（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题36 基本不等式及其应用理（含解析）新人教A版

1 3636 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 导学目标 1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值 问题 自主梳理 1 基本不等式 ab a b 2 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 a b R 2 a b同号 b a a b 3 ab 2 a b R a b 2 4 2 a b 2 a2 b2 2 3 算术平均数与几何平均数 设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等 式可叙述为 4 利用基本不等式求最值问题 已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 时 x y有最 值是 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当 时 xy有最 值是 简 记 和定积最大 自我检测 1 a b 0 是 ab 的 a2 b2 2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 2011 南平月考 已知函数f x x a b 0 A f B f 1 2 a b 2 ab C f 则A B C的大小关系是 2ab a b A A B C B A C B C B C A D C B A 3 下列函数中 最小值为 4 的函数是 A y x 4 x B y sin x 0 x 4 sin x C y ex 4e x D y log3x logx81 4 2011 大连月考 设函数f x 2x 1 x0 a恒成立 则a的取值范围为 x x2 3x 1 探究点一 利用基本不等式求最值 例 1 1 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 1 x 9 y 2 已知x0 b 0 a b 2 则y 的最小值是 1 a 4 b A B 4 7 2 C D 5 9 2 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例 2 已知a 0 b 0 a b 1 求证 1 1 9 1 a 1 b 变式迁移 2 已知x 0 y 0 z 0 求证 8 y x z x x y z y x z y z 3 探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 2011 镇江模拟 某单位用 2 160 万元购得一块空地 计划在该空地上建造一 栋至少 10 层 每层 2 000 平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平 方米的平均建筑费用为 560 48x 单位 元 1 写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式 2 该楼房应建造多少层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值是多少 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 变式迁移 3 2011 广州月考 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟 在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销 量x万件与年促销费t万元之间满足 3 x与t 1 成反比例 如果不搞促销活动 化妆品 的年销量只能是 1 万件 已知 2012 年生产化妆品的设备折旧 维修等固定费用为 3 万元 每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用 若将每件化妆品的售价定为其生产成本 的 150 与平均每件促销费的一半之和 则当年生产的化妆品正好能销完 1 将 2012 年的利润y 万元 表示为促销费t 万元 的函数 2 该企业 2012 年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最大 注 利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用 1 a2 b2 2ab对a b R 都成立 成立的条件是a b R 2 成 a b 2ab b a a b 立的条件是ab 0 即a b同号 2 利用基本不等式求最值必须满足一正 二定 三相等三个条件 并且和为定值时 积有最大值 积为定值时 和有最小值 3 使用基本不等式求最值时 若等号不成立 应改用单调性法 一般地函数y ax 当a 0 b 0 时 函数在 0 0 上是增函数 当a0 时 函数 b x 在 0 0 上是减函数 当a 0 b 0 时函数在 上是 b a 0 0 b a 减函数 在 上是增函数 当a 0 b0 b 0 若是 3a与 3b的等比中项 则 的最小值为 3 1 a 1 b A 8 B 4 C 1 D 1 4 2 2011 鞍山月考 已知不等式 x y 9 对任意正实数x y恒成立 则正实 1 x a y 数a的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 3 已知a 0 b 0 则 2的最小值是 1 a 1 bab A 2 B 2 C 4 D 5 2 4 一批货物随 17 列货车从A市以a km h 的速度匀速直达B市 已知两地铁路线长 400 km 为了安全 两列车之间的距离不得小于 2 km 那么这批货物全部运到B市 a 20 最快需要 A 6 h B 8 h C 10 h D 12 h 5 2011 宁波月考 设x y满足约束条件Error 若目标函数z ax by a 0 b 0 的 最大值为 12 则 的最小值为 2 a 3 b A B C D 4 25 6 8 3 11 3 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2010 浙江 若正实数x y满足 2x y 6 xy 则xy的最小值是 7 2011 江苏 在平面直角坐标系xOy中 过坐标原点的一条直线与函数f x 的 2 x 图象交于P Q两点 则线段PQ长的最小值是 8 已知f x 32x k 1 3x 2 当x R 时 f x 恒为正值 则k的取值范围为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 1 已知 0 x0 920v v2 3v 1 600 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大 最大车流量为多少 2 为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆 小时 则汽车的平均速度应控制在什么范 围内 11 14 分 某加工厂需定期购买原材料 已知每千克原材料的价格为 1 5 元 每次购 买原材料需支付运费 600 元 每千克原材料每天的保管费用为 0 03 元 该厂每天需要消耗 原材料 400 千克 每次购买的原材料当天即开始使用 即有 400 千克不需要保管 1 设该厂每x天购买一次原材料 