一次函数的概

19 2 2 一次函数 1 掌握一次函数的概念 并理解正比例函数与一次函数的关系 2 能画出一次函数的图象 并能根据图象理解掌握一次函数的性质 3 了解待定系数法的概念 并能用待定系数法确定一次函数的解析式 4 能利用一次函数解决一些实际问题 1 经历观察 猜想 归纳 应用的数学发现过程 2 发展学生的能力 体会数形结合和由特殊到一般的数学思想 掌握数形结合思想 分类讨论思想 学会从实际问题中建立一次函数的模型 体会一次函数在实际生活中的应用价值 重点 画一次函数的图象 掌握一次函数的性质 用待定系数法求一次函数解析式 难点 一次函数的实际应用 第课时 1 结合具体情境理解一次函数的意义 能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式 2 能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系 3 初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法 1 在一次函数概念的探索过程中 经历观察 猜想 归纳的数学发现过程 2 体会数形结合和由特殊到一般的数学思想 培养探索创新精神 学会从实际问题中建立一次函数的模型 体会一次函数在实际生活中的应用价值 重点 一次函数的概念及其解析式 难点 一次函数与正比例函数关系及从实际中建立一次函数的模型 教师准备 教学中出示的教学插图和例题 学生准备 预习本节内容 导入一 某登山队大本营所在地的气温为 5 海拔每升高 1 km 气温下降 6 登山队员由大本营向上登高x km 时 他们所在位置的气温是y 试用函数解析式表示y与x的关系 教师引导学生分析 从大本营向上当海拔每升高 1 km 时 气温就减少 6 那么海拔增加x km 时 气温减 少 6x 因此y与x的函数关系式为y 5 6x x 0 当然 这个函数也可表示为 y 6x 5 x 0 当登山队员由大本营向上登高 0 5 km 时 他们所在位置气温就是x 0 5 时函数y 6x 5 的值 即y 6 0 5 5 2 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同 它的图象又具备什么特征 我们这节课将学习这些问题 设计意图 让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系 体会并运用函数建模思想 提高将实际问题抽 象为函数模型的能力 以实例引入 激发学生的学习兴趣 导入二 过渡语 同学们 前面我们学习了正比例函数的概念 图象和性质 下面我们一起来探究一些新的问 题 下列问题中 变量之间的对应关系是函数关系吗 如果是 请写出函数解析式 这些函数解析式有哪些共同 特征 1 有人发现 在 20 25 时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t 有关 即c的值约是t的 7 倍与 35 的差 2 一种计算成年人标准体重G kg 的方法是 以厘米为单位量出身高值h 再减常数 105 所得差是G的值 3 某城市的市内电话的月收费额y 元 包括月租费 22 元和拨打电话x min 的计时费 按 0 1 元 min 收 取 4 把一个长 10 cm 宽 5 cm 的长方形的长减少x cm 宽不变 长方形的面积y cm2 随x的值而变化 学生先独立思考 然后小组交流 得到这些问题的函数解析式分别为 1 c 7t 35 20 t 25 2 G h 105 3 y 0 1x 22 4 y 5x 50 0 x 10 进一步追问 1 上面的四个函数解析式 有什么共同特点 2 这种函数解析式的一般形式如何表达 它叫什么函数 与正比例函数有何关系 我们这节课将研究这些问题 设计意图 以生活实例导入 增强了趣味性 拉近了数学与生活的距离 激发了学生的学习热情与兴趣 1 探索一次函数的概念 思路一 过渡语 让我们一起来看看前面见过的一个问题 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km 设列车的平均速度为 300 km h 1 列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站 约需 小时 结果保留一位小数 2 列车从北京南站出发 离终点站的距离y 单位 km 是运行时间t h 的函数吗 它们之间的数量关系是 注意 实际问题要给出自变量的范围 3 由 2 中的关系式求出当t 2 5 时 y 当y 1200 时 t 保留一位小数 4 列车从北京南站出发 2 5 h 后 是否已经过了距始发站 1100 km 的南京南站 学生思考 小组交流 答案 1 4 4 2 y 1318 300t0 t 3 568 0 4 4 没有经过 学生讨论 以上函数解析式有什么共同特点 学生观察思考 讨论总结其特征 这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式 教师总结 确实如此 如果我们用b来表示这个常数的话 这些函数形式就可以写成 y kx b k 0 教师出示一次函数的定义 一般地 形如y kx b k b是常数 k 0 的函数 叫做一次函数 引导学生思考 k的值能为 0 吗 b的值能为 0 吗 当b 0 时 y kx b是什么函数 学生思考后回答 当b 0 时 y kx b 即y kx 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 设计意图 这个探索活动是学习一次函数概念的基础 借助生活实例 引出一次函数概念 这是本活动的 出发点 提出追问的问题 有助于学生的认识上升到一次函数一般性的高度 有助于学生理解一次函数的概念 并 且正确认识一次函数与正比例函数的关系 思路二 1 c 7t 35 20 t 25 2 G h 105 3 y 0 1x 22 4 y 5x 50 0 x120 分 的函数关系式 2 分别求每月通话时间为 100 分 200 分的话费 8 今年植树节 同学们种的树苗高约 1 80 米 据介绍 这种树苗在 10 年内平均每年长高 0 35 米 1 求树高y与年数x之间的函数关系式 2 同学们在 3 年之后毕业 则这些树高是多少米 9 一个弹簧不挂重物时长 12 cm 挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比例 如果挂上 1 5 kg 的物 体后 弹簧伸长 2 cm 1 求弹簧总长y 单位 cm 随所挂物体质量x 单位 kg 变化的函数解析式 2 求所挂重物为 6 kg 时 弹簧的总长 拓展探究 10 某种气体在 0 时的体积为 100 L 温度每升高 1 它的体积增加 0 37 L 1 写出气体体积V L 与温度t 之间的函数解析式 2 求当温度为 30 时气体的体积 3 当气体的体积为 107 4 L 时 温度为多少摄氏度 答案与解析 1 C 解析 根据一次函数的概念及一次函数与正比例函数的关系解决本题即可 2 1 4 6 7 1 解析 利用一次函数的概念判定一次函数 根据正比例函数的概念判定正比例函数即可 3 3 解析 根据一次函数与正比例函数的关系 一次函数y kx b 当k 0 且b 0 时 一次函数即为正比例函数 4 3 解析 根据一次函数的概念可知 一次函数y kx b应满足的条件是k 0 5 Q 400 36t 一次 解析 仓库内余下的粉笔盒数 原有粉笔盒数 t个星期领出的盒数 400 36t 根据一次函 数的定义可知它是一次函数 6 解 1 当 2 m 0 即m 2 时 此函数为一次函数 2 当 2 m 0 且 2m 6 0 即m 3 时 此函数为正比例函数 7 解 1 y 30 x 120 0 4 0 4x 18 2 当x 100 时 y 30 元 当x 200 时 y 0 4 200 18 62 元 8 解 1 y 1 80 0 35x 0 x 10 2 当x 3 时 y 1 80 0 35 3 2 85 米 9 解 1 每挂 1 kg 物体弹簧伸长的长度为 cm 则挂x kg 物体弹簧伸