（新课标）2014届高三数学一轮复习方案精编试题9

1 20142014 届高三数学 新课标 一轮复习方案精编试题届高三数学 新课标 一轮复习方案精编试题 9 9 考查范围 必考全部内容 集合 简易逻辑 函数 导数 数列 三角 向量 不等式 解析几何 立体几何 排列 组合 二项式定理 概率统计 复数 算法 推理证明 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2012 年 4 月 9 日大连沈阳联合考试数学理 已知集合 2 320 log 42 x Ax xxBx 则 AB A B C D 2 1 2 1 2 2 2 2 答案 B 解析 A 1 2 由 得 又因为 所以 故 B 2 则log 42 x 2 4x 0 x 2x 1 2AB 2 宁夏银川一中 2012 届高三年级第三次月考数学文 若 tan 2 则的值 cos2sin cossin2 为 A 0 B C 1 D 3 4 5 4 答案 B 解析 2sincos2tan13 sin2costan24 3 湖北省七市 2013 届高三 4 月联考数学 理 试题 函数 f x 2x sinx 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 因为在上恒成立 所以函数 2cos0fxx R 在上单调递增 又因为 所以函数只有一个 2sinf xxx R 00f 2sinf xxx 零点 0 4 2013 北京卷 是 曲线 y sin 2x 过坐标原点 的 A 充分而不必要条件 2 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 曲线 y sin 2x 过坐标原点 sin 0 k k Z 故选 A 5 2013 全国卷 已知数列 an 满足 3an 1 an 0 a2 则 an 的前 10 项和等于 4 3 A 6 1 3 10 B 1 310 1 9 C 3 1 3 10 D 3 1 3 10 答案 C 解析 由 3an 1 an 0 得 an 0 否则 a2 0 且 所以数列 an 是 an 1 an 1 3 公比为 的等比数列 代入 a2可得 a1 4 故 1 3 S10 3 3 1 3 10 4 1 1 3 10 1 1 3 1 1 3 10 6 理 云南昆明一中 2012 届高三第二次摸底测试数学理 曲线在点处2 x yex 01 的切线方程为 A B C D 1yx 1yx 31yx 1yx 答案 C 解析 则切线方程为 即 2 x ye 0 0 23 x kye 13yx 31yx 文 云南昆明一中 2012 届高三第二次摸底测试数学文 曲线在点处的切 x yex 01 线方程为 A B C D 21yx 21yx 1yx 1yx 答案 A 解析 则切线方程为 即 1 x ye 0 0 12 x kye 12yx 21yx 7 2012 届宁夏银川一中第二次模拟考试数学文 某人向一个半径为 6 的圆形靶射击 假设 他每次射击必定 会中靶 且射中靶内各点是随机的 则此人射中的靶点与靶心的距离小于 2 的概率为 3 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 9 答案 D 解析 由几何概型得 所求概率为 2 2 21 69 P 8 理 河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测数学理 在二项式的展开式 2 1 n x x 中 所有二项式系数的和是 32 则展开式中各项系数的和为 A 32 B 32 C 0 D 1 答案 C 解析 在二项式中 令 得 故展开式中各项系数的和为 0 2 1 n x x 1x 2 1 10 1 n 文 山东省潍坊市 2012 届高三 5 月仿真模拟数学文 林管部门在每年 3 12 植树节前 为保证树苗的质量 都会在植树前对树苗进行检测 现从甲 乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度 其茎叶图如图 根据茎叶图 下列描述正确的是 A 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度 且甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度 但乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度 且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度 但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 答案 D 解析 甲种树苗的平均高度为 19 20 21 23 25 29 37 33 32 31 27 10 x甲 甲种树苗的高度的方差为 22222 22222 8 7 6 4 2 2 10 6 5 4 35 10 s 甲 4 乙种树苗的平均高度为 10 14 10 26 27 30 44 46 46 47 30 10 x乙 乙种树苗的高度的方差为 22222 22222 20 16 20 4 3 0 14 16 16 17 207 8 10 s 乙 比较可知 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度 但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 选 D 9 2013 辽宁卷 执行如图 