复数相等 目测4 3xy 模为 5 选 D 4 已知 51 sin 25 那么cos A 2 5 B 1 5 C 1 5 D 2 5 解析 考查三角函数诱导公式 51 sin sin 2 sincos 2225 选 C 5 执行如图 1 所示的程序框图 若输入n的值为 3 则输出s的值是 A 1 B 2 C 4 D 7 解析 选 C 本题只需细心按程序框图运行一下即可 6 某三棱锥的三视图如图 2 所示 则该三棱锥的体积是 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 1 解析 由三视图判断底面为等腰直角三角形 三棱锥的高为 2 则 1 11 1 1 2 3 23 V 选 B 7 垂直于直线1yx 且与圆 22 1xy 相切于第一象限的直线方程是 A 20 xy B 10 xy C 10 xy D 20 xy 解析 本题考查直线与圆的位置关系 直接由选项判断很快 圆心到直线的距离等于 1r 排除 B C 相切于第一象限排除 D 选 A 直接法可设所求的直线方程为 0yxk k 再利用圆心到直线的距离等于1r 求得2k 8 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 l l 则 B 若l l 则 C 若l l 则 D 若 l 则l 解析 基础题 在脑海里把线面可能性一想 就知道选 B 了 9 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 1 0 F 离心率等于 2 1 则 C 的方程是 3 A 1 43 22 yx B 1 34 22 yx C 1 24 22 yx D 1 34 22 yx 解析 基础题 1 2 3cab 选 D 10 设 a是已知的平面向量且 0 a 关于向量 a的分解 有如下四个命题 给定向量 b 总存在向量 c 使 abc 给定向量 b和 c 总存在实数 和 使 abc 给定单位向量 b和正数 总存在单位向量 c和实数 使 abc 给定正数 和 总存在单位向量 b和单位向量 c 使 abc 上述命题中的向量 b c和 a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析解析 本题是选择题中的压轴题 主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法 则 利用向量加法的三角形法则 易的 是对的 利用平面向量的基本定理 易的 是对的 以a的终点作长度为 的圆 这个圆必须和向量 b有交点 这个不一定能满足 是错 的 利用向量加法的三角形法则 结合三角形两边的和大于第三边 即必须 bca 所以 是假命题 综上 本题选 B 平面向量的基本定理考前还强调 过 不懂学生做得如何 品味选择题品味选择题 文科选择题答案 ACDCC BABDB 选择题 3322 再次出现 今年的选择题 很基础 希望以后高考年年出基础题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 考生小题 考生作答作答 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20分分 一 必做题 一 必做题 11 13 题 题 11 设数列 n a是首项为1 公比为2 的等比数列 则 1234 aaaa 解析 这题相当于直接给出答案了15 12 若曲线 2 lnyaxx 在点 1 a处的切线平行于x轴 则a 解析 本题考查切线方程 方程的思想 依题意 1 11 2 210 2 x yaxyaa x 4 13 已知变量 x y 满足约束条件 1 11 03 y x yx 则 zxy 的最大值是 解析 画出可行域如图 最优解为 1 4 故填 5 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线C的极坐标方程为2cos 以极点为原点 极轴为x轴的正半轴建立直角坐 标系 则曲线C的参数方程为 解析 本题考了备考弱点 讲参数方程的时候 参数的意义要理解清楚 先化成 直角坐标方程 2 2 11xy 易的则曲线 C 的参数方程为 1 cos sin x y 为参数 15 几何证明选讲选做题 如图 3 在矩形ABCD中 3 AB 3BC BE AC 垂足为E 则ED 解析 本题对数值要敏感 由 3 AB 3BC 可知 60BAC 从而 3 30 2 AECAD 22 21 2cos30 2 DEAEADAE AD 品味填空题品味填空题 选做题还是难了点 比理科还难些 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 2cos 12 f xxxR 1 求 3 f 的值 侧 3 E CB DA 5 2 若 33 cos 2 52 求 6 f 解析 1 2cos2cos1 33124 f 2 33 cos 2 52 2 4 sin1 cos 5 1 2cos2 coscossinsin 64445 f 解析 这个题实在是太简单 两角差的余弦公式不要记错了 17 本小题满分 13 分 从一批苹果中 随机抽取 50 个 其重量 单位 克 的频数分布表如下 分组 重量 80 85 85 90 90 95 95 100 频数 个 5102015 1 根据频数分布表计算苹果的重量在 90 95 的频率 2 用分层抽样的方法从重量在 80 85 和 95 100 的苹果中共抽取 4 个 其中重量在 80 85 的有几个 3 在 2 中抽出的 4 个苹果中 任取 2 个 求重量在 80 85 和 95 100 中各有 1 个的 概率 解析 1 苹果的重量在 95 90的频率为 20 0 4 50 2 重量在 85 80的有 5 4 1 5 15 个 3 