谈谈什么是逆向思维以及培养逆向思维的重要性和必要性

谈谈什么是逆向思维以及培养逆向思维的重要性和必要性 现在孩子在解题中往往习惯正向思维而无视逆向思维或者根本没这个意识 逆向思维往 往是与众不同的方法 首先谈谈什么是逆向思维 逆向思维也叫求异思维 它是对司空见 惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式 敢于 反其道而思之 让思 维向对立面的方向发展 从问题的相反面深入地进行探索 树立新思想 创立新形象 当 大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时 而你却独自朝相反的方向思索 这样的思维 方式就叫逆向思维 人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法 其实 对于某些问题 尤其是一些特殊问题 从结论往回推 倒过来思考 从求解回到已知条件 反过去想或许会使问题简单化 谈起数学中的逆向思维大家可能觉得抽象 我先从生活中 一些通俗易懂的例子说起 1 司马光砸缸 有人落水 常规的思维模式是 救人离水 而司马光面对紧急险情 运用了逆向思维 果断地用石头把缸砸破 让水离人 救了小伙伴性命 2 田忌赛马 3 某时装店的经理不小心将一条高档呢裙烧了一个洞 其身价一落千丈 如果用织补法 补救 也只是蒙混过关 欺骗顾客 这位经理突发奇想 干脆在小洞的周围又挖了许多小 洞 并精于修饰 将其命名为 凤尾裙 一下子 凤尾裙 销路顿开 该时装商店也出了名 逆向思维带来了可观的经济效益 无跟袜的诞生与 凤尾裙 异曲同工 因为袜跟容易破 一破就毁了一双袜 1 商家运用逆向思维 试制成功无跟袜 创造了非常良好的商机 通过以上实例 我们可以总结出逆向思维的几大优势 逆向思维优势一 在日常生活中 常规思维难以解决的问题 通过逆向思维却可能轻 松破解 逆向思维优势二 逆向思维会使你独辟蹊径 在别人没有注意到的地方有所发现 有 所建树 从而制胜于出人意料 逆向思维优势三 逆向思维会使你在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径 逆向思维优势四 生活中自觉运用逆向思维 会将复杂问题简单化 从而使办事效率 和效果成倍提高 逆向思维优势五 逆向思维擅长运用在各个投资领域包括房地产 股票等 逆向思维最可宝贵的价值 是它对人们认识的挑战 是对事物认识的不断深化 并且 由此而产生 原子弹爆炸 般的威力 我们应当自觉地运用逆向思维方法 创造更多的奇迹 下面我谈谈数学中的逆向思维 其实相当于正难则反 正向思维的关键在于由条件出发 往问题走 而逆向思维是反其道而行之从问题出发往条件靠拢 在解题的时候往往是需要 双双管齐下的 现在的孩子往往是只习惯于正向思维而无视逆向思维 在小学阶段要么过 于依赖分步算式 要不过于依赖方程 由于思维的深度和高度的缺失导致到了初中的学习 难以为继 尤其是在几何学习中 我这里通过一个简单的方程为例提下逆向思维 例 1 60 35 2x 9 72 32 2x 9 分析 先观察出现了重复结构 2x 9 a 换元 两边同时约去 12 得到了 5 35 a 6 32 a 175 5a 192 6a a 17 2x 9 17 x 13 先约分再计算要作为习惯坚持 见到重复结构换元的意识要逐步加以训练 这是一个基本的意识 而大多小孩是先去小括号然后分别把 60 与 72 乘进去导 致计算麻烦的很 在简单的题来说就是花别人 3 5 倍的时间 遇到难题直接搞 不定了 例 2 分析 我们故伎重演设要填的数为 x 43759716194 3 78 39324515 x 3 78 0 84 两边同时除以 5 3 75 3 78 93 x 43194 315 7 5 7 9 x 7 9x 2 94 x 3 78 例 3 0 9 1 2x 1 3 500 x 567 很多孩子解方程就一把乘进去了实际上我们分析下正常的次序是最后乘以 0 9 我们完全 可以第一步做两边同时除以 0 9 的逆向思维 同时正向思维可以顺手去掉小括号 1 2x 650 1 3x 630 650 0 1x 630 0 1x 20 x 200 以上三个例子都是一些相对绕的方程应用正向思维和逆向思维结合计算十分简洁 以上都是把正向思维完全反过来做 但有的时候顺便用点正向思维会更好 相当于下棋的 走一步看 2 步或 3 步或更多 算度越深远实力越强 下面就一些应用题谈谈逆向思维 其实在初中几何证明也是综合法和分析法结合 综合法 方便表述 分析法方便得到解题思路 在应用题中目标倒退的方法可以得到思路 扫除障 碍 综合算式可以一气呵成得到结果 我们这里就 2 个简单的应用题谈谈分析法和综合算 