（江西版）2013年高考数学总复习 第八章8.6 双曲线教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第八章理第八章 8 68 6 双曲线双曲线 考纲要求考纲要求 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 2 理解数形结合的思想 3 了解双曲线的简单应用 了解双曲线的实际背景 了解双曲线在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用 知识梳理知识梳理 1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做双曲线的 平面内到定点的距离和它到定直线的距离之比为一个常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 其中定点是一个焦点 定直线是双曲线的一条准线 这个常数e就是双曲线的离心率 2 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 a 0 b 0 1 y2 a2 x2 b2 a 0 b 0 图形 范围x a 或x a y R Rx R R y a 或y a 对称性 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 顶点 顶点坐标 A1 A2 顶点坐标 A1 A2 焦点F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 准线 x a2 c y a2 c 渐近线y y 通径长 2b2 a 离心率 e e 1 其中c c aa2 b2 性 质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 它的长 A1A2 线段B1B2叫 做双曲线的 它的长 B1B2 叫做双曲线的实半轴长 叫做双曲线的虚半轴长 a b c 的关系 c2 a2 b2 c a 0 c b 0 基础自测基础自测 1 2011 安徽高考 理 2 双曲线 2x2 y2 8 的实轴长是 A 2 B 2 C 4 D 4 22 2 如果双曲线 1 上一点P到它的右焦点的距离是 8 那么点P到它的左焦点的 x2 4 y2 12 2 距离是 A 4 B 12 C 4 或 12 D 不确定 3 设双曲线 1 a 0 的渐近线方程为 3x 2y 0 则a的值为 x2 a2 y2 9 A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知双曲线的中心在坐标原点 焦点在x轴上 且一条渐近线为直线x y 0 则 3 该双曲线的离心率等于 5 已知双曲线 1 的一个焦点坐标为 0 则其渐近线方程为 x2 a y2 23 思维拓展思维拓展 1 如何准确把握双曲线的定义 提示 提示 1 在双曲线的定义中 除了满足 PF1 PF2 定值 还要满足 PF1 PF2 F1F2 且不等于零这一条件 动点P的轨迹才是双曲线 若 PF1 PF2 F1F2 则动点P的轨迹是以F1 F2为端点的两条射线 包括端点 若 PF1 PF2 0 则动点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 若 PF1 PF2 F1F2 则动点P的轨迹不存在 2 若定义中的 绝对值 去掉后 则动 点P的轨迹为双曲线的一支 若 PF1 PF2 定值 则动点P的轨迹为双曲线靠近F2的一 支 若 PF2 PF1 定值 则动点P的轨迹为双曲线靠近F1的一支 2 用待定系数法求双曲线的标准方程时 应注意什么 提示 提示 1 用待定系数法求双曲线的方程时 要 先定型 再定量 不能确定焦点的位 置时 可进行分类讨论或把双曲线的方程设为mx2 ny2 1 mn 0 2 若知一条渐近线方程 为y x 则双曲线方程可设为 0 若与已知双曲线 1 共渐近线 n m x2 m2 y2 n2 x2 a2 y2 b2 则双曲线方程可设为 0 x2 a2 y2 b2 一 双曲线的定义及应用 例 1 1 已知定点A 0 7 B 0 7 C 12 2 以C为一个焦点作过A B的椭圆 求另一焦点F的轨迹方程 例 1 2 PF1F2的顶点P在双曲线 1 上 F1 F2是双曲线的焦点 且 x2 a2 y2 b2 F1PF2 求 PF1F2的面积S 方法提炼方法提炼 1 求点的轨迹方程时 首先要根据给定条件 探求轨迹的曲线类型 若能确 定是哪种曲线 则用待定系数法求得相应方程 这种做法可以减少运算量 提高解题速度与 质量 在应用双曲线定义时 要注意定义中的条件 搞清所求轨迹是双曲线 还是双曲线的 一支 若是双曲线的一支 则需确定是哪一支 2 在 焦点三角形 中 正弦定理 余弦定理 双曲线的定义是经常使用的知识 点 另外 还经常结合 PF1 PF2 2a 运用平方的方法 建立它与 PF1 PF2 的联系 请做请做 针对训练针对训练 3 3 二 求双曲线的标准方程 例 2 求与双曲线x2 2y2 2 有公共渐近线 且过点M 2 2 的双曲线的方程 方法提炼方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即先确定双曲线标准方程的形式 然后再根据a b c e及渐近线之间的关系 求出a b 的值 如果已知双曲线的渐近线方程 求双曲线的标准方程 可利用有公共渐近线的双曲线 的方程为 0 再由条件求出 的值即可 x2 a2 y2 b2 请做请做 针对训练针对训练 4 4 三 双曲线的几何性质 例 3 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中 有一个内角 3 为 60 则双曲线C的离心率为 方法提炼方法提炼根据双曲线的特点 考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线 求离 心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a c的齐次方程或不等式 然后 再转化成关于e的方程或不等式求解 求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对 应的渐近线方程 请做请做 针对训练针对训练 5 5 考情分析考情分析 通过对近几年高考试题的分析可以看出 对双曲线的考查以选择 填空为主 