设这 4 个苹果中 85 80分段的为 1 100 95分段的为 2 3 4 从中任取两个 可能的情况有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共 6 种 设任取 2 个 重量在 85 80和 100 95中各有 1 个的事件为 A 则事件 A 包含有 1 2 1 3 1 4 共 3 种 所以 6 侧 4 G E F A B C D 侧 5 D G B F C A E 31 A 62 P 解析 这个基础题 我只强调 注意格式 18 本小题满分 13 分 如图 4 在边长为 1 的等边三角形ABC中 D E分别是 AB AC边上的点 ADAE F是BC的中点 AF与DE交于点G 将ABF 沿AF折起 得到如图 5 所示的三棱 锥ABCF 其中 2 2 BC 1 证明 DE 平面BCF 2 证明 CF 平面ABF 3 当 2 3 AD 时 求三棱锥FDEG 的体积 F DEG V 解析 1 在等边三角形ABC中 ADAE ADAE DBEC 在折叠后的三棱锥A BCF 中 也成立 DEBC DE 平面BCF BC 平面BCF DE 平面BCF 2 在等边三角形ABC中 F是BC的中点 所以AF BC 1 2 BFCF 在三棱锥ABCF 中 2 2 BC 222 BCBFCFCFBF BFCFFCFABF 平面 3 由 1 可知 GECF 结合 2 可得GE DFG 平面 1 11 1 11313 3 23 2 3323324 F DEGE DFG VVDG FG GF 解析 这个题是入门级的题 除了立体几何的内容 还考查了平行线分线段成比例这个 平面几何的内容 7 19 本小题满分 14 分 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 满足 2 1 441 nn SannN 且 2514 a a a构成等比数列 1 证明 21 45aa 2 求数列 n a的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 12231 1111 2 nn a aa aa a 解析 1 当1n 时 22 1221 45 45aaaa 21 045 n aaa 2 当2n 时 2 1 4411 nn San 22 11 4444 nnnnn aSSaa 2 22 1 442 nnnn aaaa 1 02 nnn aaa 当2n 时 n a是公差2d 的等差数列 2514 a a a 构成等比数列 2 5214 aaa 2 222 824aaa 解得 2 3a 由 1 可知 2 121 45 4 1aaa 21 3 12aa n a是首项 1 1a 公差2d 的等差数列 数列 n a的通项公式为21 n an 3 12231 1111111 1 33 55 72121 nn a aa aa ann 11111111 1 2335572121 111 1 2212 nn n 解析 本题考查很常规 第 1 2 两问是已知 n S求 n a n a是等差数列 第 3 问只需裂项求和即可 估计不少学生猜出通项公式 跳过第 2 问 作出第 3 问 本 题易错点在分成1n 2n 来做后 不会求 1 a 没有证明 1 a也满足通项公式 20 本小题满分 14 分 8 已知抛物线C的顶点为原点 其焦点 0 0Fcc 到直线 20l xy 的距离 为 3 2 2 设P为直线l上的点 过点P作抛物线C的两条切线 PA PB 其中 A B为切 点 1 求抛物线C的方程 2 当点 00 P xy为直线l上的定点时 求直线AB的方程 3 当点P在直线l上移动时 求AFBF 的最小值 解析 1 依题意 023 2 22 c d 解得1c 负根舍去 抛物线C的方程为 2 4xy 2 设点 11 A xy 22 B xy 00 yxP 由 2 4xy 即 2 1 4 yx 得y 1 2 x 抛物线C在点A处的切线PA的方程为 2 1 1 1 xx x yy 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y 2 11 4 1 xy 1 1 2 yx x y 点 00 yxP在切线 1 l上 10 1 0 2 yx x y 同理 20 2 0 2 yx x y 综合 得 点 1122 A x yB xy的坐标都满足方程 yx x y 00 2 经过 1122 A x yB xy两点的直线是唯一的 直线AB 的方程为yx x y 00 2 即 00 220 x xyy 3 由抛物线的定义可知 12 1 1AFyBFy 9 所以 121212 111AFBFyyyyy y 联立 2 00 4 220 xy x xyy 消去x得 222 000 20yyxyy 22 1200120 2 yyxyy yy 00 20 xy 2 222 000000 21 221AFBFyyxyyy 2 2 000 19 22 5 2 22 yyy 当 0 1 2 y 时 AFBF 取得最小值为 9 2 解析 2013 广州一模直接命中了这一题 广一模 20 题解法 2 正是本科第 2 问的解法 并且广一模大题结构和高考完全一致 21 本小题满分 14 分 设函数xkxxxf 23 Rk 1 当1 k时 求函数 xf的单调区间 2 当0 k时 求函数 xf在 kk 上的最小值m和最大值M 解析 2 321fxxkx 1 当 1k 时 2 321 4 1280fxxx 0fx f x 在R上单调递增 2 当 0k 时 2 321fxxkx 其开口向上 对称轴 3 k x 且过 0 1 i 当 2 4124330kkk 即 30k 时 0fx f x 在 kk 上单调递增 从而当x k 时 f x 取得最小值 mf kk kk 3 k x k 10 当x k 时 f