2014届高三理科数学一轮复习课时训练：九第6课《双曲线》（北师大版）

双曲线 A 级 基础演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1 0 点 P 位于该双曲线上 5 线段 PF1的中点坐标为 0 2 则双曲线的方程是 A y2 1 B x2 1 x2 4 y2 4 C 1 D 1 x2 2 y2 3 x2 3 y2 2 解析 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 由 PF1的中点为 0 2 知 x2 a2 y2 b2 PF2 x 轴 P 4 即 4 b2 4a 5 a2 4a a 1 b 2 双 5 b2 a 曲线方程为 x2 1 y2 4 答案 B 2 2012 湖南 已知双曲线 C 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线 x2 a2 y2 b2 上 则 C 的方程为 A 1 B 1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 C 1 D 1 x2 80 y2 20 x2 20 y2 80 解析 不妨设 a 0 b 0 c a2 b2 据题意 2c 10 c 5 双曲线的渐近线方程为 y x 且 P 2 1 在 C 的渐近线上 1 b a 2b a 由 解得 b2 5 a2 20 故正确选项为 A 答案 A 3 已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1 右焦点为 F2 P 为双曲线右支上一点 y2 3 则 的最小值为 PA1 PF2 A 2 B C 1 D 0 81 16 解析 设点 P x y 其中 x 1 依题意得 A1 1 0 F2 2 0 则有 x2 1 y2 3 x2 1 1 x y 2 x y x 1 x 2 y2 3 PA1 PF2 y2 x2 3 x2 1 x 2 4x2 x 5 4 2 其中 x 1 因此 当 x 1 8 81 16 x 1 时 取得最小值 2 选 A PA1 PF2 答案 A 4 如图 中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点 M N 是双曲线的两顶点 若 M O N 将椭圆长 轴四等分 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A 3 B 2 C D 32 解析 设双曲线的方程为 1 椭圆的方程为 1 由于 x2 a2 1 y2 b2 1 x2 a2 2 y2 b2 2 M O N 将椭圆长轴四等分 所以 a2 2a1 又 e1 e2 所以 c a1 c a2 2 e1 e2 a2 a1 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 已知双曲线 C1 1 a 0 b 0 与双曲线 C2 1 有相同的渐近 x2 a2 y2 b2 x2 4 y2 16 线 且 C1的右焦点为 F 0 则 a b 5 解析 与双曲线 1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 x2 4 y2 16 0 即 1 由题意知 c 则 4 16 5 则 x2 4 y2 16 x2 4 y2 16 5 1 4 a2 1 b2 4 又 a 0 b 0 故 a 1 b 2 答案 1 2 6 2012 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 若双曲线 1 的离心率为 x2 m y2 m2 4 则 m 的值为 5 解析 由题意得 m 0 a b mm2 4 c 由 e 得 5 m2 m 4 c a5 m2 m 4 m 解得 m 2 答案 2 三 解答题 共 25 分 7 12 分 中心在原点 焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1 F2 且 F1F2 2 椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为 4 离心率之 13 比为 3 7 1 求这两曲线方程 2 若 P 为这两曲线的一个交点 求 cos F1PF2的值 解 1 由已知 c 设椭圆长 短半轴长分别为 a b 双曲线半实 虚 13 轴长分别为 m n 则Error 解得 a 7 m 3 b 6 n 2 椭圆方程为 1 双曲线方程为 1 x2 49 y2 36 x2 9 y2 4 2 不妨设 F1 F2分别为左 右焦点 P 是第一象限的一个交点 则 PF1 PF2 14 PF1 PF2 6 所以 PF1 10 PF2 4 又 F1F2 2 13 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 102 42 2 13 2 2 10 4 4 5 8 13 分 2012 合肥联考 已知双曲线的中心在原点 焦点 F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点 4 210 1 求双曲线方程 2 若点 M 3 m 在双曲线上 求证 0 MF1 MF2 3 求 F1MF2的面积 1 解 e 设双曲线方程为 x2 y2 2 又 双曲线过 4 点 16 10 6 10 双曲线方程为 x2 y2 6 2 证明 法一 由 1 知 a b c 2 63 F1 2 0 F2 2 0 33 kMF1 kMF2 m 3 2 3 m 