5分式 综合练习（二）

第九章第九章 分式分式 综合练习 二 综合练习 二 例题精选例题精选 例一解方程 x xxx 1 2 21 1 2 解法一 两边同乘 xxx 121 2 x xxxxxx 22 2121121 x 2 1 得 经检验 为增根x 1x 1 解法二 两边同乘最简公分母 x 1 2 x xxx 1221 2 x 1 经检验是原方程的根x 1 例二解方程 21 1 3 1 6 1 2 x x x xx 解法一 两边同乘以 xxx 111 2 整理得xxxx 1234 2111 经检验均为增根xxx 234 111 解法二 两边同乘以最简公分母 xx 11 211316xxx x xxxx 2 20210 得 经检验是增根xx 12 21 x21 例三解方程 x x x x x x x x 7 9 3 5 4 6 6 8 解 整理化简得 214 95 214 68 x xx x xx 两个相等分式的分子相等 分母也等 xxxx 9568 xxxx 22 14451448 即 45 48 矛盾 此方程无解 即没有一个值能使分母相等x 本题错在论据不充分 分子相等 若为零 对于分母只要有意义 两个分 式相等仍然成立 本题解是本题的解 被漏掉了 21407xx 例四解方程5 96 16 31 4 21 4 2 x x x x x 解 方程两边同乘以最简公分母x 2 16 得51696314214 2 xxxxx 580963124294 222 xxxxxx 162 xx 8 经检验是原方程的根x 8 说明 本题有两处值得注意 首先去分母时常数项 5 不要忘记也要乘最简公分 母 其次是等式左边最后一项去分母时符号易错 31 4 x x 例五解关于的方程xx x a a 2 2 2 2 11 解 原方程变形为xa xa 22 22 11 0 xa ax x a xa xa a x xa a x 22 22 22 22 22 22 22 22 0 0 1 1 0 xaa x 2222 1 解得xaxax a x a 1234 11 说明 关于含字母系数的分式方程 教材中一律不要求检验 例六解方程2 1 3 1 1 2 2 x x x x 解 依据x x x x 2 2 2 11 2 原方程 2 1 3 1 50 2 x x x x 设x x y 1 有250 2 yy 2510yy yy 12 5 2 1 由x x xx 15 2 2520 2 xx 1 2 20 xx 12 1 2 2 由这个方程无解 这部份知识 以后学x x xx 1 110 2 到 经检验是原方程的解xx 12 1 2 2 例七解方程 21 1 31 2 4 7 1 x x x x x x 解 将原方程变形 213 1 327 2 4 16 1 2 3 1 3 7 2 41 6 1 3 1 7 2 6 1 415250 5 25 4 05 5 4 2 12 x x x x x x xxx xxx xx xxxx 即 经检验都是原方程的根 例八解方程组 111 12 5 9 11 1 xy xxy 解 把 代入 得 59 12 1 x x 20 把 代入 得y 30 经检验是方程组的解 x y 20 30 例九 x y y x y x y x 36 63 2 2 3 36 6 2 1 3 解 得 3636 6 5 5422160 2 xx xx xx 12 12 18 5 经检验是原方程的解xx 12 12 18 5 例十 甲乙二人做某种机器零件 已知甲每小时比乙多做 6 个 甲做 90 个所用的 时间与乙做 60 个所用的时间相等 求甲乙每小时各做多少个 根据等量关系 工作效率 时间 总工作量 设乙每小时工作量为个 x 则甲每小时工作量为个 有 x 6 90 6 60 xx 这个题从字意看是工程问题 但从数量关系来看它是与 单价 数量 总价 速度 时间 路程 长 宽 面积 溶液重量 浓度 溶质重量等都是实质一样 的关系 即两个量的积等于第三个量 它的表达式为如果将abm 赋予它不同的含义就可以完破例 1 的工程问题界限 比如下列各题 abm 行程问题 甲乙二人乘不同的交通工具行进 甲每小行比乙每小时多行 6 千米 且甲走 90 千米的时间与乙走 60 千米所用的时间的相同 求甲乙二人的速度 一般问题 商店里有甲 乙两中笔 甲笔的单价比乙贵 6 元 90 元买甲 种笔与 60 元买乙种笔的支数相等 求两种笔的单价 面积问题 甲乙两个矩形的面积分别是 90cm2和 60cm2它们的宽相等 甲的长比乙的长 6cm 分别求两个矩形的长和宽 浓度问题 甲乙两种溶液 