式 在这里我先通过一个五年级的基础应用题谈谈训练逆向思维的方法和建议 逆向 思维的意识很多孩子很欠缺甚至是白纸 如果开始题目难度过大 很可能孩子不知所云 何谓逆向思维呢 正向思维是从条件条件入手逐步往问题问题靠拢 而逆向思维是从问题问题入手往条条 件件靠拢 说起逆向思维很多孩子和家长都觉得很抽象 我们看这个简单的例子 例 例 食堂买来 360 千克大米 计划每天吃 30 千克 实际比计划多吃了 3 天 这批大米实 际每天比计划少吃多少千克 很多孩子是这么解答的 正向思维的走一步看一步 36030 12 天 计划天数 12 3 15 天实际天数 36015 24 千克 实际每天的 30 24 6 千克 这是目前考试功 利下的什么分步算式分步得分 小孩长期被这种错误的意识练得思维毫无连贯性 遇到稍 微绕点的题就不知道如何是好 这里我说下如何进行逆向思维 我们的问题问题是实际比计划 每天少多少 首先我们看有 3 个条件一个问题 条件出现的数据是 360 30 3 要实现这个目 标我们从比问题问题入手就是要求计划每天的 实际每天的 计划每天的是 30 这个条件用了可以把 30 这个数据勾掉了 接下来目标就是求实际每天的 实际的就是用总量去除以实际的天数 总量是 360 第二个条件又可以勾掉了 实际天数就 是计划天数 3 于是 3 这个条件也顺手用上了 计划天数就是 360 除以 30 然后把分析过 程倒着写就是综合算式 在今后几何证明也是把分析式倒写就是综合算式 计划吃的 实际每天的 30 总共的除以实际天数 360 计划天数 3 一共的除以计划每天 36030 列出综合算式 30 360 36030 3 6 千克 逆向思维 36030 12 天 12 3 15 天 36015 24 千克 30 24 6 千克 正向思维 再看一个较为简单的六年级的题 例 一辆汽车从甲城开往乙城 已经行了 72 千米 还剩下全程的 62 5 这辆汽车行到乙 城还需要多少千米 正向思维 1 62 5 37 5 7237 5 192 19262 5 120 逆向思维 分析 条件 72 千米 62 5 问题要求的路程 目标还需要的路程 全程 余下分率 已经行的对应分率62 5 72 1 62 5 综合算式千米 分析 2 余下的路程 全程 已经走的 已经行的对应分率 72 72 1 62 5 综合算式把分析式子倒着来千米 当然比例法和方程也是不错的选择 这个意识主要是训练目标倒退法为今后几何学习做准备 通过这个简单的题主要强调 3 点 一逆向思维的意识 2 学会分析问题 3 简便计算的意识 综合计算的时候可以约分使得复杂问题更简单约分使得复杂问题更简单 我这里谈谈常规思维和逆向思维的优劣 对于大多数孩子来说常规思维更利于接受 但 带来的负面因素是思维连贯性不行 没有创造性思维遇到陌生题缺少办法 之前说的问题 侧重小学 我们接下来重点谈谈几何中的逆向思维 几何证明题的常用分析法 证明几何题 关键要会分析题 分析得当 则证明会顺势利导 迎刃而解 常用的分 析法有以下几种 1 综合法 由因导果 从命题的题设出发 通过一系列的有关定理 公理 定义的运用 逐步向前推进 直 到问题的解决 2 分析法 执果索因 从命题的结论考虑 推敲使其成立需必备的条件 然后再把条件看成要证的结论继续 推敲 如此逐步向上逆推 直到已知的条件为止 3 两类结合法 将分析法与综合法合并使用 比较起来 分析法利于思考 综合法宜于表达 因此 在实际思考问题时 可综合使用 灵活处理 以利于缩短题设与结论袒之间的距离 直到 完全沟通 前我讲的应用题和几何题思路是类似的 这题的解题策略就是正向思维和逆向思维结合的经典例子 而思维不连贯的同学在小学 过于依赖分步算式就会导致做几何题的时无所适从 所以为了初中学习几何轻松请尽力改 掉这些不良习惯 这个题是初中奥赛题 确实是如竞赛大纲所说的不超纲 不超前知识初 二的四边形的知识就足够了 如果用目标倒退法 此题没有任何难度 但在实际教学中能 作出此题的小孩不到百分之十 原因何在 就是目标意识的缺失导致 其实想不到辅助线 还是可以理解的 但更多的孩子就是想了半天不知道自己做什么是极为可怕的 并且我建 议做完题后可以考虑把结论和条件对调又是另外一个题了 比如 AE AF 为条件 CE CF 为 结论肯定是正确的只是如何证明 在做变式题的时候就起到了以点带面的作用 在今后如 深入学习同一法和反证法的时候也轻松的多 如果能不断的做这个事情作为习惯坚持下来 数学实力想不强都难 接下来再谈谈逆向思维的重要性和必要性 在小学因为题目难度不大 所以你或许觉得 分步算式还比较稳分步得分 但带来负面影响不容小看 到了初一学习平面几何很多小孩 的过程表达就很成问题 难度一大就不能可持续发展 