传送带问题的归类例析

传送带问题的归类例析传送带问题的归类例析 传送带模型是一类比较复杂的动力学问题 它涉及到静摩擦力与滑动摩擦 力 力与运动 能量转化 摩擦生热等高中阶段重要的物理基础知识 因其物 理过程多 知识面广 综合性强 灵活性大 能很好地反映学生提取信息 分 析问题 解决问题的能力而倍受各地高考命题者的青睐 本文通过对传送带问 题的几种常见模型的情景分析 力图达到化繁为简 化难为易的目的 一 传送带的物体模型一 传送带的物体模型 如图 1 所示 水平传送带 亦可为长木板 如图 2 所示 足够长 始速度 V0水平向右 现将质量为 m 的小煤块轻放在传送带上 煤块与传送带间的动摩 擦因数为 试求煤块最终在传送带上留下的痕迹长度与由于摩擦产生的热量 二 二 运动模型的突变运动模型的突变 由于煤块所受外力含摩擦力 因此 其所受外力的合力或加速度存在一定 的取值范围 当煤块与传送带速度达到相等时 两者能否保持相对静止 关键 看两者加速度的可能值是否存在交集 若存在 则保持相对静止 以相同的加 速度运动 运动模型发生突变 反之 则要发生相对运动 三 传送带问题的几种常见运动模型三 传送带问题的几种常见运动模型 1 1 传送带向右做始速度 传送带向右做始速度 V V0 0的匀速直线运动的匀速直线运动 由分析知 煤块起始速度小于传送带的速度 相对传送带向左运动 受到 传送带对其水平向右的滑动摩擦力 因此 煤块起始向右做始速度为 0 加速 度为 g 的匀加速直线运动 当速度增加到 V0时 煤块加速度 a 的可能取值范 围 0 a g 与传送带的加速度 a0 0 有交集 则两者将保持相对静止 以相 同的速度 V0向右做匀速直线运动 V t 图像如图 3 所示 煤块在传送带上留下的痕迹长度即为煤块对传送带相对位移的大小 亦即 图 3 中阴影部分的面积 令两者速度相等历时 t 则 V0 at C D 图 2 V0 BA V0 图 1 带 煤 Ot V0 V 图 3 痕迹的长度 X相 X带 X煤 V0t 2 2 1 gt 由 有 X相 g vo 2 2 摩擦生热 Q mg X相 2 0 2 1 mv 2 2 传送带水平向右做始速度为 传送带水平向右做始速度为 V V0 0 加速度为 加速度为 a a0 0的匀加速直线运动 的匀加速直线运动 1 若 a0 g 对煤块进行分析可知 煤块起始速度小于传送带的速度 相对传送带向左运动 受到传送带对其水平向右的滑动摩擦力 因此 煤块起 始向右做始速度为 0 加速度为 g 的匀加速直线运动 当速度增加到 V0时 煤块加速度 a 的可能取值范围 0 a g 与传送带的加速度 a0有交集 则两 者将保持相对静止 以相同的加速度 a0向右做匀加速直线运动 V t 图像如图 4 所示 令两者速度相等历时为 t 则 gt V0 a0t 在时间 t 内两者的位移分别为 X煤 X带 V0t 2 2 1 gt 2 0 2 1 ta 痕迹长度 亦即图 4 中阴影部分面积 X相 X带 X煤 2 0 2 0 ag v 摩擦生热 Q mg X相 2 0 2 0 ag mgv 2 当 a0 g 时 对煤块进行分析可知 煤块起始速度小于传送带的速度 相对传送带向左运动 受到传送带对其水平向右的滑动摩擦力 因此 煤块起 始向右做始速度为 0 加速度为 g 的匀加速直线运动 由于 a0 g 则煤块 速度始终小于传送带速度 煤块始终相对传送带向左运动 两者不可能保持相 对静止 煤块始终向右做加速度为 g 的匀加速直线运动 V t 图像如图 5 所 示 图 5 V t O V0 带 煤 图 4 带 煤 t O V0 v 在图 1 中 令 AB L0 煤块自 B 点飞出历时 t0则痕迹长度 X相 X带 X煤 V0t 2 00 2 1 ta 2 0 2 1 gt 摩擦生热 Q mg X相 mg X相 mg V0t 2 00 2 1 ta 2 0 2 1 gt 在图 2 中 令 CD L1 煤块自 D 点飞出 由分析可知痕迹长度为 L1 摩擦 生热为 Q mgL1 3 3 传送带水平向右做始速度为 传送带水平向右做始速度为 V V0 0 加速度大小为 加速度大小为 a a0 0的匀减速直线运动 的匀减速直线运动 1 若 a0 g 对煤块进行分析可知 煤块起始速度小于传送带的速 度 相对传送带向左运动 受到传送带对其水平向右的滑动摩擦力 因此 煤 块起始向右做始速度为 0 加速度为 g 的匀加速直线运动 当速度增加到 V0 时 煤块加速度 a 的可能取值范围 0 a g 与传送带的加速度 a0有交集 则两者将保持相对静止 以相同的加速度 a0向右做匀减速直线运动 V t 图像 如图 6 所示 令两者速度相等历时为 t 则 gt V0 a0t 在时间 t 内两者的位移分别为 X煤 X带 V0t 2 2 1 gt 2 0 2 1 