36. 四边形专项训练（三）

第四章第四章 四边形专项训练 三 四边形专项训练 三 例题精选例题精选 例例 1 已知 如图 9 ABCD CNAMAECF 求证 四边形 MENF 是平行四边形 分析 分析 判定一个四边形是平行四边形的方法较 多 应根据已知条件或由已知条件易推出的结论 符合哪些平行四边形的性质 再确定具体采用的方 法 证明一 证明一 ABCD ABCD 12 AMCNAECF AEMCFN MENFAEMCFN MEFNFE MENF 即MENF 四边形 MENF 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 证明二 证明二 由证明一知 12 NFME AECF AFCE AMCN AMFCNE FMNE NFME 又 四边形 MENF 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 证明三 证明三 如图 10 连结 AN CM 连结 MN 交 AC 于 O ABCD ABCD AMCN AMCN 四边形 AMCN 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 平行四边形的对角线互相平分 OMON OAOC AECF OEOF 四边形 MENF 是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边 形 小结小结 证明三 没有利用三角形全等证明 而是充分利用图中平行四边 形的性质使问题得以解决 例例 2 如图 11 已知 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O M N 分别是 AO CO 的中点 求证 BMDN 分析 分析 要证 可证四边形 BMDNBMDN 是平行四边形 而最方便的定理就是 对角线互 相平分的四边形是平行四边形 证明一 证明一 连结 DM BN 是 ABCD 的对角线 ACBD AOCOBODO 是 AO CO 的中点 MN OMON 四边形 BMDN 是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行 四边形 平行四边形的对边平行且相等 BMDN 证明二 证明二 BODOAOCOMNAOCO OMON MOBNOD MOBNOD BMDNMBONDO BMDN BMDN 为 的中点 又 且 例例 3 已知 如图 12 矩形 ABCD 对角线 AC BD 交于 O AE BDE 于 DAE 2 BAE 求证 BAEEAOOAD 证明 证明 DAEBAE90 DAEBAE BAE BAE AE BD AEBABD 2 390 30 9060 即 矩形对角线相等且互相平分 又 ACBDOAOCOBOD OAOB OABOBA EAOOABBAE OAD BAEEAOOAD 60 603030 30 即 例例 4 已知 菱形 ABCD 如图 13 边长为 5 对角线 AC 5 求菱形的 面积 已知 菱形 ABCD 如图 14 边长为 5 对角线 AC 6 求菱形的 面积 解 作 AE BCE 于 ABBCCA ABC BAEBAC BEBC 5 1 2 30 1 2 5 2 是等边三角形 三线合一 在中 根据勾股定理 Rt ABE AEABBE AEABBE SBCAE ABCD 222 22 5 2 3 25 2 3 即 面积单位 菱形 连结 BD 交 AC 于 O 菱形的对角线互相垂直平分 AC BDAOOCBOOD 且 在中 根据勾股定理Rt AOB BOABAO BO BD S ACBD 222 4 8 2 24 即 菱形 小结小结 由于对角线的长度不同而采取了不同的方法 是因为 中有等边三 角形 易于求高 中由 勾股数 易求对角线长 反之 中的对角线不如 求高简便 而 中由于没有等边三角形 从而增大了求高的难度 所以在进行 菱形的面积计算时 要视哪个公式中的未知量易于求解去选择公式 例例 5 已知 如图 15 菱形 ABCD 对角线 AC BD 交于 O AE CDAEOD 且 求 的度数 CAE 解解 四边形 ABCD 是菱形 菱形对角线相互垂直平分 AC BDOCAC 1 2 在和中 Rt ACERt DCO DOCAEC ACDDCO ODAE Rt ACERt DCOAAS CECOAC 1 2 直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 CAE30 那么这条直角边所对的角等于 30 专项训练专项训练 平行四边形的判定 平行四边形的判定 1 已知 如图 16 G H 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的点 且 AGCH EF 分别是和的中点 ABCD 求证 四边形 EHFG 是平行四边形 2 已知 如图 17 ABCD E F G H 分别 是 AB BC CD AD 上的点 且 AE CG BF DH 求证 四边形 EFGH 是平行四边形 3 已知 如图 18 ABCD E F 是 BD 上两点 且 BE DF 求证 四边形 AECF 是平行四边形 4 已知 如图 19 在 ABC 中 D E F 分别为 BC AB AC 上的点 且 延长 FD 到 G AFED 使DGFD 求证 ED AG 互相平分 矩形 菱形矩形 菱形 一 填空 一 填空 1 如图 20 矩形 ABCD 中 AOBABcmAC604 则 2 如图 20 矩形 ABCD 的周长是 56cm 对角线 AC BD 相交于 O 周长差是 4cm 则 OABOBC与 矩形 ABCD 中较短边长是 3 过矩形的顶点引对角线的垂线 分对角线成 4cm 和 12cm 两条线段 则矩形短边的长是 4 如图 21 矩形 ABCD 中 AE BDEBAEBDcmAB 于 则3015 5 已知菱形 ABCD 的边长为 且有一个内角4 3 为 则该菱形较短对角线长为 60 6 菱形周长为 一条对角线长为 则菱形各内角度数分别为 16 34 3 7 菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 则菱形较小内角25 度数是 二 判断 二 判断 1 对角线相等的四边形是矩形 2 有一个角是直角的四边形是矩形 3 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4 三个角都相等的四边形是矩形 5 三个角都是直角的四边形是矩形 6 四个角都相等的四边形是矩形 7 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形 则这个四边形 是矩形 三 三 已知 如图 22 矩形 ABCD E F G H 分别 为 AD BO CO DO 上的点 且 AE BF CG