41. 四边形综合练习（二）

第四章第四章 四边形综合练习四边形综合练习 例题精选例题精选 例例 1 已知 如图 正方形 ABCD 中 E F 分别是 AB AD 上的点 且 AE AF 求证 CE CF 从图形上观察到 CE 和 CF 分别在 ACEB 和 ACFD 中 不难证明 这两个三角形全等 命题得证 证明 四边形 ABCD 是正方形 AB AD BC CD B D 90 又 AE AF 已知 AB AE AD AF 等量减等量 差相等 即 EB FD CEB CFD CE CF 例例 2 已知 如图 在菱形 ABCD 中 E F 分别为 BC CD 的中点 求证 AE AF 分析 从图上可以观察到 AE 在 ABE 中 AF 在 ADF 中由菱形 ABCD 可以得到 AB AD B D BE 和 DF 能相等吗 由 E F 分别是 BC DC 的中点不难证明 所以我们看出 这两个三角形是全等的 故 AE AF 证明 四边形 ABCD 是菱形 AB AD BC CD B D 又 E F 分别是 BC CD 的中点 BE BC DF CD 1 2 1 2 BE DF ABE ADF AE AF 例例 3 已知 如图 正方形 ABCD 中 P 是 CD 上一点 BE AP 于 E DF AP 于 F 求证 AE DF 分析 欲证 AE DF 首先要考虑 AE 和 DF 所在的两个三角形能否全等 从图上可以观察到 AE 在 AEB 中 DF 在 DFA 中 由四边形 ABCD 是正方 形 不难证明这两个三角形全等 证明 四边形 ABCD 是正方形 DAB 90 AB AD 即 1 2 90 又 BE AP 于 E DF AP 于 F AEB DFA 90 1 3 90 直角三角形中 两个锐角互余 2 3 AEB DFA AE DF 例例 4 已知 如图 点 P 是矩形 ABCD 外一点 且 PA PB 求证 PD PC 分析 从图上可以观察到 PD 在 PAD 中 PC 在 PBC 中 我们首先要考虑的是这两个三角形是否全等 结合 已知可以得到 AD BC DAB CBA 90 又因为 PA PB 可以得到 1 2 这样就有 PAD PBC 满足三角形全等条件 命题得证 证明 四边形 ABCD 是矩形 DA CB DAB CBA 90 又 PA PB 1 2 DAB 1 CBA 2 即 DAP CBP PAD PBC PD PC 例例 5 已知 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 交 于点 O OF BC 于 F CE BD 于 E 且 DE EB 1 3 OF 3cm 求 AC 的长 分析 若求 AC 的长 由已知 OF 3cm 只有知道了 AC 与 OF 的关系 才 能求出 AC 的长 这种关系还要通过其它已知条件进行探寻 当 DE EB 1 3 时 不难看出 E 是 OD 的中点 又由 CE OD 于 E 得 到 CED CEO 即 CD OC 进而由矩形对角线相等 得到 CD OC OD ODC 是等边三角形 OCD 60 OCF 30 OC 2OF 关系明确 AC 可求 解 四边形 ABCD 是矩形 AC BD OC OA OB OD DCB 90 OC OA OB OD DE EB 1 3 DE DB 1 4 ED DB E 是 OD 的中点 即 DE OE 1 4 又 CE BD 于 E DEC CEO 90 又 CE 是公共边 CED CEO CD OC CD OC OD COD 是等边三角形 DCO 60 OCF 30 又 OF BC 于 F OF 3cm OC 2OF 6cm AC 2OC 12cm 例例 6 已知 如图 在 Rt ABC 中 A 90 B 的平分线交 AC 于 D 自 A 作 AE BC 于 E 交 BD 于 F 过点 D 作 DH H 连结 FH 求证 四边形 AFHD 是菱形 分析 通过认真观察图形 结合已知条件 不难看出 四边形 AFHD AD DH 这是因 为 1 2 A 90 DH BC 于 H 角平 分线上一点到角两边的距离相等 而且 由定理 和一条在线垂直的两条直线 平行 不难得出 AF DH 下面的难点是 如何证明 AF DH 满足平行四边 形的判定定理 再认真观察图形 可以发现 3 1 90 5 2 90 1 2 4 5 3 4 所以 AF AD DH 