上海市普陀区2011届高三数学第二学期质量调研考试 文

用心 爱心 专心1 20102010 学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学文科学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学文科 一 填空题 本大题满分 56 分 1 双曲线 2 2 1 2 x y 的实轴长为 2 不等式26xx 的解集为 3 二项式 9 21 x 的展开式中的第八项为 4 已知点 2 3在函数 2 f xxa 1 x 的图像上 则 f x的反函数 1 fx 5 若行列式 12 21 12 x Dx x 的第三行 第三列元素的代数余子式等于3 则行列式 D的值为 6 在球心为O 体积为4 3 的球体表面上两点A B之间的球面距离为 3 4 则 AOB 的大小为 7 已知无穷等比数列 n a的前n项和 n S的极限存在 且 3 4 a 52 7SS 则数列 n a各项的和为 8 由若干个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如下图所示 则该几何体的体积为 主 主 主主 主 主主 主 主 第 8 题图 文 9 已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为 3和 的矩形 则该圆柱的体积是 10 已知数列 n a是等差数列 4 15a 5 55S 则过点 2010 4 Pa和点 2011 3 Qa的 直线的倾斜角是 用反三角函数表示结果 11 设抛物线 2 4yx 上一点P到该抛物线准线与直线l 4360 xy 的距离之和为d 若d取到最小值 则点P的坐标为 用心 爱心 专心2 12 已知集合 15AxxxZ 集合 1 0 4 x BxxZ x 在集合A中任取 一个元素x 则事件 BAx 发生的概率是 13 在平面直角坐标系xOy中 设 1 1 2 OM 0 1ON 动点 P x y同时满足 01 01 OP OM OP ON 则zxy 的最大值是 14 把正整数排列成如图 1 三角形数阵 然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的 所有偶数 可得到如图 2 的三角形数阵 现将图 2 中的正整数按从小到大的顺序构成一个 数列 n a 若2011 k a 则k 第 14 题图 1第 14 题图 2 二 选择题 本大题满分 20 分 15 设实数a b c满足cba 且0ac 那么下列不等式中不一定成立的是 A abac B 0c ba C cbab D 0ac ac 16 已知方程 2 20 xxa 其中0a 则在复数范围内关于该方程的根的结论正确 的是 A 该方程一定有一对共轭虚根 B 该方程可能有两个正实根 C 该方程两根的实部之和等于 2 D 若该方程有虚根 则其虚根的模一定小于 1 17 对任意的R 以下与sin 2 的值恒相等的式子为 A sin 2 B cos 2 C cos 2 D 3 sin 2 1 24 57 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 1 234 567 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 用心 爱心 专心3 18 已知函数bxaxf x 的零点 1 0 kkx Zk 且常数ba 分别满足 23 a 32 b 则 k A 1 B 0 C 1 D 2 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸规定的方框 内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 已知复数w满足4 32 ww i i为虚数单位 复数 5 2 zw w 试确定一 个以z为根的实系数一元二次方程 20 本题满分 14 分 为了缓解城市道路拥堵的局面 某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准 并实 行累进加价收费 已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的 中心城区占道停车 场 收费标准为每小时 10 元 并实行累进加价制度 占道停放 1 小时后 每小时按加价 50 收费 方案公布后 这则 累进加价 的算法却在媒体上引发了争议 可查询 2010 年 12 月 14 日的相关国内新闻 请你用所学的数学知识说明争议的原因 并请按照一辆普通小汽 车一天内连续停车 14 小时测算 根据不同的解释 收费各应为多少元 21 本题满分 14 分 已知坐标平面内的一组基向量为 1 1 sinex 2 0 cosex 其中0 2 x 且向量 12 13 22 aee 1 当 1 e 和 2 e 都为单位向量时 求a 2 若向量a 和向量 1 2b 共线 求向量 1 e 和 2 e 的夹角 22 本题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系中 方程为 22 0 xyDxEyF 的圆 M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直 且AC和BD分 别在x轴和y轴上 1 求证 0F 第第 2222 题图题图 G F E C P A D B Q 用心 爱心 专心4 2 若四边形ABCD的面积为 8 对角线AC的长为 2 且0AB AD 求 22 4DEF 的值 3 设四边形ABCD的一条边CD的中点为G OHAB 且垂足为H 试用平面解析 几何的研究方法判断点O G H是否共线 并说明理由 2010 学年度第二学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201104 