长沙理工大学信号与系统课程硕士研究生入学考试试题与答案

长沙理工大学 2005 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 信号与系统考试科目 信号与系统 一 填空题填空题 共 45 分 每空 3 分 1 奇异信号是指 的一类信号 2 线性时不变系统一般用 数学模型来描述 3 系统的零状态响应与 有关 而与 无关 4 系统的单位冲激响应是指 5 周期信号的频谱特点是 而非周期信号的频谱特点则是 6 连续系统与离散系统的重要区别特点是 7 设连续时间信号 tf 的傅立叶变换为 jF 则 jtF 的傅立叶变换为 8 单位门信号 tg 的频谱宽度一般与其门信号的宽度 有关 越大 则频谱宽度 9 设某带限信号 tf 的截止频率为 10KHz 则对该信号进行时域采样时 采样频率至少 应为 理由是 10 拉普拉斯变换域傅立叶变换的基本差别是 它们的关系是 11 dsin 二 问答题 共 30 分 每小题 6 分 1 某连续时间系统 t dftfTty 其中 tf 为输入信号 试问该系统是否为线性 时不变 因果 稳定系统 并说明理由 2 连续时间无失真传输系统的传输函数 jH 具有什么特点 3 已知某离散时间系统的输入 nf 和输出 ny 由下面的差分方城描述 1 4 3 nfnyny 试问该系统具有何种滤波特性 低通 高通 带通或全通 为什么 4 已知某系统单位冲激响应为 t t th 100sin 求系统的频率响应 jH 5 已知两个周期矩形脉冲信号 1 tf 和 2 tf 1 若 1 tf 的矩形宽度 s 1 周期 sT 2 幅度 VE1 试问该信号的谱线间 隔是多少 带宽是多少 2 若 2 tf 的矩形宽度 s 2 周期 sT 4 幅度 VE3 试问该信号的谱线间 隔是多少 带宽是多少 3 1 tf 和 2 tf 的基波幅度之比是多少 三 分析计算题 共 75 分 每小题 15 分 1 已知 tx 的波形如图 A 1 所示 21 txtf tf 的频谱为 jF 1 画出 tf 的波形 2 计算 0 jF 3 计算 djF 4 计算 djF 2 5 计算 dejF j 2 sin2 图 A 1 2 如图 A 2 所示连续时间系统 其中延时器延时 T 秒 理想低通滤波器的频率响应为 0 21 tj egjH c 其中 2 c g 是宽度为 c 2 的单位门频谱 已知激励为 sin tsa t t tf 求 1 系统的单位冲激响应 th 2 1 c 时系统的零状态响应 3 1 c 时系统的零状态响应 图 A 2 3 如图 A 3 所示 RLC 电路 已知 FCHLRVuAi cL 1 50 51 1 0 1 0 试求 1 系统传输函数 sH 和系统单位冲激响应 th 并判断系统的稳定性 2 当 2 ttf 时 电阻两端的电压 ty 图 A 3 4 如图 A 4 所示 已知某连续系统如图 5 所示 其中系统的单位冲激响应为 2 2 1 sin t t th 2 tth 求 tytf 的系统单位冲激响应 th 和频率响应 jH 并画出 jH 的图形 判定该系统有何种滤波波作用 当 tn n tf n 12 sin 12 12 2 1 1 时 求系统的输出 ty 图 A 4 5 离散时间系统如图 A 5 所示 已知 1 2 1 yy 3 1 nnf n 试求 1 写出描述该系统的差分方程 2 设该系统为因果系统 求系统函数 zH 和单位脉冲响应 nh 3 求系统零状态响应 nyf 零输入响应 nyx 和全响应 ny 4 在 Z 平面上画出 zH 的零极点分布图 并判断系统的稳定性 5 设信号的采样周期 1 s T 秒 请画出系统的幅频响应特性图 图 A 5 参考答案 一 填空题 共 30 分 每空 3 分 1 数学表达式属于奇异函数 2 线性微分方程或线性差分方程 3 外加输入信号 系统的初始状态 4 输入为单位冲激信号时 系统的零状态响应 5 离散的 连续的 6 离散系统的频谱具有周期性 7 2 f 8 越窄 9 kHz20 防止频谱混叠现象 10 信号满足绝对可积条件时才存在傅立叶变换 而信号不满足绝对可积条件时也可能存 在拉普拉斯变换 11 二 问答题 共 30 分 每小题 6 分 1 解 该系统为线性 因果 时变 不稳定系统 理由如下 线性特性分析 已知 