甲的浓度比乙的浓度高 6 若 90 克甲种溶 液与 60 克乙种溶液所含溶液相同 求甲乙两种溶液的浓度 从以上各例可以体会到许多问题 虽表现形式五花八门 但是它们的数学 本质即它们所依赖的数量关系是一致的 所以分析数量关系仍然是学习应用题 的关键 对例一再进行分析给出第二个解法 甲乙总工作量分别为 90 和 60 个现在还剩下工作效率 时间这两个量是未 知的 这时只要设出一个量 必能列出方程表示另一个 设未知量时间为 即甲工作时间为小时xx 甲每小时做 18 个 9060 6590518 xx x 例十一 一列火车用一定的速度走完一段路程 如果火车每小时多走 6 千 那么走 完这段路程可少用 4 小时 如果火车每小时少走 6 千米 那么走完这段路程要 多用 6 小时 求这段路程是多少千米 分析 路程 时间 速度三个量题目都没给出 但是通过 多走 少 走 多用 等词语 暗示出火车原有一个计划的速度或计划所用的时间 并且无论 多走 少走 路是固定不变的 解法一 设这段路程为千米 火车原来的速度为每小时千米 依据题意 xy 列出方程组方程组变形后 得对于同一个有 x y x y x y x y 6 4 6 6 xy y xy y 2 3 6 6 x 2 3 66y yy y 不合题意 yyy 2 1 3000 y230 x 30 306720 经检验 是原方程的解x 720y 30 答 这段路程为 720 千米 解法二 设火车原来的速度为每小时千米 原计划走完这段路程所用的时x 间为小时 则这段路程为千米 yxy 依题意 列出方程组 xyxy xyxy 64 66 去括号 经整理后 4624 6636 xy xy 解得xyxy 30243024720 则 答 这段路程为 720 千米 例十二 甲乙两地相距 50 公里 A 骑自行车 B 乘汽车同时从甲地出发往乙地 已 知汽车的速度是自行车速度的 2 5 倍 B 中途休息半小时 还比 A 早到 2 小时 求 A B 两人速度各是多小 解法一 设 A 的速度每小时公里 则 B 的速度为每小时 2 5公里 走完全程xx A 用小时 B 用小时 50 x 50 25 x 得 5050 25 5 2xx 解得 经检验是原方程的解x 12x 12 公里 25251230 x 答 A 的速度为 12 B 的速度为 30 公里 小时公里 小时 解法二 利用距离一定时 速度与时间成反比 设 B 用小时到达目的地 则x A 用 2 个小时到达x 1 2 得 1 25 1 2 2 5 3 x x x得 50 5 3 3030 5 2 12 公里公里 答 A 速为 12 B 速为 30 公里 小时公里 小时 解法三 设 A 到乙地共须小时 则xx x 25 052 解得 x 25 6 则 A 每小时行 千米 50 25 6 12 B 每小时行 千米 122530 解法四 设 A 速度为x千米 小时 有 052 25 50 25 5 3 20 12 xx xxxx x 经检验是方程的解x 12 答 A 速为 12 B 速为 30 千米 小时千米 小时 例十四 甲乙两邮递员分别从 A B 两地同时以匀速相向而行 甲比乙多走了 18 千 米 相遇后甲走 4 5 小时到达 B 地 乙走 8 小时到达 A 地 求 A B 两地的距离 解 设甲速为 乙速为a千米 小时 A B 两b千米 小时 地距离为 依题意有2S 依题意 S a S b S a S b 99 9 45 9 8 相遇所用时间相同如图一 据图二 由 得 S S a b 9 9 9 16 由 得 S S a b 9 9 S S b a a b 9 9 9 16 9 16 2 S S SS 9 9 3 4 632126 千米千米 答 A B 两地相距 126 千米 例十五 已知 x a y b z c a x b y c z 10 求证 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 1 证明 x a y b z c 1 x a y b z c 2 1 x a y b z c xy ab yz bc xz ac 2 2 2 2 2 2 2221 a x b y c z 0 ayzbxzcxy xyz 0 有ayzbxzcxy 0 222 222xy ab xy ac yz bc cxybxzayz abc 由 可知上式得 0 把上式代入 有 命题得证 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 1 例十六 求证 bcd a abcd b a ab c ab abc