一 填空题 满分 56 分 1 2 理 3 文 3 2 2 26 2 144x 4 5 6 7 32 1 0 xx 4 4 8 理 6 文 5 9 或 10 理 11 4 3 2 4 9 2 arctan4 1 2 9 3 12 理 文 13 理 2 2012 文 14 1028 5 2 5 3 2 二 选择题 满分 20 分 题 号 15161718 答 案 CCDA 三 解答题 19 本题满分 12 分 解法一 因为 得 12i 43iw 43i 2i 12i w 所以 5 i 3i 2i z 若实系数一元二次方程有虚根 则必有共轭虚根 i3 zi3 z 因为 6zz 10z z 故所求的一个一元二次方程可以是 2 6100 xx 解法二 设 则iwab R ba baba2i2i34i 4 2 32 abiba i 以下解法同 解法一 42 32 ab ba 2 1 a b 2iw 20 本题满分 14 分 用心 爱心 专心5 解 争议的原因是收费标准中对于 每小时按加价 50 收费 的含义出现了歧义 以下 给出三种不同的理解 解释一 第一小时为 10 元 以后每小时都为 15 元 14 小时总收费为 元 1015 13205 解释二 第一小时为 10 元 以后每小时都比前一小时增加 5 元 可以理解为等差数列求和 则 14 小时总收费为元 14 14 14 1013 5595 2 S 解释三 第一小时为 10 元 以后每小时都增加 50 可以理解为等比数列求和 则 14 个小时的收费为元 14 14 10 1 1 5 5818 59 1 1 5 S 说明 以上三种解释中能任意给出两种即可得满分 21 本题满分 14 分 理科 解 1 以点为坐标原点 射线A 分别为的正半轴建立空AZADAB 轴轴 轴 zyx 间直角坐标系如图示 点 1 0 0 E 0 2 1 G 0 2 0 D 则 0 0 2 B 1 2 1 EG 0 2 2 BD 设异面直线与所成角为EGBD 所以异面直线与所成角大小为 BDEG BDEG cos 6 3 86 42 EGBD 3 arccos 6 2 假设在线段上存在一点满足条件 设点 平面的法向量为CDQQ 0 2 0 xEFQ 则有 得到 取 所以 zyxn 0 0 EQn EFn 0 0 xxzy 1 x 0 1 0 xn 则 又 解得 所以点即 则8 0 n nEA 0 0 x 3 4 0 x 0 2 3 4 Q 0 0 3 2 CQ 所以在线段上存在一点满足条件 且长度为 3 2 CQCDQ 3 2 文科 解 1 由题意 当时 此时 0 x sin0 cos1xx 1 1 0e F G E C P A B D Q 第第 2121 题题 图图 x y z 用心 爱心 专心6 都为单位向量 故 所以 2 0 1e 12 1313 2222 aee 1a 2 由条件 12 131 13 sincos 222 22 aeexx 因为向量和向量共线 所以a 1 2b 113 sincos 0 222 12 xx 因为 所以 13 1sincos1sin0 223 xxx 0 2 x 6 x 于是 设向量和的夹角为 1 1 1 2 e 2 3 0 2 e 1 e 2 e 则 即向量和的夹角为 12 12 cos e e e e 3 5 4 553 22 1 e 2 e 5 arccos 5 22 本题满分 16 分 理科 同文科 23 题 解 1 由得 022 02 2 x x 2 0 0 2 x 则 任取 都有 x x xf 2ln 2 2 0 0 2 x 则该函数为奇函数 xf x x 2ln 2 xf 2 任取 12 01xx 则有 22 12 01xx 22 12 221xx 22 12 ln 2 ln 2 0 xx 又 所以 即 12 11 1 xx 22 12 12 ln 2 ln 2 xx xx 12 f xf x 故函数在区间上单调递减 f x 0 1 用心 爱心 专心8 3 由程序框图知 公差不为零的等差数列要满足条件 n a 则必有 0 1021 afafaf 由 1 知函数是奇函数 而奇函数的图像关于原点对称 xf 所以要构造满足条件的等差数列 可利用等差数列的性质 只需等差数列满足 n a n a 且即可 0 6592101 aaaaaa 2 0 0 2 n a 我们可以先确定使得 因为公差不为零的等差数列必是单调的 65 a a0 65 aa n a 数列 只要它的最大项和最小项在中 即可满足要求 所以只要 2 0 0 2 对应的点尽可能的接近原点 如取 存在满足条件的一个等差数 65 a a1 0 1 0 65 aa 列可以是 n a1 12 0 nan 110 N nn 说明 本问题结论开放 我们可以将问题解决的方法一般化 设 若 可得 5 aa 6 aa 0 2a 2da 而由题意 需 106 42aad 22 20 49 a daa 0 157 同理 若 则需 0 2 a 2 0 9 a 文科 1 证法一 由题意 原点必定在圆内 OM 即点代入方程的左边后的值小于 0 0 0 22 0 xyDxEyF 于是有 即证 0F 证法二 由题意 不难发现 两点分别在轴正负半轴上 设两点坐标分别为ACx 则有 0A a 0C c0ac 对于圆方程 当时 可得 其中方 22 0 xyDxEyF 0y 2 0 xDxF 程的两根分别为点和点的横坐标 于是有 AC AC x xacF 因为 故 0ac 0F 2 不难发现 对角线互相垂直的四边形面积 因为 ABCD 2 ACBD S 8S 用心 爱心 专心8 可得 2AC 8BD 又因为 所以为直角 而因为四边形是圆的内接四边形 故0AB AD A M 284BDrr 对于方程所表示的圆 可知 所以 22 0 xyDxEyF 22 2 44 DE Fr 222 4464DEFr 3 证 设四边形四个顶点的坐标分别为 0A a 0 Bb 0C c 0 Dd 则可得点的坐标为 即