货物配送的最优化设计的数学模型

货物配送的最优化设计的数学模型 一 问题的提出 一公司有二厂 分处 a b 两市 另外还有 4 间具有存贮机构的库房 分别在 p q r 和 s 市 公司出售产品给 6 家客户 c1 c2 c3 c6 由各库房或直接由工厂向客 户供货 配送货物的费用由公司负担单价见下表 受货者 供货者 a 市厂 b 市厂 p 库房 q r s p 库房 0 5 q 库房 0 5 0 3 r 库房 1 0 0 5 s 库房 0 2 0 2 客户 c1 1 0 2 0 1 0 c2 1 5 0 5 1 5 c3 1 5 0 5 0 5 2 0 0 2 c4 2 0 1 5 1 0 1 5 c5 0 5 0 5 0 5 c6 1 0 1 0 1 5 1 5 注 单位 元 吨 划 表示无供货关系 某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货 计有 c1 a 市厂 c2 p 库房 c5 q 库房 c6 r 库房或 s 库房 a 市厂月供货量不能超过 150 千吨 b 市厂月供货量不能超过 200 千吨 各库房 的月最大流通量千吨数为 库房 p q r s 流通量 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为 单位 千吨 客户 c1 c2 c3 c4 c5 c6 要求货量 50 10 40 35 60 20 公司希望确定以下事项 1 如何配货 总费用最低 2 增加工厂和库房的生产能力对配送费用的影响是什么 3 费用单价 工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低要求等 各微小变化 对配货方案的影响是什么 4 能不能满足各客户对供货者的喜好选择 如果满足 会引起配送费用提高多少 二 摘要 在公司给客户配送货物的过程中 有两种情况 一种是由工厂直接向客户提供货 物 另一种是由库房向客户提供货物 再结合运输的费用问题我们建立了这个货 物配送的最优化设计的数学模型 在这个模型中 我们考虑到了以下几点 1 为了保证模型的一般性 我们不考虑不能配送的问题 对所有可能的运输都设 了未知量来建立模型 然后根据模型的条件在处理单价时将不可能运货路线的运 输价格设为 无穷大 在实际处理中给予比一般数据高数量级的数据来进行运算 2 我们将模型中的对象分为三层 第一层为供货者 第三层为受货者 第二层既可 以为供货者也可以为受货者 为了使模型更直观 我们在第二层里引入 a b 两个 工厂加入库房的行列 然后将 a b 向 a b 运货设为不可能运货路线 3 在模型解答中 因为计算量庞大 为了节约时间 我们调用了 matlab 里的最优 化方法的函数来进行运算 4 另外 在模型的解答过程中 由于运输的单价的相同 我们还发现在满足配 送费用最低的情况下配送方案并不唯一 其主要不确定因素我们在模型中给予 了讨论 5 在模型推广中 我们讨论了模型在公司考虑顾客满意度 运输费用以及公司 本身受益情况下的推广 模型适用于任何情况下的配送问题的解决 针对问题里提出的不同情况 我们 只适当改变了少许参数 建立了模型一和模型二来分别对方案里的变化进行讨 论 三 问题的重述 一公司有二厂 分处 a b 两市 另外还有 4 间具有存贮机构的库房 分别在 p q r 和 s 市 公司出售产品给 6 家客户 c1 c2 c3 c6 由各库房或直接由工厂向客 户供货 配送货物的费用由公司负担单价见下表 受货者 供货者 a 市厂 b 市厂 p 库房 q r s p 库房 0 5 q 库房 0 5 0 3 r 库房 1 0 0 5 s 库房 0 2 0 2 客户 c1 1 0 2 0 1 0 c2 1 5 0 5 1 5 c3 1 5 0 5 0 5 2 0 0 2 c4 2 0 1 5 1 0 1 5 c5 0 5 0 5 0 5 c6 1 0 1 0 1 5 1 5 注 单位 元 吨 划 表示无供货关系 某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货 计有 c1 a 市厂 c2 p 库房 c5 q 库房 c6 r 库房或 s 库房 a 市厂月供货量不能超过 150 千吨 b 市厂月供货量不能超过 200 千吨 各库房 的月最大流通量千吨数为 库房 p q r s 流通量 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为 单位 千吨 客户 c1 c2 c3 c4 c5 c6 要求货量 50 10 40 35 60 20 在配送过程中 我们需要建立一个数学模型来计算在什么情况下公司的运输费 用最低 在什么情况下 既能满足客户的要求 又能为公司节约足够的资金 设计出来的方案还能体现公司在什么样的改进下能获得更高的经济效益 四 问题分析 在整个配送问题中 所有的对象包括三种 一种就是 a b 两个市厂 它是货 物的产源 它所生产的货物 可以放到 p q