d abc abcd 分析 等式右边的三个分式都为的形式将其拆成两项 n m mn 11 mmn 证明 右 111111 aabababcabcabcd 11 aabcd bcd a abcd 左 bcd a abcd 左 右 等式成立 例十七 a b cabca bc b ca c ab 01 111111 3 222 且 求 的值abc 解 a bc b ca c ab 111111 3 abcbaccababc 222 3 aabcbabccabcabcabc abcabcabcabc 222333 222333 3 3 abc 222 1 abcabcabc 3333 有abcabc abcabbcac 222 讨论上式成立abc 0 或者abcabbcac 222 1 abc 222 1 abbcac 0 abcabcabbcac 2222 222 abc 2 1 则abc 1 解法二 a bc b ac c ab 111111 3 a abc b bac c abc 111111111 0 abc abc 111 0 讨论 1 abc 0 2 111 00 abc bcacab 即 同上可得 abc 2 1abc 1 解法三 a bc b ca c ab 111111 3 abcbaccababc a ba cabcb ab cabcc ac babc a abacbcb abbcacc acbcab abc abacbc 222 222222 3 0 0 讨论 abc 0 或 以下同方法一abbcac 0 abc 2 1abc 1 综合练习综合练习 一 选择题 1 一件工作 甲单独完成需 S 小时 甲乙两人合作需 小时完成 则乙单独完t 成所需时间为 A B C D st 1 st 11 ts st st 2 一个人跑 400 米的速度比原来提高了十分之一 时间比原来缩短了 A B C D 1 10 1 9 1 11 9 100 3 一个人上山走了 公里 又原路返因 上山的速度是 下山的速度是 sV1V2 则这个人上山和下山的平均速度是 A B C D VV 12 2 2 12 VV S S V S V 12 2 11 12 VV 4 若方程会产生增根 则值是 x x a x 3 2 1 3 a A 1B 2C 3D 4 二 填空题 1 分式方程若有增根 这个增根可能是 a xxb 1 11 2 方程的解 x x 2 4 0 2 3 方程的解是除 1 以外的任何数吗 x xx 1 1 1 4 已知0 则的解 x 111 2 1 3 1 6xxx 三 解方程 1 3 1 5 7 1 7 87 2 2 2 3 1 56 3 2 56 4 4 3 6 4 2 23 2 27 1 4 1 1 2 2 2 2 222 x x x x x xx x x x x x xx xxxxx xxxx 四 解关于的方程x 12 211 2222 mx n xn m mn m m x n n x mn 五 解方程组 25 3 92 1 1 4 xyxy xyxy 六 证明 已知 1 y x x z a z y y x b x z z y c 求证 bca cab abc 8 2 已知 4360 270 0 xyz xyz xyz 求证 236 57 1 222 222 xyz xyz 七 列方程解应用题 某工程队按计划必须在 29 天内完成一工程 最初 5 天是按额进行 从第 6 天起采用新工作方法 结果提高工效 4 倍 问这个工程队实际工作几天 答案答案 一 1 D 设乙需要小时x 111 xst 111 xts st ts x tx st 2 C 设原来的速度是 提高后的速度为 1 1xx 400400 11 40 11 400 11 1 11 400 xxxxx 3 D4 D 二 1 1 02 无解3 不是 本题无解4 x 41 三 1 解 将原方程变形为 x x x x x xx 3 1 5 7 1 2 71 2 得 经检验是原方程的根 47 7 4 xx x 7 4 2 解 原方程变形 x x x x x xx 2 2 3 1 56 2 2 xxxx xx x xx x 22 2 2 2 324 56 1 56 1 经检验是原方程的根x 1 3 x 3 4 解 820 23 27 25 41 x xx x xx 454 2525 42021 5 2 22 xxxxxx x 四 1 解 m mxnmn xn 2 mmxnmnxn mxnxmmnn mn xmn 22 22 2 2 2 mn xmnnm 2 解m m x n n x 2 3 2 3