至此思路 已通 证明 ABC 中 BA90 DB 是 B 的平分线 即 1 2 DH BC 于 H 1 3 90 AD DH 角平分线上一点到角两边的距离相等 又 AE BC 于 E AF DH 2 5 90 4 5 2 4 90 3 4 AF HD AF DH 四边形 AFHD 是平行四边形 一组对边平行 且相等的四边形是 平行四边形 又 AD DH 四边形 AFHD 是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 例例 7 已知 如图 四边形 ABCD CEFG 都是正方形 DE 交 BG 的延长 线于 H 求证 1 BG DE 2 BH DE 分析 经过认真观察图形 欲证 BG DE 只要证明 BG DE 所在的 BCG 和 DCE 全等 即可 这由四边形 ABCD CEFG 是正方形 不 难看出 而 BH DE 也在情理之中 这是因为 1 3 2 4 3 4 90 1 2 90 DHG 90 证明 四边形 ABCD CEFG 是正方形 BC DC CG CE BCG DCE 90 BCG DCE BG DE 4 2 又 3 1 3 4 1 2 又 3 4 90 1 2 90 DHG 90 即 BH DE 于 H 例例 8 已知 如图 以 ABC 中的 AB 为边在 ABC 的外侧作正方形 ABCD 过点 A 作 AF BC 于 F 延长 FA 到 G 使 AG BC 求证 BG CD 分析 此图形线条多 看着复杂 经过认真观察发现思路较简单 清晰 这是因为 BG 在 BGA 中 DC 在 DCB 中 而且 BA DB 正方形 AG BC 已知 只要再寻求夹角相等就可以了 从图上可以看出 若 BAG DBC 只要 1 3 即可 因为 DBA 2 90 由已知 AF BC 于 F 得到 3 4 90 又 2 90 则 1 4 所以 1 3 满足二个三角形全等条件 命题得证 证明 四边形 ABDE 是正方形 DBA BAE 90 BD BA 1 4 90 平角定义 又 AF BC 于 F 3 4 90 3 1 DBA 3 BAE 1 即 DBC BAG 又 AG BC DBC BAG BG DC 例例 9 已知 如图 在 ABC 中 ACB 90 D 是 AB 的中点 DE AB ACB 的平分线 CE 交 DE 于 E 求证 DE DC 分析 欲证 DE DC 只须证明 1 2 即可 从图 形上可以看出 2 3 90 3 B 45 因为 CE 是 ACB 的平分线 2 B 45 90 2 B 45 从已知可以 得出 B 4 又 1 4 45 即 1 B 45 2 1 结论 DE DC 成立 证明 DE AB 于 D 2 3 90 又 ACB 90 D 是 AB 的中点 EC 是 ACB 的平分线 B 4 3 B 45 又 1 4 45 1 B 45 1 2 DE DC 例例 10 已知 如图 菱形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 EF AC 于 H 交 DC 于 P 交 AD 的延长线于 F 求证 DC 与 EF 互相平分 分析 若 DC 与 EF 互相平分 即 PD PC PE PF 由 1 和 2 是对顶角 则这两个三角形必须全等才等 所以此题 的思路是如何证出 PEC 和 PFD 全等 由图上看出 F 5 1 2 只要找一组对应边相等即可 也就是 P 是 CD 的中点 由 四边形 ABCD 是菱形 不难看出 3 4 由 AC EF 得到 EC PC 又 EC BC 所以 PC DC 问题在此已解决 1 2 1 2 证明 四边形 ABCD 是菱形 BC CD 3 4 BC AF 又 EF AC 于 H EHC PHC 90 CH 是公共边 CEH CPH CE CP E 是 BC 的中点 EC BC 1 2 CP CD 即 CP DP 1 2 又 5 F 1 2 PDF PCE PE PF DC 与 EF 互相平分 例题分析 例例 11 已知 ABC 及点 O 作 A B C 使它与已知 ABC 关于点 O 对称 作法 1 连结 AO 并延长到 A 使 OA OA 2 以同样的方法 作出 B C 3 连结 A B A C B C 则 A B C 与 ABC 关于点 O 对称 例例 12 下列图形中 哪些是中心对称图形 并指出图形的对称中点 1 线段 