1 2 所示的程序框图 若输入 n 8 则输出 S A B 4 9 6 7 C D 8 9 10 11 答案 A 解析 由程序框图可以得到 S 1 22 1 1 42 1 1 62 1 1 82 1 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 7 9 1 故选 A 1 2 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 7 1 9 4 9 10 2013 重庆卷 某几何体的三视图如图 1 2 所示 则该几何体的体积为 5 A B C 200 D 240 560 3 580 3 答案 C 解析 该几何体为直四棱柱 其高为 10 底面是上底为 2 下底为 8 高 为 4 其腰为 5 的等腰梯形 所以其底面面积为 2 8 4 20 所以体积为 1 2 V 20 10 200 11 2012 高考真题新课标理 10 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 双曲线 x2 a2 y2 b2 3 2 x2 y2 1 的渐近线与椭圆C有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆C的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 8 y2 2 x2 12 y2 6 x2 16 y2 4 x2 20 y2 5 答案 D 解析 由离心率为得 a2 4b2 排除选项 B 双曲线的渐近线方程为y x 与椭圆的 3 2 四交点组成的四边形的面积为 16 可得在第一象限的交点坐标为 代入选项 A C D 2 2 知选项 D 正确 12 理 2012 高考山东理 9 文 10 函数的图象大致为 cos6 22 xx x y 答案 D 解析 由函数y 为奇函数 排除选项 A 当x无限大时 y趋向于 0 排除选项 cos6x 2x 2 x 6 C 当x从正数趋向于 0 时 y趋向于正无穷大 故选 D 文 海南省琼海市 2012 年高考模拟测试一数学理 方程所表 22 1lg10 xxy 示的曲线的图形 是 答案 D 解析 由题意可得或 即或 但是要使得该10 x 22 lg10 xy 1x 22 2xy 方程有意义还要 满足综上可知图象选 D 22 1 10 x xy 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在答题卷相应位置上 13 河南省许昌新乡平顶山2012届高三第三次调研考试数学文 设向量的夹角为 且 a b 则 cos 3 321 1 a ba 答案 10 103 解析 设 由 得 所以 x yb 21 123 23xy ba1 2xy 9 cos 3 10 Aa b a b 3 10 10 14 2013 江苏卷 抛物线 y x2在 x 1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D 包含三角形内部与边界 若点 P x y 是区域 D 内的任意一点 则 x 2y 的取值范围是 O 1x y A O 1 x y C 1 x y D O 1 x y B 222 7 答案 解析 由 y x2得 y 2x 则在点 x 1 处的切线斜率 2 1 2 k 2 1 2 切线方程为 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 在平面直角坐标系中作出可行域 如图阴影部分所示 则 A 0 1 B 1 2 0 作直线 l0 x 2y 0 当平移直线 l0至点 A 时 zmin 0 2 1 2 当平移直线 l0至点 B 时 zmax 2 0 1 2 1 2 故 x 2y 的取值范围是 2 1 2 15 2013 陕西卷 观察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此规律 第 n 个等式可为 答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 解析 结合已知所给 n n 1 2 几项的特点 可知式子左边共 n 项 且正负交错 奇数项为正 偶数项为负 右边的绝对值 为左边底数的和 系数和最后一项正负保持一致 故表达式为 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 n n 1 2 16 东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2012 长春三模 数学文 如果直线 和函数的图象恒过同一个 21400 0axbyab 1 10 1 x f xmmm 定点 且该定点始终落在圆的内部或圆上 那么的取值 22 1225xayb b a 范围是 8 答案 3 4 4 3 解析 根据指数函数的性质 可知函数恒过定点 将 1 10 1 x f xmmm 1 2 点代入 可得 由于点始终落在所给圆的内部或 1 2 2140axby 7ab 1 2 圆上 所以 由解得或 这说明点在以 22 25ab 22 7 25 ab ab 3 4 a b 4 3 a b a b 和为端点的线段上运动 所以的取值范围是 3 4A 4 3B b a 3 4 4 3 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 70 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 本小题满分 