ta 痕迹长度 亦即图 6 中阴影部分面积 X相 X带 X煤 2 0 2 0 ag v 摩擦生热 Q mg X相 2 0 2 0 ag mgv 2 当 a0 g 时 对煤块进行分析可知 煤块起始速度小于传送带的速 度 相对传送带向左运动 受到传送带对其水平向右的滑动摩擦力 因此 煤 块起始向右做始速度为 0 加速度为 g 的匀加速直线运动 当速度增加到 V0 时 煤块加速度 a 的可能取值范围 0 a g 与传送带的加速度 a0无交集 两者不可能保持相对静止 有由分析可知 若煤块继续向右做匀加速直线运动 则其速度将大于传送带的速度 煤块将相对于传送带向右运动 滑动摩擦力方 向瞬间突变为水平向左 即煤块将向右做加速度大小为 g 的匀减速直线运动 V t 图像如图 7 所示 图 7 煤 煤 带 O t DC B A V V0 带 煤 O t V V0 图 6 由分析可知 此模型中有两个相对位移 令两者达到相同速度历时 t 则 gt V0 a0t 在时间 t 内两者的位移分别为 X煤 1 X带 1 V0t 2 2 1 gt 2 0 2 1 ta 煤块相对传送带向左的相对位移大小 图 7 中 OAB 的面积 X相 1 X带 1 X煤 1 2 0 2 0 ag v 在两者达到相同速度 Vt后 Vt gt 0 0 ag gV 在两者均自相同速度 Vt减速至 0 这一过程之中 两者的位移 X煤 2 X带 2 g Vt 2 2 0 2 2a Vt 此过程中煤块相对传送带向右的相对位移大小 图 7 中 OCD 的面积 X相 2 X煤 2 X带 2 2 00 2 00 2 aga Vgag 由分析可知 煤块在传送带上前后留下的痕迹有一部分重合 即痕迹 长度取 X煤 1 与 X煤 2与中较大的值 摩擦生热 Q mg X煤 1 X煤 2 2 00 2 0 22 0 2 0 2 2 aga Vggaamg 例例 1 1 06 年全国卷第 24 题 一水平的浅色长传送带上放置一煤块 可视为质点 煤 块与传送之间的动摩擦因数为 初始时 传送带与煤块都是静止的 现让传送 带以恒定的加速度a0开始运动 当其速度到达v0后 便以此速度做匀速运动 经 过一段时间 煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后 相对于传送带不再滑动 求此黑色痕迹的长度 解析 根据 传送带上有黑色痕迹 可知 煤块与传送带之间发生了相 对滑动 煤块的加速度a 小于传送带的加速度a0 根据牛顿第二定律 可得 a g 设经历时间t 传送带由静止开始加速到速度等于v0 煤块则由静止加速到v 有 v0 a0t v at 由于a a0 故 v v0 煤块继续受到滑动摩擦力的作用 再经过时间t 煤块的速 度由v 增加到v0 有 v0 v at 此后 煤块与传送带运动速度相同 相对于传送带不再滑动 不再产生新的痕迹 设在煤块的速度从0 增加到v0的整个过程中 传送带和煤块移动的距离分别为 s0和 s 有 s0 t ta 0 2 0 2 1 v s a2 2 0 v 传送带上留下的黑色痕迹的长度 L s0 s 由以上各式得 L ga ga 0 0 2 0 2 v 例例 2 2 10 年福建卷第 22 题 如图所示 物体 A 放在足够长的木板 B 上 木板 B 静止 于水平面 t 0 时 电动机通过水平细绳以恒力 F 拉木板 B 使它做初速度为零 加速度 aB 1 0m s2的匀加速直线运动 已知 A 的质 量 mA和 B 的质量 mg 均为 2 0kg A B 之间 的动摩擦因数 1 0 05 B 与水平面之间的 动摩擦因数 2 0 1 最大静摩擦力与滑动 摩擦力大小视为相等 重力加速度 g 取 10m s2 求 1 物体 A 刚运动时的加速度 aA 2 t 1 0s 时 电动机的输出功率 P 3 若 t 1 0s 时 将电动机的输出功率立即调整为 P 5W 并在以后的运动过程中始终 保持这一功率不变 t 3 8s 时物体 A 的速度为 1 2m s 则在 t 1 0s 到 t 3 8s 这段时间内木板 B 的位移为多少 解析解析 1 物体A在水平方向上受到向右的摩擦力 由牛顿第二定律得 1AAA m gm a 代入数据解得0 5 A a 2 m s 2 1 0t s时 木板B的速度大小为 1 B va t m s 木板B所受拉力F 由牛顿第二定律有 12 AABBB Fm gmmgm a 解得 7F N 电动机输出功率 7PFv W 3 电动机的输出功率调整为5W时 设细绳对木板B的拉力为 F 则 PF v 解得 5F N 木板B受力满足 12 0 AAB m gmmg F 所以木板B将做匀速直线运动 而物体A则继续在B上做匀加速直线运动直到 AB 速度相等 设这一过程时间为 t 有 111 va tt 这段时间内片的位