t dftytf 对于任意不为零的常数 和 设 t dftytf 111 t dftytf 222 则有 212121 tytydtfftftf t 因此 该系统是线性系统 时不变性分析 已知 t dftytf 则有 0000 0 ttydftdtfttf ttt 因此 该系统是时变系统 因果性分析 由 t dftfTty 可知 系统的当前输出只与系统的当前输入 和历史输入有关 而与未来的输入无关 因此 该系统是因果系统 稳定性分析 设输入有界 即 Mtf 则有 2 1 2 tMdMdfty tt 因此 该系统是不稳定系统 2 解 对于无失真传输系统 其时域形式为 tkfty 对其取傅立叶变换 得 j ejkFjY 根据系统函数的定义 有 j ke jF jY jH 因此 无失真传输系统 其幅频 特性为常数 相频特性为过原点的一条直线 或称之为具有线性相位的全通滤波器 3 解 对差分方程取单边 Z 变换 得 4 3 1 zFzYzzY 根据系统函数定义 有 4 3 4 3 1 1 1 z z z zF zY zH 4 3 z 由于收敛域包含单位圆 因此 系统的频率 响 应为 cos4 3 sin arctan cos2425 4 4 3 j j j ez j e e e zHeH j 很显然 该滤波器是一个高通滤波器 4 解 因为 100 100 100sin tSa t t th 又因为 2 Satg 根据傅立 叶变换的对称性 有 2 2 2 gg t Sa 设 200 则有 2 100 200 200 gtSa 即 100 100 200 gtSa 因此 得 other gjH 0 100 1 200 5 解 因为 2 1 1 0 2 2 2 2 00 nSa T E dtEe T dtetf T F tjn T T tjn n 1 相邻谱线间隔为 106 0 srad 或 kHzf500 0 带宽为 102 2 6 sradB 或 kHzB1000 1 基波幅度为 1 2 2 1 1 SaF 2 邻谱线间隔为 105 5 0 srad 或 kHzf250 0 带宽为 10 2 6 sradB 或 kHzB500 1 基波幅度为 3 2 2 3 1 SaF 基波幅度之比为 1 3 三 分析计算题 共 90 分 每小题 15 分 1 解 1 因为 21 txtf 令 t 21 则有 21 xtxtf 由 tx 的波形可知 当 1 时 1 t 0 时 2 1 t 1 时 0 t 因此 tf 的波形如图 A 6 所示 图 A 6 2 由作图法可知 1 2 2 2 2 4 3 4 1 2 1 2 1 ttgtgttf 设 jFtf 又因为 2 Satg 即 4 2 1 2 1 Satg 由傅立叶变 换的时域性质 有 4 2 1 4 2 1 4 1 j eSatg 4 3 2 1 4 2 1 4 3 j eSatg 再根据傅 立叶变换的微分性质可得 j jj eeSaeSajFj 2 4 4 2 4 3 4 整理得 2 2 4 2 1 2 2 j eSaSajF 因此 2 3 4 0 2 1 2 0 2 0 2 0 2 j eSaSajF 3 由 dejFtf tj 2 1 得 4 0 2 fdjF 4 由 Pasvarl 定理 djFdttf 22 2 1 有 2 1 0 2 1 0 2 22 4 2 2 dttfdttfdttfdjF 3 14 1 44 2 1 0 2 dtt 5 因为 deSajFdejF jj 22 2 sin2 又因为 2 2 1 2 2 j eSajFtgtf 所以有 deeSajFtgtf tj j 2 2 1 2 2 2 1 即 3 2 2 02 1 2 2 t j tgtfdeSajF 其中 dfdgftgtf t 2 3 2 1 2 1 202 1 2 2 3 1 4 2 2 1 0 2 1 0 1 0 ddfdf 2 解 1 由题图可得 111 TthththTttth 又因为 01 ttSath c c 所以有 00 tTtSattSath cc c 2 因为 2 gjFtSatf 所以有 0 1 22 tjTj f eeggjHjFjY c 当 1 c 时 有 222 000 1 TtjtjtjTj f egegeegjY 因而得 00 TttSattSatyf 3 当 