试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用 y1关于x的函数关系式 2 求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小 并求出这个最 小值 36 基本不等式及其应用 自主梳理 1 1 a 0 b 0 2 a b 2 1 2ab 2 2 4 3 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4 1 x y 小 2 a b 2abp 2 x y 大 p2 4 自我检测 1 A 2 A 3 C 6 4 大 2 1 5 2 1 5 课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于 和与积 的相互转化 使用基本不等式求 最值时 给定的形式不一定能直接适合基本不等式 往往需要拆添项或配凑因式 一般是凑 和或积为定值的形式 构造出基本不等式的形式再进行求解 基本不等式成立的条件是 一正 二定 三相等 三相等 就是必须验证等号成立的条件 解 1 x 0 y 0 1 1 x 9 y x y x y 1 x 9 y 10 6 10 16 y x 9x y 当且仅当 时 上式等号成立 又 1 y x 9x y 1 x 9 y x 4 y 12 时 x y min 16 2 x0 5 4 y 4x 2 3 1 4x 5 5 4x 1 5 4x 2 3 1 5 4x 1 5 4x 当且仅当 5 4x 1 5 4x 即x 1 时 上式等号成立 故当x 1 时 ymax 1 3 由 2x 8y xy 0 得 2x 8y xy 1 2 y 8 x x y x y 10 8 x 2 y 8y x 2x y 10 2 4y x x y 10 2 2 18 4y x x y 当且仅当 即x 2y时取等号 4y x x y 又 2x 8y xy 0 x 12 y 6 当x 12 y 6 时 x y取最小值 18 变式迁移 1 C a b 2 1 a b 2 2 当且仅当 即b 2a 1 a 4 b 1 a 4 b a b 2 5 2 2a b b 2a 5 2 2a b b 2a 9 2 2a b b 2a 时 成立 故y 的最小值为 1 a 4 b 9 2 例 2 解题导引 1 的巧妙代换在不等式证明中经常用到 也会给解决问题提供简 捷的方法 在不等式证明时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转化是 否有误的一种方法 证明 方法一 因为a 0 b 0 a b 1 7 所以 1 1 2 1 a a b a b a 同理 1 2 1 b a b 所以 1 1 2 2 1 a 1 b b a a b 5 2 5 4 9 b a a b 所以 1 1 9 当且仅当a b 时等号成立 1 a 1 b 1 2 方法二 1 1 1 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab 1 1 a b ab 1 ab 2 ab 因为a b为正数 a b 1 所以ab 2 于是 4 8 a b 2 1 4 1 ab 2 ab 因此 1 1 1 8 9 当且仅当a b 时等号成立 1 a 1 b 1 2 变式迁移 2 证明 x 0 y 0 z 0 0 y x z x 2yz x 0 x y z y 2xz y 0 x z y z 2xy z y x z x x y z y x z y z 8 8yz xz xy xyz 当且仅当x y z时等号成立 所以 8 y x z x x y z y x z y z 例 3 解题导引 1 用基本不等式解应用题的思维程序为 由题设写 出函数 变形 转化 利用基本 不等式 求得 最值结论 2 在应用基本不等式解决实际问题时 要注意以下四点 1 先理解题意 设变量 一般把要求最值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数最值 问题 3 在定义域内求函数最值 4 正确写出答案 解 1 依题意得 y 560 48x 2 160 10 000 2 000 x 560 48x x 10 x N 10 800 x 2 x 0 48x 10 800 x 2 1 440 48 10 800 当且仅当 48x 即x 15 时取到 10 800 x 此时 平均综合费用的最小值为 560 1 440 2 000 元 8 答 当该楼房建造 15 层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值为 2 000 元 变式迁移 3 解 1 由题意可设 3 x k t 1 将t 0 x 1 代入 得k 2 x 3 2 t 1 当年生产x万件时 年生产成本 年生产费用 固定费用 年生产成本为 32x 3 32 3 3 2 t 1 当销售x 万件 时 年销售收入为 150 t 32 3 2 t 1 3 1 2 由题意 生产x万件化妆品正好销完 由年利润 年销售收入 年生产成本 促销费 得年利润y t 0 t2 98t 35 2 t 1 2 y 50 t2 98t 35 2 t 1 t 1 2 32 t 1 50 2 50 2 42 万元 t 1 2 32 t 116 当且仅当 即t 7 时 ymax 42 t 1 2 32 t 1 当促销费投入 7 万元时 企业的年利润最大 课后练习区 1 B 因为 3a 3b 3 所以a b 1 a b 2 1 a 1 b 1 a 1 b b a a b 2 2 4 当且仅当 即a b 时 成立 b a a b b a a b 1 2 2 B 不等式 x y 9 对任意正实数x y恒成立 则 1 x a y 1 a a 2 1 9 y x ax ya 2 或 4 舍去 aa 正实数a的最小值为 4 3 C 因为 2 2 2 1 a 1 bab 1 abab 2 4 当且仅当 且 1 ab ab 1 a 1 b 1 abab 即a b 1 时 取 号 4 B 第一列货车到达B市的时间为 h 由于两列货车的间距不得小于 2 400 a a 20 km 所以第 17 列货车到达时间为 8 当且仅当 即 400 a 16 a 20 2 a 400 a 16a 400 400 a 16a 400 a 100 km h 时成立 所以最快需要 8 h 5 A 6 18 解析 由x 0 y 0 2x y 6 xy 得 xy 2 6 当且仅当 2x y时 取 2xy 9 即 2 2 6 0 xy2xy 3 0 xy2xy2 又 0 3 即xy 18 xyxy2 故xy的最小值为 18 7 4 解析 过原点的直线与f x 交于P Q两点 则直线的斜率k 0 设直线方程为 2 x y kx 由Error 得Error 或Error P Q 或P Q 2 k2k 2 k2k 2 k2k 2 k2k PQ 2 k 2 k 2 2k 2k 2 2 4 2 k 1 k 8 2 1 2 解析 由f x 0 得 32x k 1 3x 2 0 解得k 1 3x 而 2 3x 3x 2 k 1 2 k 2 1 2 3x222 9 解 1 0 x 0 3x 4 4 3 x 4 3x 3x 4 3x 2 4 分 1 3 1 3 3x 4 3x 2 4 3 当且仅当 3x 4 3x 即x 时 成立 2 3 当x 时 x 4 3x 的最大值为 6 分 2 3 4 3 2 已知点 x y 在直线x 2y 3 上移动 x 2y 3 2x 4y 2 2 2 4 2x4y2x 2y232 10 分 当且仅当Error 即x y 时 成立 3 2 3 4 当x y 时 2x 4y的最小值为 4 3 2 3 42 12 分 10 解 1 y 92