r s 四个库房里存放 也可以 直接运给客户 第二种就是库房 它一方面接受工厂的货物 另一方面把货物 提供给客户 第三种就是客户 它只是受体 接收由工厂或库房提供的货物 整个供应关系可由下面两个关系表表出 在问题的解决过程中 我们大胆地假设 a b 也收入第二种对象中即假设 a b 也为库房 则整个关系图就简化为一个图 建立合理的配送方案的处理模型 然后 将从 a 到 a a 到 b b 到 a b 到 b 的情况和其他不能运输的情况放到一起处理 由于这个问题只提及运输费用的问题 而不考虑公司在货物卖出时的收益问题 所以我们只对运输上的经济情况进行讨论 不管运输时各个运输路线的单价如 何变化 我们的模型都能将最好的方案给出来 五 符号的定义 1 工厂向各库房和客户的供货量以及库房向客户的供货量如下表 单位 千吨 供货者 受货者 a 市厂 b 市厂 p 库房 q 库房 r 库房 s 库房 a 市厂 x011 x012 x013 x014 x015 x016 b 市厂 x021 x022 x023 x024 x025 x026 受货者 供货者 a 市厂 b 市厂 p 库房 q 库房 r 库房 s 库房 客户 c1 x11 x21 x31 x41 x51 x61 客户 c2 x12 x22 x32 x44 x52 x62 客户 c3 x13 x23 x33 x43 x53 x63 客户 c4 x14 x24 x34 x44 x54 x64 客户 c5 x15 x25 x35 x45 x55 x65 客户 c6 x16 x26 x36 x46 x56 x66 六 模型的建立和求解 模型 假设 库房的月最大流通量保持不变 即在库房有货物剩余的情况下 月最大 流通量不因此而加大 模型构成 1 在配货过程中 可以由 a 市厂和 b 市厂直接向客户直接供货 也可以把两厂的 货物运到 p q r s 四个仓库之后再向客户供货 所以在这个模型中 我们 首先把 a b 看成生产地 同时又把它们作为与 p q r s 一样的库房来看待 并规定产地 a b 不向库房 a b 运送货物 在处理的时候 如果相互之间没有 配送关系 我们可以认为配送货物的费用为 无穷大 在具体运算时 我们再 对 无穷大 赋予一个比较大的具体值 模型要求公司在配货时的最小运输费用 即 minz i 表示 h 的行数 j 表示 xt 的列数 1 其中 2 每月 a 厂供货量不能超过 150 千吨 b 厂供货量不能超过 200 千吨 又由每 月库房的最大流通量已知 可得出约束式 各客户每月必须满足的供货量为 客户 c1 c2 c3 c4 c5 c6 要求货量 50 10 40 35 60 20 从而有 3 总结以上的模型 可得配货的最小运输费用问题实际上为一个线性规划模型 模型求解 在模型求解的过程中 我们调用了 matlab 的最优化软件包 在调用过程中 我们 对不能配送的费用赋值为比一般价格要高一个或几个数量级的数值 例如 当令 100 时 程序清单和所得的结果如下 f 100 0 100 0 0 5 0 5 1 0 0 2 100 0 100 0 100 0 0 3 0 5 0 2 1 0 100 0 1 5 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 10 0 0 1 5 0 5 1 5 100 0 1 0 1 0 0 5 0 5 1 0 0 5 100 0 100 0 1 5 2 0 100 0 0 5 1 5 100 0 100 0 0 2 1 5 0 5 1 5 a 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b 70000 50000 40000 50000 10000 40000 35000 60000 20000 0 0 0 0 lb zeros 48 1 x fval exitflag output lambda linprog f a b lb 结果为 x 1 0e 004 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 2 7272 0 0000 0 0000 0 0000 5 0000 5 5000 1 2728 5 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 2 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 1 0000 0 0000 3 5000 0 5000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 5 5000 0 0000 0 0000 0 0000 4 0000 0 0000 0 0000 0 0000 fval 1 9850e 005 即最小配送费用为 元 配送方案如图 在运算过程中发现 对 无穷大 赋予不同的值 a b 市厂供给 s 仓库的货物量也 随之改变 