【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第八章 立体几何8．5直线、平面垂直的判定及其性质教学案 理 新人教A版

1 8 58 5 直线 平面垂直的判定及其性质直线 平面垂直的判定及其性质 考考纲纲要要求求 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质 与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义 如果直线l和平面 内的 一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 垂 直 记作 2 直线与平面垂直的判定方法 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 都垂直 那么这条直线就垂直 于这个平面 结论 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平 面 用符号可表示为 Error 3 直线与平面垂直的性质 由直线和平面垂直的定义知 直线垂直于平面内的 直线 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 用符号可表示为 Error 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义 两平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 简述为 线面垂直 则面面垂直 记为 Error 3 平面与平面垂直的性质 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平 面 用符号可表示为 Error 1 直线l垂直于平面 内的无数条直线 是 l 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 2 边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 则AC的长为 A a B a C a D a 2 2 2 3 2 3 2012 北京模拟 已知如图 六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形 PA 平面ABC 则 下列结论不正确的是 A CD 平面PAFB DF 平面PAF C CF 平面PABD CF 平面PAD 4 设 为彼此不重合的三个平面 l为直线 给出下列命题 若 则 2 若 且 l 则l 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则直线l与平面 垂直 若 内存在不共线的三点到 的距离相等 则平面 平行于平面 上面命题中 真命题的序号为 写出所有真命题的序号 5 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC AC BC AA1 2 ACB 90 E为BB1 的中点 A1DE 90 求证 CD 平面A1ABB1 一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面 ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 求证 1 CD AE 2 PD 平面ABE 方法提炼方法提炼 证明直线和平面垂直的常用方法 1 利用判定定理 2 利用面面垂直的性质定理 3 利用结论 a b a b 4 利用结论 a a 请做演练巩固提升 1 3 二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是正方形 MA 平面 ABCD PD MA E G F分别为MB PB PC的中点 且AD PD 2MA 1 求证 平面EFG 平面PDC 2 求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比 方法提炼方法提炼 1 证明平面与平面垂直 主要方法是判定定理 通过证明线面垂直来实现 从而把问 题再转化成证明线线垂直加以解决 2 线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想 其 3 中线线垂直是最基本的 在转化过程中起穿针引线的作用 线面垂直是纽带 可以把线线 垂直与面面垂直联系起来 请做演练巩固提升 2 要善于挖掘图形中存在的关系及添加辅助线 典例 12 分 2012 课标全国高考 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D是棱AA1的中点 1 2 1 证明 平面BDC1 平面BDC 2 平面BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 规范解答 规范解答 1 由题设知BC CC1 BC AC CC1 AC C 所以BC 平面ACC1A1 2 分 又DC1平面ACC1A1 所以DC1 BC 由题设知 A1DC1 ADC 45 所以 CDC1 90 即DC1 DC 4 分 又DC BC C 所以DC1 平面BDC 又DC1平面BDC1 故平面BDC1 平面BDC 6 分 2 设棱锥B DACC1的体积为V1 AC 1 由题意得V1 1 1 8 分 1 3 1 2 2 1 2 又三棱柱ABC A1B1C1的体积V 1 10 分 所以 V V1 V1 1 1 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 1 1 12 分 答题指导 答题指导 解决垂直问题时 还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 缺乏空间想象能力 找不出应该垂直的线和面 2 对几何体体积 面积及线面角的计算不准确 3 不善于挖掘图形中存在的关系 缺乏通过添加辅助线解题的能力 另外要重视对基础知识的积累 解题过程的规范 并且要善于使用数学符号进行表 达 1 已知 为不重合的两个平面 直线m 那么 m 是 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 3 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 EF AC AB CE EF 1 2 4 1 求证 AF 平面BDE 2 求证 CF 平面BDE 4 2012 北京高考 如图 1 在 Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图 2 图 1 图 2 1 求证 DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 说明理由 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 任意 l 2 相交直线 b 3 任意一条 a b 2 1 直二面角 2 垂线 3 m 基础自测基础自测 1 B 2 D 解析解析 取BD的中点E 连接AE EC 则BD AE BD EC AEC是直二面角 的平面角 即 AEC 90 在 Rt AEC中 AE EC 于是AC a 2a 2AE2 EC2 3 D 解析 解析 A 中 CD AF AF面PAF CD面PAF CD 平面PAF成立 B 中 ABCDEF为正六边形 DF AF 又 PA 面ABCDEF DF 平面PAF成立 C 中 CF AB AB平面PAB CF平面PAB CF 平面PAB 而 D 中CF与AD不垂直 故选 D 4 解析 解析 中l 也满足 中 与 可能相交 5 证明 证明 连接A1E EC AC BC 2 ACB 90 AB 2 2 设AD x 则BD 2 x 2 A1D2 4 x2 DE2 1 2 x 2 2 A1E2 2 2 1 2 A1DE 90 A1D2 DE2 A1E2 x 2 D为AB的中点 CD AB 又AA1 CD 且AA1 AB A CD 平面A1ABB1 考点探究突破考点探究突破 例 1 证明 证明 1 PA 底面ABCD PA CD 又AC CD CD 平面PA C 而AE平面PAC CD AE 2 PA 底面ABCD PA AB 又AB AD AB 平面PAD 而PD平面PAD AB PD 又由 ABC 60 PA AB BC 得PA AC E是PC的中点 AE PC 由 1 知AE CD AE 平面PCD AE PD 由 得PD 平面ABE 例 2 1 证明 证明 由已知MA 平面ABCD PD MA 得PD 平面ABCD 又BC平面ABCD 所以PD BC 因为四边形ABCD为正方形 所以BC DC 6 又PD DC D 因此BC 平面PDC 在 PBC中 因为G F分别为PB PC的中点 所以GF BC 因此GF 平面PDC 又GF平面EFG 所以平面EFG 平面PDC 2 解 因为PD 平面ABCD 四边形ABCD为正方形 不妨设MA 1 则PD AD 2 所以VP ABCD S正方形ABCD PD 1 3 8 3 由于DA 面MAB 且PD MA 所以DA即为点P到平面MAB的距离 VP MAB 1 2 2 1 3 1 2 2 3 所以VP MAB VP ABCD 1 4 演练巩固提升演练巩固提升 1 A 解析 解析 根据面面垂直的判定定理可知若m m 反之则不一 定成立 2 D 解析 解析 对于命题 A 在平面 内存在直线l平行于平面 与平面 的交线 则l平行于平面 故命题 A 正确 对于命题 B 若平面 内存在直线垂直于平面 则平面 与平面 垂直 故命题 B 正确 对于命题 C 设 m n 在平面 内取一点P不在l上 过P作直线 a b 使a m b n a m 则a a l 同理有b l 又a b P a b l 故命题 C 正确 对于命题 D 设 l 则l 但l 故在 内存在直线不垂直于平面 即命题 D 错误 3 证明 证明 1 设AC与BD交于点G 因为EF AG 且EF 1 AG AC 1 1 2 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF EG 因为EG平面BDE AF平面BDE 所以AF 平面BDE 2 连接FG 因为EF CG EF CG 1 且CE 1 所以四边形CEFG为菱形 所以CF EG 因为四边形ABCD为正方形 所以BD AC 又因为平面ACEF 平面ABCD 且平面ACEF 平面ABCD AC 所以BD 平面ACEF 所以CF BD 7 又BD EG G 所以CF 平面BDE 4 解 1 因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 又因为DE平面A1CB 所以DE 平面A1CB 2 由已知得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F平面A1DC 所以DE A1F 又因为