【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章2.3.1 空间直角坐标系的建立2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标目标导学 北师大版必修2

1 3 23 2 空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标 学习目标重点难点 1 通过数轴与数 平面直角坐标系与有序 实数对 深刻感受空间直角坐标系建立的背 景 体会建立空间直角坐标系的必要性 2 理解空间直角坐标系中点的坐标表 示 会根据条件建立适当的空间直角坐标系 并能求出点的坐标 3 记住空间中的点关于特殊点 线 面对称 的点的坐标 重点 空间直角坐标系的建立 空间直角坐 标系中点的坐标表示 难点 空间直角坐标系中点的坐标表示 空 间中的点关于特殊点 线 面对称的点的坐 标 疑点 建立空间直角坐标系的原则 垂直性 和对称性原则 1 建立空间直角坐标系 如图 在空间直角坐标系中 O叫作原点 x y z轴统称为坐标轴 由坐标轴确定的 平面叫作坐标平面 x y轴确定的平面记作xOy平面 y z轴确定的平面记作yOz平面 x z轴确定的平面记作 xOz平面 温馨提示 一般地 将x轴和y轴放置在水平面上 那么z轴就垂直于水平面 它们 的方向通常符合右手螺旋法则 这样我们建立的坐标系为右手系 预习交流预习交流 1 1 如何理解空间直角坐标系 提示 1 空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 通过原点O 再增加一条与xOy平面垂直的z轴 空间直角坐标系 2 将空间直角坐标系画在纸上时 x轴与y轴成 135 或 45 x轴与z轴成 135 或 45 y轴垂直于z轴 y轴和z轴的单位长度相等 x轴上的单位长度则等于y轴单位长 度的 1 2 2 空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中 对于空间任意一点P 都可以用一个三元有序数组 x y z 来 2 表示 其中第一个是x坐标 第二个是y坐标 第三个是z坐标 反之 任何一个三元有 序数组 x y z 都可以确定空间中的一个点P 这样 在空间直角坐标系中 点与三元 有序数组之间建立了一一对应的关系 预习交流预习交流 2 2 在空间直角坐标系中 给定点的坐标 如何确定点的位置呢 提示 已知点P x y z 可以先确定点P x y 0 在xOy平面上的位 置 P P z 如果z 0 则点P即点P 如果z 0 则点P与z轴的正半轴在xOy 平面的同侧 如果z 0 则点P与z轴的负半轴在xOy平面的同侧 1 如图 在空间直角坐标系中 OABC D A B C 是边长为 1 的正方体 写出下面 三个点的坐标 A B C 2 点M 3 0 6 位于 A z轴上 B xOy平面内 C xOz平面内 D yOz平面内 提示 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 C 1 确定空间中任一点的坐标 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为 4 E是A1C1的中点 且 BF 3 FB1 建立 空间直角坐标系并求E F的坐标 思路分析 根据正方体的特点 建立适当的空间直角坐标系 然后对特殊点 可直接 写出坐标 对于非特殊点 首先找出所求点在xOy平面上的投影点 然后再确定该点的z 坐标 从而确定该点的坐标 解 如图所示 以D点为坐标原点 以DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 E点在xOy平面上的投影为AC的中点H 2 2 0 又 EH 4 E点的z坐标为 4 3 因此E点的坐标为 2 2 4 F点在平面xOy上的投影为B 4 4 0 BB1 4 BF 3 FB1 BF 3 即点F的z坐标为 3 点F的坐标为 4 4 3 1 在空间直角坐标系中 过点P 2 3 7 且与y轴垂直的平面与y轴的交点坐标为 点P在xOy平面上的投影坐标为 在yOz平面上的投影坐标是 答案 0 3 0 2 3 0 0 3 7 2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AD 3 AB 4 AA1 2 建立如图所示的空间 直角坐标系 试写出D1 C A1 B1四点的坐标 解 D1 0 0 2 C 0 4 0 A1 3 0 2 B1 3 4 2 1 建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 1 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内 2 充分利用几何图形的对称性 2 对于正方体或长方体 一般取相 邻的三条棱为x y z轴建立空间直角坐标 系 确定某点的坐标时 一般先找这一点在某一坐标平面的投影点 确定其两个坐标 再 确定第三个坐标 2 求空间对称点的坐标 在空间直角坐标系中 有一点P 2 1 4 1 求点P关于x轴的对称点的坐标 2 求点P关于xOy平面的对称点的坐标 3 求点P关于点M 2 1 4 的对称点的坐标 思路分析 类比平面直角坐标系中点的对称问题 掌握对称点的变化规律即可求解 解 1 由于点P关于x轴对称后 它的x坐标不变 y坐标 z坐标变为原来的相反 数 所以对称点为P1 2 1 4 2 由于点P关于xOy平面对称后 它的x坐标 y坐标不变 z坐标变为原来的相反 数 所以对称点为P2 2 1 4 3 设对称点为P3 x y z 则点M为线段PP3的中点 由中点坐标公式 可得 x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以 P3 6 3 12 已知点A 4 2 3 关于坐标原点的对称点为A1 A1关于xOz平面的对称点为A2 A2关 于z轴的对称点为A3 求线段AA3的中点M的坐标 解 点A 4 2 3 关于坐标原点的对称点A1的坐标为 4 2 3 点 A1 4 2 3 关于xOz平面的对称点A2的坐标为 4 2 3 点A2 4 2 3 关于z 轴的对称点A3的坐标为 4 2 3 AA3中点M的坐标为 4 0 0 4 1 点 3 2 1 关于yOz平面的对称点是 关于x轴的对称点是 关于z轴的对称点是 答案 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 已知A 1 2 7 B 3 10 9 则线段AB的中点M关于原点对称的点的 坐标是 解析 线段AB的中点M的坐标是 2 4 1 M关于原点对称的点的坐标为 2 4 1 答案 2 4 1 关于坐标平面 坐标轴及原点对称的点有以下特点 1 P x y z P1 x y z 关于xOy平面对称 P x y z P2 x y z 关于yOz平面对称 P x y z P3 x y z 关于xOz平面对称 2 P x y z P4 x y z 关于x轴对称 P x y z P5 x y z 关于y轴对称 P x y z P6 x y z 关于z轴对称 3 P x y z P7 x y z 关于原点对称 求对称点问题可以用 关于谁对称谁保持不变 其余坐标相反 的口诀来记忆 1 点P 3 0 1 在空间直角坐标系中的位置是在 A y轴上 B xOy平面上 C xOz平面上 D yOz平面上 答案 C 2 点M 0 3 0 在空间直角坐标系中的位置是在 A x轴上 B y轴上 C z轴上 D xOz平面上 答案 B 3 在空间直角坐标系中 P 2 3 4 Q 2 3 4 两点的位置关系是 A 关于x轴对称 B 关于yOz平面对称 C 关于原点对称 D 以上都不对 答案 C 4 点M 1 2 4 关于x轴对称的点的坐标是 关于z轴对称的点的坐标是 关于原点对称的点的坐标是 关于xOy平面对称的点的坐标是 关于yOz平面对称的点的坐标是 答案 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 5 已知棱长为 1 的正方体ABCD A B C D 建立如图所示的不同空间直角坐标 5 系 试分别写出正方体各顶点的坐标 解 1 因为D 是原点 A C 分别在x轴 y轴的正半轴上 D在z轴的负半轴 上 且正方体的棱长为 1 所以A 1 0 0 C 0 1 0 D 0 0 1 D 0 0 0 B 1 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 B 1 1