而总的运输费用不变 事实上 a b 市厂向 s 库房配送货物的费用 单价相同 所以在满足条件的情况下 a b 对 s 的配送关系不唯一 模型讨论 1 增加工厂和库房的生产能力对配送费用的影响 通过模型一的解答我们可以看出 在配货过程中 q 库房和 s 库房都已达到最 大流通俩 而 p 库房和 r 库房却没有 所以 我们在模型中尝试只增大 q 的最 大流通量 则 c4 的货物全由 q 提供 最低费用降低到 18750 元 当只增大 s 的最大流通量的时 c4 的货物全由 s 提供 最低费用降低到 18150 元 当两 个都增大时 c4 的货物还是全由 s 提供 最低费用降低到 18150 元 所以我 们得出结论 如果要进一步节约配送费用 就要提高 s 库房的流通量 其流通 量的最大值可以增到吨 此时总费用为最低费用 18150 元 而工厂的生产能 力则可以根据仓库的流通量来提高 2 费用单价 工厂和库房的生产能力以及客户对供货量的最低要求等的微小 变化对配货方案的影响 1 由上图可知 配货方案中的每个客户的货物运输都是由单价最少的路线所 提供 所以 单价的微小变化 如果不使得改路径的费用比其他路径高 就不 会对方案产生影响 否则 所得出的方案中将会改变为其他单价更低的货物运 输路线供给客户的货物 2 工厂和库房的生产能力的增加对方案的影响在上一个问题中已经给予了讨 论 而到生产能力减少时 稍微减少 a b 的生产能力和 p r 库房的流通量对 配货不会造成影响 减少 q s 的流通量时将会使得 q s 不能提供的货物改为 其他两个库房或工厂提供 3 分析模型所求出的解我们可以得出 c1 和 c6 的微小变化对结果不会产生 影响 而 c3 的需求量的减少会使得 c4 部分改由 s 库房提供 参照配送方案关 系图我们同样可以分析出其他客户需求量的变化对整个方案的影响 模型 模型构成 考虑到某些客户的喜好 我们在此基础上进行一定的假设 并引入相关参数 得到模型二 1 在模型一的基础上 我们先优先考虑客户的喜好 1 c1 喜欢 a 市厂的货物 运输费用为 50000 1 0 0 5 105 元 2 c2 喜欢 p 库房的货物 而 p 库房的货物只能由 a 市厂提供 运输费用为 0 5 10000 1 5 10000 0 2 105 元 3 c5 喜欢由 q 库房的货物 而 q 库房每月最大流通量为 50000 吨 c5 月基本 需求量为 60000 吨 则 q 库房的货物只能供给 c5 而由模型一可知 q 库房的货 物由 b 市厂供给费用较少 则有 q 库房配送 50000 吨货物给 c5 的费用为 0 3 50000 0 5 50000 0 4 105 而 c5 所需的另 10000 吨货物由其他市 厂或库房提供 2 因为 c1 c2 的配送已经确定 c5 的配送部分确定 而 c6 的货物只能由 r 库 房和 s 库房提供 所以系数矩阵变为 模型求解 结合模型将程序清单进行改变 f 100 0 100 0 0 5 0 5 1 0 0 2 100 0 100 0 100 0 0 3 0 5 0 2 1 0 100 0 1 5 2 0 100 0 100 0 2 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 1 5 0 5 1 5 100 0 100 0 1 0 0 5 0 5 1 0 0 5 100 0 100 0 1 5 2 0 100 0 0 5 1 5 100 0 100 0 0 2 1 5 0 5 1 5 a 与模型一中的 a 一致 b 60000 0 40000 0 0 40000 35000 10000 20000 0 0 0 0 lb zeros 48 1 x fval exitflag output lambda linprog f a b lb 结果为 x 0 0000 0 0000 2 0323 0 0000 0 0000 0 1945 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 3 0000 3 8055 0 0000 0 0000 0 0000 1 4677 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 2 0323 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 1 0000 2 0000 0 0000 0 0000 4 0000 0 0000 0 0000 0 0000 fval 1 3600e 005 由确定部分以及求解的结果得到总的配送费用为 24600 元 即为了尽最大程度 满足客户的喜好选择 配送费用提高了 4750 元 七 误差分析 1 在模型的求解过程中 所给出的运货为零的方案在实际计算中并非真正为 0 而是计算机在计算过程中采取了舍入的方法 这些对模型结果的影响并不 大 因为数据足够小 而且在实际中 如果运送的货物很少的话 对资源反而