主要侧重 以下几点 1 求双曲线的方程 2 以双曲线的方程为载体 研究与参数a b c e及渐 近线有关的问题 其中离心率和渐近线是重点 针对训练针对训练 1 2011 福建高考 理 7 设圆锥曲线 的两个焦点分别为F1 F2 若曲线 上存在点 P满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线 的离心率等于 A 或 B 或 2 1 2 3 2 2 3 C 或 2 D 或 1 2 2 3 3 2 2 2011 山东高考 理 8 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆 x2 a2 y2 b2 C x2 y2 6x 5 0 相切 且双曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 3 在 ABC中 A B C所对三边分别为a b c B 1 0 C 1 0 求满足 sin C sin B sin A时 顶点A的轨迹 并画出图形 1 2 4 已知双曲线过P1和P2两点 求双曲线的标准方程 2 3 2 5 4 3 7 4 5 双曲线 1 a 1 b 0 的焦距为 2c 直线l过点 a 0 和 0 b 且点 1 0 x2 a2 y2 b2 到直线l的距离与点 1 0 到直线l的距离之和s c 求双曲线的离心率e的取值范围 4 5 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 双曲线 焦点 焦距 2 a 0 a 0 0 a 0 a x x 实轴 2a 虚轴 2b a b b a a b 基础自测基础自测 1 C 解析 解析 由 2x2 y2 8 变形得 1 x2 4 y2 8 a 2 2a 4 2 C 解析 解析 由双曲线方程 得a 2 c 4 根据双曲线的定义 PF1 PF2 2a 则 PF1 PF2 2a 8 4 PF1 4 或 12 经检验二者都符合题意 3 C 解析 解析 由渐近线方程可知 b a 3 2 所以a b 3 2 2 3 2 3 4 2 解析 解析 由渐近线方程知 b a3 所以e 2 c a c2 a2 a2 b2 a2 1 b a 2 5 y x 解析 解析 由a 2 3 可得a 1 2 双曲线方程为x2 1 y2 2 其渐近线方程为y x 2 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 解 解 设F x y 为轨迹上的任意一点 因为A B两点在以C F为焦点的椭圆上 所以 FA CA 2a FB CB 2a 其中a表示椭圆的长半轴长 所以 FA CA FB CB 所以 FA FB CB CA 2 122 92122 5 2 即 FA FB 2 由双曲线的定义知 F点在以A B为焦点 2 为实轴长的双曲线的下半支上 所以点F的轨迹方程是y2 1 y 1 x2 48 例 1 2 解 解 设双曲线的左焦点为F1 右焦点为F2 如图所示 由双曲线的定义知 PF1 PF2 2a 在 F1PF2中 由余弦定理 得 cos PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 PF1 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 5 1 4a2 4c2 2 PF1 PF2 1 2b2 PF1 PF2 PF1 PF2 2b2 1 cos 在 F1PF2中 由正弦定理 得 PF1 PF2 sin 12 F PF SA 1 2 b2 sin 1 cos 例 2 解 解 设与双曲线 y2 1 有公共渐近线的双曲线的方程为 y2 k x2 2 x2 2 将点 2 2 代入得k 2 2 2 22 2 双曲线的标准方程为 1 y2 2 x2 4 例 3 解析 解析 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 6 2 x2 a2 y2 b2 如图所示 由于在双曲线中c b 故在 Rt OF1B2中 只能是 OF1B2 30 所以 tan 30 b c 所以c b 所以a b 离心率e 32 c a 3b 2b 6 2 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 A 解析 解析 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 设 PF1 4k F1F2 3k PF2 2k 其中 F1F2 2c 3k c k 若圆锥曲线 为椭圆 3 2 则 PF1 PF2 2a 6k a 3k e 若圆锥曲线 为双曲线 则 PF1 PF2 2a 2k a k c a 3 2k 3k 1 2 e c a 3 2k k 3 2 e的取值为 或 1 2 3 2 2 A 解析 解析 由题意得 1 a 0 b 0 的两条渐近线方程为y x 即 2 2 x a 2 2 y b b a bx ay 0 6 又圆C的标准方程为 4 半径长为 2 圆心坐标为 3 0 22 3 xy a2 b2 32 9 且 2 解得a2 5 b2 4 22 3 b ab 该双曲线的方程为 22 1 54 xy 3 解 解 sin C sin B sin A 1 2 c b a 2 1 1 2 1 2 即 AB AC 1 BC 2 动点A x y 符合双曲线的定义 且双曲线中的Error Error A点轨迹方程为 1 x2 1 4 y2 3 4 由于 AB AC 可知A点的轨迹是双曲线的右支 还需除去点 如图所示 1 2 0 4 解法一 当双曲线的焦点在x轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 P1 P2在双曲线上 Error 解得Error 不合题意 舍去 当双曲线的焦点在y轴上时 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 P1 P2在双曲线上 Error 解得Error 即a2 9 b2 16 所求双曲线方程为 1 y2 9 x2 16 解法二 双曲线的焦点位置不确定 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 P1 P2在双曲线上 Error 解得Error 所求双曲线方程为 x2 y2 1 即 1 1 16 1 9 y2