2.3.1《双曲线》知能优化训练（苏教版选修2-1）

1 2011 年高考安徽卷改编 双曲线 2x2 y2 8 的实轴长是 解析 2x2 y2 8 1 x2 4 y2 8 a 2 2a 4 答案 4 2 已知方程 1 表示的曲线为 C 给出以下四个判断 x2 4 t y2 t 1 当 1 t4 或 t 1 时 曲线 C 表示双曲线 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆 则 1 t4 其中 5 2 判断正确的是 只填正确命题的序号 解析 错误 当 t 时 曲线 C 表示圆 正确 若 C 为双曲线 则 4 t t 1 5 2 0 t4 正确 若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆 则 4 t t 1 0 1 t4 答案 3 双曲线 9x2 16y2 1 的焦点坐标为 解析 双曲线方程可化为 1 c 两焦点为 0 y2 1 16 x2 1 9a2 b2 1 16 1 9 5 12 5 12 和 0 5 12 答案 0 和 0 5 12 5 12 4 与椭圆 y2 1 共焦点 且过点 Q 2 1 的双曲线方程是 x2 4 解析 由椭圆方程得焦点为 F1 0 和 F2 0 故设双曲线方程为 33 1 将 Q 2 1 坐标代入得 1 a4 8a2 12 0 a2 2 或 x2 a2 y2 3 a2 4 a2 1 3 a2 a2 6 c2 舍去 故所求方程为 y2 1 x2 2 答案 y2 1 x2 2 一 填空题 1 过双曲线 1 的左焦点 F1的直线 l 交双曲线于 A B 两点 且 A B 两点在 y x2 16 y2 9 轴的左侧 F2为右焦点 AB 10 则 ABF2的周长为 解析 A B 两点在双曲线的左支上 AF2 AF1 8 BF2 BF1 8 又 AF1 BF1 AB 10 AF2 BF2 16 10 26 ABF2的周长为 AF2 BF2 AB 26 10 36 答案 36 2 已知双曲线 x2 4y2 4 上任意一点 P 到双曲线的一个焦点的距离等于 6 那么点 P 到另一个焦点的距离等于 解析 设点 P 到另一个焦点的距离为 d 由双曲线的定义得 d 6 2 2 4 即 d 10 或 2 答案 10 或 2 3 焦点在坐标轴上 中心在原点 且经过点 P 2 3 和 Q 7 6 的双曲线方程 72 是 解析 设双曲线的方程为 mx2 ny2 1 mn 0 把 P Q 两点的坐标代入 得Error 解得Error 答案 1 x2 25 y2 75 4 若椭圆 1 与双曲线 1 有相同焦点 则实数 m 的值为 x2 4 y2 m x2 m y2 2 解析 由已知 0 m 4 且 4 m m 2 m 1 答案 1 5 已知点 F1 0 F2 0 动点 P 满足 PF2 PF1 2 当点 P 的纵坐标是 时 22 1 2 点 P 到坐标原点的距离是 解析 因为动点 P 满足 PF2 PF1 2 为定值 又 2n 0 与双曲线 1 a 0 b 0 有相同的焦点 F1 F2 且 P 是 x2 m y2 n x2 a y2 b 这两条曲线的一个交点 则 PF1 PF2 等于 解析 由椭圆的定义得 PF1 PF2 2 由双曲线的定义得 PF1 PF2 2 ma 由 2减去 2的差再除以 4 得 PF1 PF2 m a 答案 m a 7 曲线 1 m 6 与曲线 1 5 n 9 的 相等 x2 10 m y2 6 m x2 5 n y2 9 n 解析 曲线 1 m 6 为椭圆方程 焦点在 x 轴上 c2 10 m 6 m x2 10 m y2 6 m 4 曲线 1 5 n0 b 0 x2 a2 y2 b2 则将 a 4 代入 得 1 x2 16 y2 b2 又 点 A 1 在双曲线上 4 10 3 1 1 16 160 9b2 由此得 b20 b 0 则将 a 4 代入得 1 代入点 y2 a2 x2 b2 y2 16 x2 b2 A 1 得 b2 9 4 10 3 双曲线的标准方程为 1 y2 16 x2 9 2 设所求双曲线方程为 mx2 ny2 1 mn 0 点 3 4 5 在双曲线上 2 9 4 Error 解得Error 双曲线标准方程为 1 y2 16 x2 9 10 一动圆与两定圆 A x 5 2 y2 49 B x 5 2 y2 1 都外切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 解 如图所示 设动圆的半径为 r 则 PA r 7 PB 1 r PA PB 6 又 A B 为定点 且 6 10 则由双曲线的定义知点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的双曲线的右支 设动圆圆心 P 的轨迹方程为 1 x a x2 a2 y2 b2 A 5 0 B 5 0 AB 10 2c c 5 即 c2 25 又 2a 6 a 3 即 a2 9 b2 c2 a2 16 动圆圆心 P 的轨迹方程为 1 x 3 x2 9 y2 16 11 在 ABC 中 AB 4 且三内角 A B C 满足 2sin A sin C 2sin B 建立适当 2 的坐标系 求顶点 C 的轨迹方程 解 如图 以 AB 边所在的直线为 x 轴 AB 的垂直平分线为 y 轴 建立直角坐标系 则 A 2 0