高考数学一轮复习 第四十三讲 立体几何初步

用心 爱心 专心1 第四十三讲第四十三讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后 的括号内 1 充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成 这个图形是 解析 选项 A 得到的是空心球 D 得到的是球 选项 C 得到的是车轮内胎 B 得到的是 空心的环状几何体 故选 C 答案 C 2 在斜二测画法的规则下 下列结论正确的是 A 角的水平放置的直观图不一定是角 B 相等的角在直观图中仍然相等 C 相等的线段在直观图中仍然相等 D 若两条线段平行 且相等 则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析 角在直观图中可以与原来的角不等 但仍然为角 由正方形的直观图可排除 B C 故选 D 答案 D 3 下图所示的四个几何体 其中判断正确的是 用心 爱心 专心2 A 1 不是棱柱 B 2 是棱柱 C 3 是圆台 D 4 是棱锥 解析 显然 1 符合棱柱的定义 2 不符合 3 中两底面不互相平行 故选 D 答案 D 4 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 A B C D 解析 正方体三个视图都相同 圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形 俯视图是带 圆心的圆 三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同 正四棱锥的正视图和侧 视图是全等的等腰三角形 故选 D 答案 D 5 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形 且该梯形面积为 则原梯形的面积 2 为 A 2 B 2 C 2 D 4 2 解析 设直观图中梯形的上底为x 下底为y 高为h 则原梯形的上底为x 下底为 y 高为 2h 故原梯形的面积为 4 选 D 2 答案 D 用心 爱心 专心3 6 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是长为的线段 76 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a和b的线段 则a b的最大 值为 A 2 B 2 23 C 4 D 2 5 解析 构造长方体 将棱BH构造为长方体的体对角线 由题意知BH的正视图的投影 为CH BH的侧视图的投影为BG BH的俯视图投影为BD 设AB x AD y AE h 则由CH DC2 DH2 6 x2 h2 6 6 又BH BC 1 即y 1 7 BH侧视图的投影为BG y2 h2 BH俯视图的投影为BD x2 y2 2 4 y2 h2x2 y2 y2 h2 x2 y2 2 当x h时 取等号 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 一正方体内接于一个球 经过球心作一个截面 则截面的可能图形为 只 填写序号 用心 爱心 专心4 解析 当截面与正方体的某一面平行时 可得 将截面旋转可得 继续旋转 过 正方体两顶点时可得 即正方体的对角面 不可能得 答案 8 有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母 下图是从 3 种不同角度看同一粒骰子 的情况 请问 H 反面的字母是 解析 因为正方体的骰子共有六个面 每个面都有一个字母 从每一个图中都看到有 公共顶点的三个面 又与标有 S 的面相邻的面有四个 由图可知 这四个平面分别标有 H E O P 四个字母 故能说明 S 的反面是 D 翻转图 使 P 调整到正前面 S 调整到正 左面 则 O 为正下面 所以 H 的反面是 O 答案 O 9 有一个三棱锥和一个四棱锥 棱长都相等 问它们的一个侧面重叠后 还有几个暴 露面 解析 如图 1 三棱锥 S A B C 有四个暴露面 如图 2 四棱锥 V ABCD 有五个暴 露面 且它们的侧面都是完全相同的正三角形 用心 爱心 专心5 如图 3 当三棱锥 S A B C 的底面 A B C 与四棱锥 V ABCD 的侧面 AVD 完全重 合后 四点 S A B V 共面 同样四点 S D C V 也共面 此时 新几何体共有 5 个 面 答案 5 10 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形 两条侧棱长为 则第三条侧棱长的 13 2 取值范围是 解析 如图 1 四面体 ABCD 中 AB BC CA 1 DA DC 只有棱长 BD 是可以 13 2 变动的 设 M 为 AC 的中点 则 MD MB 但是要构成三棱锥 如图 2 所 13 2 2 1 2 2 3 3 2 示 必须 BD1 BD BD2 BD1 MB BD2 3MB 3 2 3 3 2 即 BD 3 2 3 3 2 答案 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演 步骤 11 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 P 是 AA1的中点 E 是 BB1上一点 如图所 示 求 PE EC 的最小值 用心 爱心 专心6 解 把面 A1ABB1和面 B1BCC1展成平面图形 如图所示 PE EC 的最小值即为线段 PC 的长 由于 AP PA1 AC 2 1 2 所以 PC 22 1 2 2 17 2 所以 PE EC 的最小值为 17 2 评析 化折为直 是求空间几何体表面上折线段最小值问题的基本方法 其途径是 将各侧面展开 12 以正四棱台 底面为正方形 各个侧面均为全等的等腰梯形 为模型 验证棱台的 平行于底面的截面的性质 设棱台上底面面积为 S1 下底面面积为 S2 平行于底面的截面 距棱台上 下两底的距离的比为 m n 则截面面积 S 满足下列关系 当 S m S2 n S1 m n m n 时 则 中截面面积公式 S S1 S2 2 解 如图所示 把棱台补成棱锥 根据棱台上 下底面与平行于底面的截面相似的性 质 上底面 下底面 截面的相似比为 S1S2S 用心 爱心 专心7 设 PO2 h O1O2 x 则 S1 S PO2 PO h h x m m n h m n h m n mx S2 S PO1 PO h x h x m m n h x m n h m n mx m n n S1 S m S2 S nh m n h m n mx m h x m n h m n mx hn hm mx m n h m n mx 即 S m S2 n S1 m n 当 m n 时 则 S m S1 m S2 m m S1 S2 2 评析 由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体 台体中一些几何量的 计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体 利用锥体的一些性质解决台体问题 如利用 平行于锥体底面的平面截锥体 则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原 锥体的高的比的平方 截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截得的小锥体的 高和原来锥体高的比的立方等 13 有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体的各条棱相切 第三 个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的半径之比 解 设正方体的棱长为 a 球的半径分别为 R1 R2 R3 球内切于正方体时 球的直径 和正方体的棱长相等 如图 1 所示 AB 2R1 a 所以 R1 a 2 用心 爱心 专心8 球与这个正方体的各条