3 2 3 kMF1 kMF2 m2 9 12 m2 3 又点 3 m 在双曲线上 m2 3 kMF1 kMF2 1 MF1 MF2 0 MF1 MF2 法二 3 2 m 2 3 m MF1 3 MF2 3 3 2 3 2 m2 3 m2 MF1 MF2 33 M 在双曲线上 9 m2 6 m2 3 0 MF1 MF2 3 解 在 F1MF2中 F1F2 4 且 m 33 S F1MF2 F1F2 m 4 6 1 2 1 233 B 级 能力突破 时间 30 分钟 满分 45 分 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 2013 北京西城模拟 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 F c 0 c 0 作 x2 a2 y2 b2 圆 x2 y2 的切线 切点为 E 延长 FE 交双曲线右支于点 P 若 a2 4 2 则双曲线的离心率为 OF OP OE A B C D 2 10 5 10 210 解析 设双曲线的右焦点为 A 则 故 2 OF OA OF OP OP OA AP 即 OE AP 所以 E 是 PF 的中点 所以 AP 2OE 2 a 所以 OE 1 2 a 2 PF 3a 在 Rt APF 中 a2 3a 2 2c 2 即 10a2 4c2 所以 e2 即离心 5 2 率为 e 选 C 5 2 10 2 答案 C 2 2012 福建 已知双曲线 1 的右焦点与抛物线 y2 12x 的焦点重合 则 x2 4 y2 b2 该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A B 4 C 3 D 5 52 解析 易求得抛物线 y2 12x 的焦点为 3 0 故双曲线 1 的右焦点为 x2 4 y2 b2 3 0 即 c 3 故 32 4 b2 b2 5 双曲线的渐近线方程为 y x 双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 5 2 5 2 3 1 5 45 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 3 2013 临沂联考 已知点 F 是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点 E 是 x2 a2 y2 b2 该双曲线的右顶点 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A B 两点 若 ABE 是锐角三角形 则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 解析 由题意知 ABE 为等腰三角形 若 ABE 是锐角三角形 则只需要 AEB 为锐角 根据对称性 只要 AEF 即可 直线 AB 的方程为 4 x c 代入双曲线方程得 y2 取点 A 则 b4 a2 c b2 a AF EF a c 只要 AF EF 就能使 AEF 即 a c 即 b2 a 4 b2 a b2 a2 ac 即 c2 ac 2a2 0 即 e2 e 2 0 即 1 e1 故 1 e0 b 0 的两个焦点分别为 F1 F2 点 P 在双 x2 a2 y2 b2 曲线上 且 PF1 PF2 PF1 8 PF2 6 1 求双曲线的方程 2 设过双曲线左焦点 F1的直线与双曲线的两渐近线交于 A B 两点 且 2 求此直线方程 F1A F1B 解 1 由题意知 在 Rt PF1F2中 F1F2 PF1 2 PF2 2 即 2c 10 所以 c 5 82 62 由椭圆的定义 知 2a PF1 PF2 8 6 2 即 a 1 所以 b2 c2 a2 24 故双曲线的方程为 x2 1 y2 24 2 左焦点为 F1 5 0 两渐近线方程为 y 2x 6 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在 设过左焦点的直线方程为 y k x 5 则与两渐近线的交点为 和 5k 2 6 k 10 6k 2 6 k 5k k 2 6 10 6k k 2 6 由 2 得 F1A F1B 2或者 5k 2 6 k 5 10 6k 2 6 k 5k k 2 6 5 10 6k k 2 6 2 5k k 2 6 5 10 6k k 2 6 5k 2 6 k 5 10 6k 2 6 k 解得 k 2 6 3 故直线方程为 y x 5 2 6 3 6 13 分 2011 江西 P x0 y0 x0 a 是双曲线 E 1 a 0 b 0 上一点 x2 a2 y2 b2 M N 分别是双曲线 E 的左 右顶点 直线 PM PN 的斜率之积为 1 5 1 求双曲线的离心率 2 过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A B 两点 O 为坐标 原点 C 为双曲线上一点 满足 求 的值 OC OA OB 解 1 由点 P x0 y0 x0 a 在双曲线 1 上 有 1 x2 a2 y2 b2 x2 0 a2 y2 0 b2 由题意有 y0 x0 a y0 x0 a 1 5 可得 a2 5b2 c2 a2 b2 6b2 e c a 30 5 2 联立Error 得 4x2 10cx 35b2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则Error 设 x3 y3 即Error OC OC OA OB 又 C 为双曲线上一点 即 x 5y 5b2