1 c 时 同理可得 00 TttSattSaty cccf 3 解 1 由 RLC 电路的零状态 S 域模型可得 系统传输函数为 23 3 2 ss s jH 系统单位冲激响应为 2 3 2 teeth tt 由于极点 1 和 2 全在 S 域的左半平面 因此 该系统是稳定系统 2 由 RLC 电路的全响应 S 域模型可得 1 2 3 23 2 2 3 2 sss s sY 因而有 2 3 tety t 4 解 1 由图知 2 12 tSatththth 因为 2 Satg 根据 傅立叶变换的对称性 有 2 2 2 gg t Sa 令 2 得 2 2 2 gtSa 即 2 gtSa 根据傅立叶变换的频域卷积性质有 2 1 22 2 ggtSa 即 2 1 2 1 22 2 ggtSa 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 因此 2 2 2 2 2 2 1 jH 20 2 1 02 2 1 2 其频率响应如图 A 7 所示 图 A 7 由上图可知 该系统具有高通滤波作用 22 tSatftftSattfthtfty 而 2 2 2 2 2 2 1 2 jFtSatf 所 以有 2 2 2 2 2 2 1 2 jFtSatf 又因为 1 12 12 12 1 2 n nn n jjF 所以 2 2 2 2 2 2 1 jF 2 2 2 2 2 2 1 jF 2 j tjejetSatf tjtj sin 22 1 2 1 2 2 从而得 2 tSatftfty ttn n n sin 2 12sin 12 1 2 2 1 ttn n n sin 12sin 12 1 2 1 5 解 1 系统的差分方程为 2 8 1 1 4 1 nfnynyny 对差分方程取单边 Z 变换 得 2 1 8 1 1 4 1 121 zFyyzzYzyzYzzY 整理得 8 1 4 1 1 8 1 4 1 1 2 8 1 1 8 1 1 4 1 2121 1 zYzY zz zF zz yyzy zY fx 其中 4 1 24 1 2 1 12 5 8 1 4 1 8 1 8 3 8 1 4 1 1 2 8 1 1 8 1 1 4 1 221 1 z z z z zz zz zz yyzy zYx 8 1 2 1 8 1 4 1 1 1 2 21 zF zz z zF zz zYf 2 系统传输函数为 2 1 3 1 3 2 4 1 2 1 4 1 2 1 2 z z z z z zz z zF zY zH f 系统单位脉冲响应为 4 1 3 1 2 1 3 2 nnnh nn 3 系统零输入响应为 4 1 24 1 2 1 12 5 nny nn x 系统零状态响应为 4 1 7 1 3 1 7 8 2 1 2 nny nnn f 系统全响应为 4 1 168 17 3 1 7 8 2 1 12 29 nnynyny nnn fx 4 zH 的零极点分布如图 A 8 所示 由于极点全部在单位园之内 所以系统是稳定 的 图 A 8 图 A 9 系统幅频特性为 4 1 2 1 1 jj j ee eH 其幅频特性如图 A 9 所示 长沙理工大学 2006 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 信号与系统考试科目 信号与系统 一 填空题 每空 3 分 共 30 分 1 信号 4cos 3 3 ttf 的周期是 2 sintt 3 若 thtfty 则 ty 2 4 已知某 LTI 系统 当输入为 ttf 时 其输出为 1 ttety t 则输入为 2 1 tttf 时 系统的响应 tyf 5 已知某 LTI 系统 当 0 t 时有 当输入 2 2 teetf tt 时 输出响应为 5 2 tee tt 当输入 2 2 teetf tt 时 输出响应为 5 2 tee tt 当输入 2 teetf tt 时 输出响应为 2 tee tt 则当输入为 2 teetf tt 时 系统的输出响应为 6 2 txt t 7 设 jF 是 tf 的傅里叶变换 则信号 ttf 0 2 sin 的傅里叶变换表达式为 8 设某带限信号 tf 的截止频率为 100KHz 则对该信号进行时域采样时 采样频率至少 应为 