【龙门亮剑全国版】2011高三数学一轮 第二章 第三节 函数的单调性及最值课时提能精练 理

1 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 已知 f x Error Error 是 R 上的增函数 那么 a 的取值范围是 A 1 B 1 3 2 C 1 2 D 3 2 2 解析 依题意得Error Error 解得 a 的取值范围是 a 2 故选 D 3 2 答案 D 2 函数 y 3x2 2 a 1 x b 在区间 1 上是减函数 那么 A a 1 B a 2 C a 2 D a 2 解析 函数 y 3x2 2 a 1 x b 为二次函数且开口向上 其对称轴方程为 x 2 a 1 6 1 a 3 若使 y 3x2 2 a 1 x b 在 1 上是减函数 则 1 解得 a 2 1 a 3 答案 C 3 已知函数 f x 为 R 上的减函数 则满足 f x f 1 的实数 x 的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 0 0 1 D 1 1 解析 f x 在 R 上为减函数且 f x f 1 x 1 解得 x 1 或 x 1 答案 D 4 2010 年邵武模拟 定义新运算 当 a b 时 a b a 当 a b 时 a b b2 则 函数 f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于 A 1 B 1 C 6 D 12 解析 由题意知 当 2 x 1 时 f x x 2 当 1 x 2 时 f x x3 2 又 f x x 2 f x x3 2 在定义域上都为增函数 f x 的最大值为 f 2 23 2 6 答案 C 5 若函数 f x a2 2a 3 x2 a 3 x 1 的定义域和值域都为 R 则 a 的取值范围是 A a 1 或 3 B a 1 C a 3 或 a 1 D 1 a 3 解析 若 a2 2a 3 0 则 f x 为二次函数 定义域和值域都为 R 是不可能的 若 a2 2a 3 0 即 a 1 或 3 当 a 3 时 f x 1 不合题意 当 a 1 时 f x 4x 1 符合题意 答案 B 2 6 函数 y f x 对于任意 x y R 有 f x y f x f y 1 当 x 0 时 f x 1 且 f 3 4 则 A f x 在 R 上是减函数 且 f 1 3 B f x 在 R 上是增函数 且 f 1 3 C f x 在 R 上是减函数 且 f 1 2 D f x 在 R 上是增函数 且 f 1 2 解析 设 x1 x2 则 f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 1 f x2 f x1 x2 1 1 1 0 即 f x1 f x2 f x 为增函数 又 f 3 f 1 f 2 1 f 1 f 1 f 1 1 1 3f 1 2 f 1 2 答案 D 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 已知 f x Error Error Error Error 是 上的减函数 那么 a 的取值范围是 解析 当 x 1 时 y logax 单调递减 0 a 1 而当 x 1 时 f x 3a 1 x 4a 单调递减 a 1 3 又函数在其定义域内单调递减 故当 x 1 时 3a 1 x 4a logax 得 a 1 7 综上可知 a 1 7 1 3 答案 a 1 7 1 3 8 y 的递减区间是 y 的递减区间是 1 x 1 x 1 x 1 x 解析 y 1 1 x 1 x 2 x 1 定义域为 1 1 该函数的递减区间为 1 和 1 对于函数 y 其定义域为 1 x 1 1 x 1 x 由复合函数的单调性知它的递减区间为 1 1 答案 1 和 1 1 1 9 2008 年湖南高考 已知函数 f x a 1 3 ax a 1 1 若 a 0 则 f x 的定义域是 2 若 f x 在区间 0 1 上是减函数 则实数 a 的取值范围是 解析 1 由 3 ax 0 且 a 0 a 1 得 x 3 a 3 定义域为 3 a 2 当 a 0 时 f x 在 0 1 上是减函数 符合题意 当 a 0 时 f x 不 3 ax a 13 符合题意 当 0 a 1 时 f x 在 0 1 上是增函数 不符合题意 当 a 1 时 要使 f x 在 0 1 上是减函数 则 1 3 a 1 a 3 综上所述 a 的取值范围为 0 1 3 答案 1 2 0 1 3 3 a 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 判断 f x 在 0 1 上的单调性 1 x x 解析 f x 在 0 1 上为减函数 1 x x 证明如下 方法一 设 x1 x2 0 1 且 x1 x2 则 f x1 f x2 1 x1 x1 1 x2 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x1x2 r x1 r x2 x1 x2 r x2 r x1 1 r x1x2 x1x2 x1 x2 0 1 且 x1 x2 0 1 0 x2x1x1x2 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 所以 f x 在 0 1 上是减函数 1 x x 方法二 f x x x 1 x x 1 xx 1 2 1 2 f x x x 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 x3 1 2 x x 1 2 x3 又 0 x 1 0 当且仅当 x 1 时取等号 x 1 2 x3 f x 在 0 1 上为减函数 11 2010 年广州模拟 已知函数 f x 自变量取值区间 A 若其值域区间也为 A 则称区 间 A 为 f x 的保值区间 1 求函数 f x x2形如 n n R 的保值区间 4 2 g x x ln x m 的保值区间是 2 求 m 的取值范围 解析 1 若 n 0 则 n f 0 0 矛盾 若 n 0 则 n f n n2 解得 n 0 或 1 所以 f x 的保值区间为 0 或 1 2 因为 g x x ln x m 的保值区间是 2 所以 2 m 0 即 m 2 令 g x 1 0 得 x 1 m 1 x m 所以 g x 在 1 m 上为增函数 同理可得 g x 在 m 1 m 上为减函数 若 2 1 m 即 m 1 时 则 g 1 m 2 得 m 1 满足题意 若 m 1 时 则 g 2 2 得 m 1 矛盾 所以满足条件的 m 值为 1 12 2010 年临沂模拟 已知 f x 是定义在区间 1 1 上的奇函数 且 f 1 1 若 m n 1 1 m n 0 时 有 0 f m f n m n 1 解不等式 f x f 1 x 1 2 2 若 f x t2 2at 1 对所有 x 1 1 a 1 1 恒成立 求实数 t 的取值范围 解析 1 任取 x1 x2 1 1 且 x2 x1 则 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 0 f x2 f x1 x2 x1 所以 f x2 f x1 所以 f x 是增函数 故由 f x f 1 x 1 2 得Error Error 即不等式 f x f 1 x 的解集为 0 1 2 1 4 2 由于 f x 为增函数 所以 f x 的最大值为