上海市南汇中学2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题

1 上海南汇中学上海南汇中学 20122012 学年第二学期期末考试学年第二学期期末考试 高一数学高一数学 一 填空题 每小题填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1212 题 共题 共 3636 分分 1 若 则与角具有相同终边的最小正角为2013 o 213o 2 一个扇形的半径是 2 cm 弧长是 4 cm 则圆心角的弧度数为 2 3 已知 则 cos3sin 2sin1 2cos 2 1 4 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 100 个 金鱼 图需要火柴棒的根数为 602 5 已知ABC 的三边长成公比为2的等比数列 则ABC 的最大内角的大小为 用反三角函数表示 2 arccos 4 6 已知等比数列 n a为递增数列 且 2 51021 2 5 nnn aaaaa 2 51021 2 5 nnn aaaaa 则数列 n a的通 项公式 n a 2n 7 设数列 n a 是等差数列 若和是方程0384 2 xx的两根 则数n N 2 a 2012 a 列 n a的前项的和 2013 2013 2013 S 8 已知ABC 的三个内角依次成等差数列 则的值 A B Ctantan3tantan 2222 ACAC 为 3 9 给出问题 已知ABC 满足 试判定ABC 的形状 某学生的解coscosaAbB 答如下 解 i 由余弦定理可得 222222 22 bcaacb ab bcac 2222222 abcabab 222 cab 故ABC 是直角三角形 ii 设ABC 外接圆半径为 由正弦定理可得 原式等价于R 2 sincos2 sincosRAARBB sin2sin2AB AB 故ABC 是等腰三角形 由 i ii 得 ABC 是等腰直角三角形 请问 该学生的解答是否正确 若正确 请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想 方法 若不正确 请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 等腰或直角三角形 2 10 已知函数的最小正周期为 若将该函数的图像向左平移sin 0 3 yx m 个单位后 所得图像关于原点对称 则的最小值为 0 m m 3 11 在共有 2009 项的等比数列中 有等式成立 类比上述性 n a 1352009 1005 2462008 aaaa a aaaa 质 在共有 2013 项的等差数列中 相应的有等式 n b 成立 13520132420121007 bbbbbbbb 12 对于函数 在使成立的所有常数中 我们把的最大值称为函 xfMxf MM 数的 下确界 则函数的 下确界 为 0 xfxxxxxfcsccscsinsin 22 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 3 3 分 共分 共 4 4 题 共题 共 1212 分 分 13 设 是三个实数 则 是 依次成等比数列 的 B abcacb 2 a b c A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 14 下列命题中正确的是 D A 函数xysin 与xyarcsin 互为反函数 B 函数xysin 与xyarcsin 都是增函数 C 函数xysin 与xyarcsin 都是周期函数 D 函数xysin 与xyarcsin 都是奇函数 15 设函数 则函数的最小值是 B sin cos2 2 2 f xxx x f x A B 0C D 1 1 2 9 8 16 数列 n a的通项公式cos 2 n n an 其前n项和为 n S 则等于 C 2013 S A 0 B 503 C 1006 D 2012 三 解答题 三 解答题 8 10 10 12 12 528 10 10 12 12 52 分分 17 三角比内容丰富 公式很多 若仔细观察 大胆猜想 科学求证 你也能发现其中的 一些奥秘 请你完成以下问题 1 计算 cos2cos88cos5cos85 sin47sin133sin50sin130 cos12cos78 sin57sin123 直接写答案 别忘记把计算器设置成直接写答案 别忘记把计算器设置成 角度角度 2 根据 1 的计算结果 请你猜出一个一般性的结论 用数学式子加以表达 并证明你的结论 写出推理过程 用数学式子加以表达 并证明你的结论 写出推理过程 解 1 3 分 2 2 2 3 2 猜想 其中 5 分 cos cos 2 2 3 sin sin 44 x x xx 4 xkkz 证明 33 sin sin 4444 xxxx Q 又 所左边 cos sin 2 xx 8 分 2sin cossin 4 2 sin sin 44 x xx xx 18 如图 某观测站在城的南偏西方向上 从城出发有一条CA 20A 公路 走向是南偏东在处测得距离为千米的公路上的处有 40CC31B 一辆车正沿着公路向城驶去 该车行驶了千米后到达处停下 A20D 此时测得 两处距离为千米CD21 1 求的值 CDB cos 2 此车在处停下时距城多少千米 DA 解 1 在中 由余弦定理得CDB 4 分 7 1 20212 312021 2 cos 222222 BDCD BCBDCD CDB 2 5 分 7 34 cos1sin 2 CDBCDB 7 14 35 60sincos60cossin 60sin sin CDBCDBCDBACD 分 在中 由正弦定理得 9 分 ACD 15 2 3 14 35 21 sin sin CAD ACDCD AD 答 此车在处停下时距城处千米 DA15 10 分 19 已知数列的前项和为 其中为常数 n an 2 2 n a Sn a 1 求证 数列为等差数列 n a 4 2 试讨论数列的单调性 递增数列或递减数列或常数列 n a 解 1 由已知 得 2 11 a Sa 2 2 12 2 1 nNn a ann a SSa nnn 又 2 1 nNnaaa nn 所以 数列为公差为的等差数列 5 分 n aa 2 由得 2 1 nNnaaa nn 当时 数列为递增数列 0 a n a 当时 数列为常数列 0 a n a 当时 数列为递减数列 10 分0 a n a 20 已知函数 其中 2 sinsin2cos 662 x f xxxx R 0 1 求函数的最大值 f x 2 若函数的最小正周期为 试确定的值 并求函数的单调 f x yf xx R 增区间 3 在 2 的条件下 若不等式在上恒成立 求实数的取 2f xm 4 2 x m 值范围 解 1 2 sinsin2cos 662 x f xxxx R sin cos sin cos cos 1 2 3 x 2 1 x 2 3 x 2 1 x x 2 sin cos 1 2sin 1 2 3 x 2 1 x x 6 函数的最大值为 1 4 分 f x 2 的周期为 又由 得 即得 yf x 0 2 2 于是有 再由 sin f xx 221 6 kxkkZ 222 262 解得 kxkkZ 63 所以的单调增区间为 8 分 yf x kxkkZ 63 3 2 2 2f xmf xmf x 4 2 x 且 又 max 2mf x min 2mf x 4 2 x 5 366 2x 5 即 2 2sin 2x 1 1 1 m 0 即的取值范围是 1 0 12 6 m 分 21 已知数列 若存在正整数 对一切都有 则称数列为周期 n bT n N n Tn bb n b 数列 是它的一个周期 例如 T 数列 可看作周期为 1 的数列 aaaa 数列 可看作周期为 2 的数列 abab 数列 可看作周期为 3 的数列 abcabc 1 对于数列 它的一个通项公式可以是 试再写出该数列的一个 n an a bn 为正奇数 为正偶数 通项公式 2 求数列 的前项和 n n S 3 在数列 中 若 且它有一个形如的通 1 2 1 2 abc sin n bAn B 项公式 其中 均为实数 求该数列的一个通项AB 0A 0 2 公式 n b 解 1 或等 3 分 1 1 1 1 1 22 nn n ab a sin cos 22 n nn aab 2 当时 5 分 31nk 1 3 n n Sabca 当时 6 分 32nk 2 3 n n Sabcab 6 当时 7 分 33nk 3 n n Sabc k N 3 由题意 应有 得 0 2 3 2 3 于是 2 sin 3 n bAnB 把 代入上式得 10 分 1 2b 2 1 2 b 3 1b 2 sin 2 1 3 41