尤其那种普通思路导致难以为继 很多奥赛牛孩几何都是短板 就是逆向思维不够 题目难了缺少办法 尤其是这个分析法 很有用 几何中很多问题是从结论入手去找线索的 其实证明的书写仅仅就是把分析倒着 写 对于准初一的孩子与其去上那些乱七八糟的预科还不如训练思维能力 培养良好的思 维习惯上多下点功夫 并且逆向思维不仅仅是数学需要 到了初中高中后物理这门科目对 逆向思维的要求更高 如学习力的概念时 对力的作用是相互的 学生往往理解不深 我就给学生举 这样的例子 人游泳时向后推水 人就前进 火箭向下喷气它就会升空 这是为什么 学习摩擦力时 给 学生提问 大家知道汽车 拖拉机是靠牵引力前进 那么这个牵引力是谁施的 雨后在泥路上它们为什么 打滑 然后让学生讨论 并提示如果地推着后轮胎还打滑吗 使学生更深刻的理解摩擦力 例如 凸透镜 成像特点 通过实验探究不同位置成像情况得出 在 2f 以外成缩小的实像 在 2f 以内 f 以外 成放大的 实像 在 f 以内成正立 放大的虚像 反之 只要成虚像 物体一定在 f 以内 成放大的实像 物体一定 在 2f 于 f 之间 成缩小的实像 物体一定在 2f 以外 这个规律正反都成立 这样对学生以后解决这一类 问题非常有利 高中物理要求更高 这个大家和我物理老师交流后体会会更深 之前通过小学一些较为简单和中难的计算题入手提了逆向思维 通过初中一个较难的几何题提了正 向思维和逆向思维的结合 再提到了物理中的逆向思维诠释逆向思维培养的重要性和必要性 但如何训练 逆向思维还是一个比较具体现实但又不容易做的事情 我谈谈当年自己如何培养这个意识的 以及对孩子 们的建议 以前在小学做应用题就有过一种想法 但不强烈 就是做完题后把结果代入条件看与条件的数 据是否都一致 比如航模兴趣小组原来男生占全组人数的 后来又增加 2 名男生 这时男生 4 7 人数正好是现在全组的 原来全组有多少人 3 5 这里出现了一个很典型的错误就是 有的同学做题目喜欢数量除以对应分率做 2 70 人 错误原因是什么呢 因为标准量总人数变了 分率和数量也就不 3 5 4 7 对应了 但孩子没理解到这点未必检查的出来 其实检查往往可以把结果代入条件之前男 生是 40 人 后来 42 人总人数是 72 人分率不是 3 5 了 马上就发现问题所在了 其实男与 女生开始人数比 4 3 后来 3 2 女生不变 统一女生份数变为 8 6 和 9 6 男生增加 1 份是 2 人之前 全班共 14 份人数就是 2 除以 9 8 乘以 8 6 28 人 为了稳健 考试的时候还是把答案代回到条件 男生开始 16 人多 2 人后是 18 人总人数 30 人和 3 5 这个条件也是吻合的 这样就可以确认自己此题做对了 到了初中解方程 整 式加减 解不等式和不等式组都要检查 要确保计算 0 失误 我记得我以前做题就在做这样的事情航模兴趣小组原来全组有 28 人 原来男生占全组人数 的 后来又增加多少名男生后使得这时男生人数正好是现在全组的 4 7 3 5 这个事情就是把问题的数据补上当条件 然后把其中一个条件数据去掉当问题即可 这种 实践一多 逆向思维的意识就越强 再如一辆汽车从甲城开往乙城 走了一段后还剩下全 程的 62 5 这辆汽车行到乙城还需要 120 千米 已经行了多少千米 改编的题相当于就是把条件和结论进行了交换 分析思路大体类似综合算式 120 除以 62 5 120 72 千米 不论题目难还是简单 如果大家解题多一种这样的思考 逆向思维的意识就会大有提高 到了初中几何证明题往往需要逆向思维 训练目标意识 并且也可以做完题目后去把结论 和条件交换进行尝试 并且一般来说成功的可能性百分之九十以上 每次做完题就可以去 试下这个事情 逆向思维能力就会逐步提高 这个事情做多了既培养了检查的好习惯又训 练了逆向思维一举两得 一箭双雕 正如大纲中所说在普及的基础上不断提高 知识不超 前和不超纲 但对思维要求比较高 几何的学习就是训练思维能力 尤其是逆向思维的能 力显得极为重要 在初中如何学习几何我谈谈自己以前的方法 或许适合您的孩子或许不适合 大家取 其精华去其糟粕即可 几何题尤其有难度的题我经历了如下几个过程 1 无法解决 2 苦思 之后得到了解决 3 一题多解加深了理解的深度 4 交换结论和其中一个条件再证明 如已知 如图 在中 BAC BCA 的角平分线 AD CE 相交于 ABC B60 O 求证 AC AE CD 分析此题经典的截长补短的题 可以在 AC 上去点 K 使得 AK AE 连 0K 先用 SAS 证明三角形 EA0 与三角形 KAO 全等 再证明 三角形 0CD 与三角形 0CK 全等 ASA 即可 第一次拿到这个题的时候不会做也正常 主要就是想不到一分为二 但在做完后我还用合二为一给出了证明 因