10 分 2013 山东卷 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 a c 6 b 2 cos B 7 9 1 求 a c 的值 2 求 sin A B 的值 解 1 由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B 得 b2 a c 2 2ac 1 cosB 又 b 2 a c 6 cos B 所以 ac 9 7 9 解得 a 3 c 3 2 在 ABC 中 sin B 1 cos2B 4 2 9 由正弦定理得 sin A asin B b 2 2 3 因为 a c 所以 A 为锐角 所以 cos A 1 sin2 A 1 3 因此 sin A B sin Acos B cos Asin B 10 2 27 18 本小题满分 12 分 2013 天津卷 已知首项为 的等比数列 an 不是递减数列 其前 n 项和为 Sn n N 3 2 且 S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 9 2 设 Tn Sn n N 求数列 Tn 的最大项的值与最小项的值 1 Sn 解 1 设等比数列 an 的公比为 q 因为 S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以 S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即 4a5 a3 于是 q2 又 an 不是递减数列且 a5 a3 1 4 a1 所以 q 故等比数列 an 的通项公式为 an n 1 1 n 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2n 2 由 1 得 Sn 1 n 1 2 1 1 2n n为奇数 1 1 2n n为偶数 当 n 为奇数时 Sn随 n 的增大而减小 所以 1 Sn S1 故 0 Sn S1 3 2 1 Sn 1 S1 3 2 2 3 5 6 当 n 为偶数时 Sn随 n 的增大而增大 所以 S2 SnSn S2 1 Sn 1 S2 3 4 4 3 7 12 综上 对于 n N 总有 Sn 7 12 1 Sn 5 6 所以数列 Tn 最大项的值为 最小项的值为 5 6 7 12 19 本小题满分 12 分 理 2013 重庆卷 某商场举行的 三色球 购物摸奖活动规定 在一次摸奖中 摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球 再从装有 1 个蓝球与 2 个白球 的袋中任意摸出 1 个球 根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数 设一 二 三等奖如下 奖级摸出红 蓝球个数获奖金额 一等奖3 红 1 蓝200 元 二等奖3 红 0 蓝50 元 三等奖2 红 1 蓝10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 1 求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率 2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E X 解 设 Ai表示摸到 i 个红球 Bj表示摸到 j 个蓝球 则 Ai i 0 1 2 3 与 10 Bj j 0 1 独立 1 恰好摸到 1 个红球的概率为 P A1 18 35 2 X 的所有可能值为 0 10 50 200 且 P X 200 P A3B1 P A3 P B1 1 3 1 105 P X 50 P A3B0 P A3 P B0 2 3 2 105 P X 10 P A2B1 P A2 P B1 1 3 12 105 4 35 P X 0 1 1 105 2 105 4 35 6 7 综上知 X 的分布列为 X01050200 P 6 7 4 35 2 105 1 105 从而有 E X 0 10 50 200 4 元 6 7 4 35 2 105 1 105 文 某产品的三个质量指标分别为x y z 用综合指标S x y z评价该产品的等 级 若S 4 则该产品为一等品 先从一批该产品中 随机抽取 10 件产品作为样本 其质 量指标列表如下 产品编号 A1A2A3A4A5 质量指标 x y z 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 产品编号 A6A7A8A9A10 质量指标 x y z 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 在该样品的一等品中 随机抽取两件产品 用产品编号列出所有可能的结果 设事件B为 在取出的 2 件产品中 每件产品的综合指标S都等于 4 求事件 B发生的概率 11 20 本小题满分 12 分 理 2013 江西卷 如图 1 6 所示 四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD E 为 BD 的中点 G 为 PD 的中点 DAB DCB EA EB AB 1 PA 联结 CE 并延长交 AD 于 F 3 2 1 求证 AD 平面 CFG 2 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值 图 1 6 解 1 证明 在 ABD 中 因为 E 是 BD 中点 所以 EA EB ED