高考数学复习点拨 相关性和最小二乘估计易错点例析

用心 爱心 专心 相关性和最小二乘估计易错点例析相关性和最小二乘估计易错点例析 根据统计数据作出散点图 判定两个变量且有线性相关关系 然后利用最小二乘法求 出回归直线方程 并利用回归方程进行预测和估计 这是一个完整的双变量统计的过程 在这一统计分析过程中 有以下几点易于出错 初学者要特别注意 一 把函数关系当作相关关系一 把函数关系当作相关关系 例 1 下列两变量中具有相关关系的是 A 正方体的体积与边长 B 匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C 人的身高与体重 D 人的身高与视力 错解 错解 选 A 或 B 分析分析 函数关系的两个变量之间是一种确定的关系 而相关关系的两个变量之间是一 种不确定的关系 因此 不能把相关系等同于函数关系 本例中 A 和 B 都是函数关 系 D 则无相关关系 正解选 C 例 2 下列各关系中 不属于相关关系的是 A 名师出高徒 B 球的表面积与体积 C 家庭的支出与收入 D 人的年龄与 体重 错解错解 选 A 分析分析 函数关系是一种因果关系 但相关关系不一定是因果关系 有名的老师能教出 高明的徒弟 通常情况下 高水平的老师有很大的趋势教出高水平的学生 但是 高水平 的老师所教的学生不一定都是高水平的 也就是说 他们之间没有困果关系的 但有相关 关系 正解选 B 球的表面积与体积之间是函数关系 二 把不相关或非线性相关当作线性相关二 把不相关或非线性相关当作线性相关 例 3 下表是某地的年降雨量与年平均气温 能否根据这些数据估计年平均气温为 13 69 时的年降雨量 年平均气温 12 5112 8412 8413 6913 3312 7413 05 年降雨量 mn 748542507813574701432 错解错解 按照最小二乘法可求出这两个变量之间的线性回归方程 进而计算出估计值 分析分析 以x轴为年平均气温 y轴为年降雨量 作出相应的散点图如下 可以发现图中各点并不在一条直线的附近 所以两者不具有相关关系 没必要用回归 用心 爱心 专心 直线进行拟合 用最小二乘法公式求得回归直线也是没有意义的 例 4 某机构曾研究温度对某种细菌的影响 在一定温度下 经 x 单位时间 细菌的 数量指数为 y 数据如下 1 2 2 5 3 10 4 17 5 26 6 37 7 50 8 65 9 82 10 101 问 关于这两个变量的关系 你能得出什么结论 错解错解 判断两个变量是线性相关 按最小二乘法的步骤 求出线性回归方程 分析分析 事实上我们观察可以发现 2 12 1 5 22 1 10 32 1 17 42 1 26 52 1 因此 我们可以认为 x 与 y 之间的关系是 y x2 1 并非是线性相关关系 避免这类错误的方法很简单 那就是根据已经数据作出散点图 进行曲线拟合 从而 判断两个变量是线性相关线性相关还是非线性相关非线性相关或不相关不相关 三 把估计值当作实际值三 把估计值当作实际值 例 5 一位母亲记录了她儿子 3 到 9 岁的身高 数据如下表 年龄 岁 3456789 身高 94 8104 2108 7117 8124 3130 8139 0 由此她用最小二乘法求出了身高 y 与年龄 x 的回归直线方程xy19 7 93 73 并预测儿 子 10 岁时的身高 则下列的叙述正确的是 A 儿子 10 岁时的身高一定是 145 83 B 儿子 10 岁时的身高在 145 83 以上 C 她儿子 10 岁时的身高在 145 83 左右 D 她儿子 10 岁时的身高在 145 83 以下 错解错解 A 分析分析 显然 年龄与身高之间是一种相关关系 利用最小二乘法求出的回归方程是对两个 变量的最佳线性拟合 我们可以利用回归方程对数量变化做出预测 但这只是估计事 物发展的一个最可能出现的结果 并非一定出现 实际上 身高并非只由年龄一个因 素决定 儿子 10 岁时的身高比预测值有误差也是正常的 正确答案为 C 四 计算失误四 计算失误 例 6 已知回归直线的回归系数 b 的估计值是 1 23 y 5 x 4 则回归直线的方程是 A y 1 23x 4 B y 0 9425x 1 23 C y 1 23x 0 08 D y 0 08x 1 23 错解错解 B 分析分析 回归直线方程为 y bx a 其中 b 是回归系数 而一次函数的习惯写法为 用心 爱心 专心 y ax b 错解把它们混淆了 对回归方程 y bx a 有 a y bx 即y bx a 因 此回归直线一定经过点 x y 正确答案为 C 例 7 为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响 在高一年级学生中随 机抽取了 10 名学生 他们的入学成绩与期末考试成绩如下表 学生编号 12345678910 入学成绩x 63674588817152995876 期末成绩y 65785282928973985675 1 若变量x与y之间具有线性相关关系 求出回归直线的方程 2 若某学生的入学成绩为 80 分 试估计他的期末成绩 错解错解 1 1 63674588817152995876 70 10 x 1 65785282928973985675 76 10 y 1 2 2 1 0 76556 n ii i n i i x ynxy b xnx 22 4108aybx 故所求线性回归直线方程是 22 41080 76556yx 2 某学生入学成绩为 80 分 代入上式可求得 1760y 显然这是不符合实际的 分析分析 错解求出 a b 后 把回归直线方程公式中 y bx a 的 a b 位置互换了 事 实上 回归方程应为 0 7655622 4108yx 把这个学生的入学成绩 80 代入这个方程 可出 84y 即这个学生期末成绩的预测分值约为 84 分 一般地 用最小二乘法求回归直线方程的步