理由是 9 t tfdf 二 问答题 每小题 6 分 共 30 分 1 已知某系统 5 1 n nk kfny 试判断其线性 时不变性 因果性 稳定性 和记忆性等特性 并说明理由 2 给出下列波形函数的卷积结果波形 其中图 A 1 a b 分别为 1 tf 和 2 tf 的波形 a b 图 A 1 3 已知周期信号 tf 的波形如图 A 2 所示 将 tf 通过截止频率为 2 csrad 的 理想低通滤波器后 输出中含有哪些频率成分 图 A 2 4 已知某系统 nnfny 试判断其线性 时不变性 因果性 稳定性 和记忆性等特性 并说明理由 5 已知序列 2 nnnf 1 1 nnnh 0 1 2 ananh n 则 21 nhnhnfny 为何序列 三 分析计算题 每小题 15 分 共 90 分 1 某理想低通滤波器 其频率响应为 100 0 100 1 jH 当基波周期为6 T 其傅里叶级数系数为 n a 的信号 tf 输入到滤波器时 滤波器的输 出为 ty 且 tfty 问对于什么样的n值 才保证 0 n a 2 己知信号 t tt tf 0 cos1 求该号的傅里叶变换 3 已知系统的微分方程为 2 tftytyty 初始条件为 2 0 1 0 yy 输入信号 tetf t 试求系统的全响应 并指出 系统的零输入响应 零状态响应以及系统函数 sH 系统的单位冲激响应 th 和系统的 频率响应 并判断系统的稳定性 4 已知二阶离散系统的差分方程为 1 2 6 1 5 kfkykyky 且 1 2 1 1 2 yykkf k 求系统的完全响应 ky 零输入响应 kyx 零状态响应 kyf 系统函数 系统单位样值响应 5 某连续 LTI 系统是因果稳定的 其系统函数的零极点分布如图 A 3 所示 已知当输入 信号 ttxcos 时 系统输出的直流分量为 5 1 确定该系统的系统函数 sH 2 当输入信号 1 tx 时 求系统的输出 ty 图 A 3 6 如图 A 4 所示 信号 tf 的频谱为 jF 它通过传输函数为 1 jH 的系统传输 输出为 ty 冲激序列为 n T nTtt 1 画出 1 ty 的频谱图 1 jY 2 画出表示无频谱混叠条件下 tys 的频谱图 jYs 并确定无频谱混叠条件 下 抽样间隔 T 的取值范围 3 为了从 tys 中恢复 tf 将 tys 通过传输函数为 2 jH 的系统 试画图表 示 2 jH 并指明 2 jH 截止频率的取值范围 图 A 4 参考答案 一 填空题 共 30 分 每空 3 分 1 2 2 t 3 thtf222 4 1 2 1 2 1 ttette tt 5 4 2 tee tt 6 0 x 7 4 1 sin 000 2 jFjFjF j ttf 8 kHz200 防止频谱混叠现象 9 t 二 问答题 共 30 分 每小题 6 分 1 解 5 1 n nk kfny 代表的系统是线性 时不变性 非因果 稳定 有记忆的系统 理由如下 线性特性 已知 5 1 n nk kfnynf 对于任意给定的不为零的常数 和 设 5 1 111 n nk kfnynf 5 1 222 n nk kfnynf 则有 212 5 1 121 nynykfkfnfnf n nk 因此 该系统是线性系统 时不变性 已知 5 1 n nk kfnynf 则有 0 5 1 5 1 00 0 0 nnykfnkfnnf nn nnk n nk 因此 该系统是时不变系统 因果性 由 5 1 n nk kfny 可知 系统的当前输出不仅与当前和过去的输入有关 而且还 与未来的输入有关 因此 该系统是时变系统 稳定性 设输入有界 即 Mnf 则有 5 1 5 1 5 1 7 n nk n nk n nk MMkfkfny 即输出也有界 因此 该系统是稳定 的系统 记忆性 由 5 1 n nk kfny 可知 系统的当前输出历史输入有关 因此 该系统是记忆系 统 2 解 因为 3 1 2 tttf 根据卷积运算的时移性质和 t 的性质 有 3 1 3 1 11121 tftftttftftf 其波形如图 A 5 所示 图 A 5 3 解 由于周期信号的频谱为 n n nFjF 2 0 由图 A 2 可知 周期为 sT4 基波频率为 srad T 2 2 0 傅立叶级数系数为 2 1 1 1 1 