AB 1 故 BAD ABE AEB 2 3 因为 DAB DCB 所以 EAB ECB 12 从而有 FED BEC AEB 3 所以 FED FEA 故 EF AD AF FD 又因为 PG GD 所以 FG PA 又 PA 平面 ABCD 所以 GF AD 故 AD 平面 CFG 2 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系 则 A 0 0 0 B 1 0 0 C D 0 0 3 2 3 2 0 3 P0 0 故 3 2 BC 1 2 3 2 0 CP 3 2 3 2 3 2 CD 3 2 3 2 0 设平面 BCP 的法向量n1 1 y1 z1 则 1 2 3 2 y1 0 3 2 3 2 y1 3 2z1 0 解得即n1 y1 3 3 z1 2 3 1 3 3 2 3 设平面 DCP 的法向量n2 1 y2 z2 则解得 3 2 3 2 y2 0 3 2 3 2 y2 3 2z2 0 y2 3 z2 2 即n2 1 2 3 从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为 cos n1 n2 n1 n2 4 3 16 9 8 2 4 文 2013 江苏卷 如图 1 2 在三棱锥 S ABC 中 平面 SAB 平面 SBC AB BC AS AB 过 A 作 AF SB 垂足为 F 点 E G 分别是棱 SA SC 的中点 13 求证 1 平面 EFG 平面 ABC 2 BC SA 图 1 2 证明 1 因为 AS AB AF SB 垂足为 F 所以 F 是 SB 的中点 又因为 E 是 SA 的中 点 所以 EF AB 因为 EF 平面 ABC AB 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 同理 EG 平面 ABC 又 EF EG E 所以平面 EFG 平面 ABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 且交线为 SB 又 AF 平面 SAB AF SB 所以 AF 平面 SBC 因为 BC 平面 SBC 所以 AF BC 又因为 AB BC AF AB A AF AB 平面 SAB 所以 BC 平面 SAB 因为 SA 平面 SAB 所以 BC SA 21 本小题满分 12 分 2012 高考真题浙江文 22 如图 1 6 在直角坐标系xOy中 点P到抛物线 1 1 2 C y2 2px p 0 的准线的距离为 点M t 1 是C上的定点 A B是C上的两动点 且 5 4 线段AB被直线OM平分 1 求p t的值 2 求 ABP面积的最大值 14 图 1 6 解 1 由题意知Error 得Error 2 设A x1 y1 B x2 y2 线段AB的中点为Q m m 由题意知 设直线AB的斜率为k k 0 由Error 得 y1 y2 y1 y2 x1 x2 故k 2m 1 所以直线AB方程为y m x m 即x 2my 2m2 m 0 1 2m 由Error 消去x 整理得y2 2my 2m2 m 0 所以 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1 y2 2m2 m 从而 AB y1 y2 1 1 k21 4m24m 4m2 设点P到直线AB的距离为d 则d 1 2m 2m2 1 4m2 设 ABP的面积为S 则S AB d 1 2 m m2 1 2m m2 由 4m 4m2 0 得 0 m 1 令u 0 u 则S u 1 2u2 m m2 1 2 设S u u 1 2u2 0 u 则S u 1 6u2 1 2 由S u 0 得u 所以S u max S 6 6 0 1 2 6 6 6 9 故 ABP面积的最大值为 6 9 22 本小题满分 12 分 15 理 湖北省武汉市 2012 届高三四月调研测试数学理 已知函数f x ln 1 x ax 在x 处的切线的斜率为 1 1 2 求a的值及f x 的最大值 证明 1 ln n 1 n N 1 2 1 3 1 n 设g x b ex x 若f x g x 恒成立 求实数b的取值范围 解 函数f x 的定义域为 1 求导数 得f x a 1 1 x 由已知 得f 1 即 a 1 所以a 1 1 2 此时f x ln 1 x x f x 1 1 1 x x 1 x 当 1 x 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 所以当x 0 时 f x 取得极大值 该极大值即为最大值 所以f x max f 0 0 4 分 法 一 由 得 ln 1 x x 0 即 ln 1 x x 当且仅当x 0 时 等号成立 令x k N 则 ln 1 即 ln 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 所以 ln k 1 lnk k 1 2 n 1 k 将上述n个不等式依次相加 得 1 ln2 ln1 ln3 ln2 ln n 1 lnn 1 2 1 3 1 n 所以 1 ln n 1 n N 10 分 1 2 1 3 1 n 法 二 用数学归纳法证明 1 当n 1 时 左边 1 lne 右边 ln2 所以左边 右边 不等式成立 2 假设当n k时 不等式成立 即 1 ln k 1 1 2 1 3 1 k 那么 1 ln k 1 1 2 1 3 1 k 1 k 1 1 k 1 由 知x ln 1 x x 1 且x 0 令x 则 ln 1 ln 1 k 1 1 k 1