2 2 2 0000 1 1 1 4 1 4 1 dtedtedtedtetfF tjntjntjntjn n 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 0 2 2sin sin 4 1 000 n n n n eee nj tjntjntjn 2 1 0 12 2 1 1 2 1 0 2 0 2 2 sin sin 2 2 sin kkn k kkn n n n n n n k 因此 频谱 jF 只含有奇次谱波 即 0 3 0 5 0 将 tf 通过截止频 率 2 csrad 的低通滤波器后 凡高于 2 的频率都会被滤掉 即 2 0 n 从而 有 4 n 且为奇数 因而只能有 1 n 和3 即输出只有基波2 0 srad 和3次谐波 2 3 3 0 srad 的频率成份 4 解 nnfny 代表的系统是线性 时变性 因果 不稳定 无记忆的系统 理由 如下 线性特性 已知 nnfnynf 对于任意给定的不为零的常数 和 设 111 nnfnynf 222 nnfnynf 则有 212121 nynynfnfnnfnf 因此 该系统是线性系统 时不变性 已知 nnfnynf 则有 000 nnynnnfnnf 因此 该系统是时变系统 因果性 由 nnfny 可知 系统的当前输出仅与当前输入有关 与未来输入无关 因 此是因果系统 稳定性 设系统的输入有界 即 Mnf 则有 n nMnnfny 因此 该系统不是稳定系统 记忆性 由 nnfny 可知 系统的当前输出仅与当前输入有关 与历史输入无关 因 此 该系统是无记忆系统 5 解 1 1 2 21 nannnnnhnhnfny n 1 1 1 nannnn n 1 2 1 1 nannnn n 3 1 1 2 2 nananann nnn 三 分析计算题 共 90 分 每小题 15 分 1 解 信号 tf 的基波角频率为 T 2 0 12srad 信号 tf 通过理想低通滤波器 后 输出是其本身 这意味着信号 tf 所有频率分量均在低通滤波器的通带内 由于周期 信号 tf 含有丰富的高次谐波分量 只有当高次谐波分量的幅度非常小时 对 tf 的贡 献才忽略不计 由 tfty 可知 凡是频率大于100 srad 的高次谱波分量 其幅度均 为0 即 100 0 n 从而有 10012 n 即 8 n 因此 8次以上谐波的幅度 0 n a 2 解 因为 cos1 0 cos1 2 tgt t tt tf 根据频域卷积性质 有 cos1 2 1 2 tgFTtFTjF 2 1 1 2 2 1 Sa 1 1 2 SaSaSa 1 sin 1 sinsin2 1 sin2 1 sin 1 sinsin2 2 3 解 对系统微分方程取单边拉斯变换 得 0 2 0 0 2 ssFsYyssYysysYs 将初始条件 1 0 y 2 0 y 代入上式 并整理 得 1212 4 22 sYsYsF ss s ss s sY fx 其中 222 1 3 1 1 1 4 12 4 s s s s ss s sYx 因此零输入响应为 tt x teety 3 0 t 又因为 1 1 s sFtetf t 因此有 32 1 12 s s sF ss s sYf 由于 1 1 s te t 根据拉斯变换的微分性质 有 2 1 1 1 1 ss tte t 即 2 1 1 s tte t 同理 3 2 1 1 2 1 s tet t 又因为 st 根据时域卷积性质 有 3 2 1 2 1 s s ttet t 即系统零状态响应为 2 1 2 ttetty t f 根据卷积的微积分性质 得 2 1 2 1 2 1 222 tetttetttetty ttt f 2 2 1 2 2 1 222 tettetettette ttttt 2 1 2 tette tt 系统全响应为 2 1 41 2 ttetytyty t fx 0 t 系统函数为 22 1 12 s s ss s sF sY sH f 1 Re s 因为 2 1 1 s tte t 所以 2 1 s s ttte t 即系统单位冲激响应为 ttetttettteth ttt tteettettee ttttt 由于 1 s 是系统的二阶极点 且在 S 左半平面 因此 系统是