2 等边三角形 3 平行四边形 4 等腰梯形 5 矩形 6 菱形 7 正方形 答 线段 平行四边形 矩形 菱形 正方形是中心对称图形线段的对称 中心是线段的中点 其它图形的对称中心是对角线的交点 例例 13 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AD 3cm AF DC 交 BC 于 F 且 ABF 的周长为 12cm 求梯形 ABCD 的周长 分析 认真观察图形 四边形 AFCD 是平行四边形 则 DC AF 这样 梯 形 ABCD 的周长转化为 ABF 的周长与 2AD 的和 解 梯形 ABCD 中 AD BC AD 3cm 又 AF CD 四边形 AFCD 是平行四边形 CD AF 3cm 梯形 ABCD 的周长 ABF 的周长 2AD 12 6 18 cm 例例 14 已知 如图 AD 为 ABC 的中线 M 为 AD 的中点 CM 交 AB 于 P 求证 AP AB 1 3 分析 欲证 AP AB 也就是 BP 是否等于 AP 1 3 的 2 倍 或取 BP 的中点 H 后 AP 与 PH 是否相等 由已知条件 问题解决显 然 证明 取 BP 的中点 H 连结 DH AD 是 ABC 的中线 即 点 D 是 BC 的中点 DH PC 三角形中位线平行于第三边 又 M 是 AD 的中点 AP PH AP PH BH AP AB 1 3 例 15 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC AC BD 于 H Aq BC 于 q AD 3cm BC 8cm 求 Aq 的长 分析 由于等腰梯形是轴对称 图形能够看出 1 2 由已知 AC BD 可以得到 1 2 45 这 样求 Aq 的问题就转化为求 Cq 解 过点 D 作 DE BC 于 E 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC Aq BC 于 q ABq DCE 而且四边形 AqED 是矩形 qE AD 3cm Bq CE 2 5cm Cq 5 5cm 在 ACB 和 DBC 中 AB DC AC BD ABC DCB ACB DBC 2 1 又 AC BD 于 H 2 1 45 Aq qc 5 5 cm 例 16 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别为 AD BC 的中 点 对角线 AC 与 BE DF 交于 M N 求证 AM MN NC 分析 由已知 E F 分别为 AD BC 的中点 欲证 AM MN NC 认真观 察图形后 则应有 EB DF 至此 思路已通 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC 又 E F 分别是 AD BC 的中点 ED AD BF BC 1 2 1 2 EDBF 四边形 BFDE 是平行四边形 DF BE AM MN MN NC 即 AM MN NC 综合练习综合练习 1 填空题 1 矩形 ABCD 中 AOD 110 则 ODC 2 矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O BOC 120 AB 6cm 则 BD 3 矩形的长增加为原来的 3 倍 宽增加为原来的 2 倍 则它的面积是原来 的 4 菱形 ABCD 中 A B 3 1 周长为 16cm 则菱形的高是 S菱形 ABCD 5 菱形 ABCD 的周长为 20cm 对角线 AC 5cm 则 BAC 6 菱形的一个内角为 60 边长为 8cm 则它的两条对角线长为 7 菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm 则它的边长为 面积为 高为 8 已知点 E 是正方形 ABCD 内一点 且 ABE 是等边三角形 那么 BCE 9 在正方形 ABCD 中 E 是 AC 上一点 F H 分别在 AB 和 BC 上 且四 边形 EFBH 正方形 ABCD 的周长是 16cm 则矩形 EFBH 的周长是 10 顺次连结矩形四边中点所得的图形是 2 选择题 1 若平行四边形各内角平分线能围成一个四边形 那么这个四边形一定是 A 矩形B 菱形C 正方形D 不能 确定 2 对角线互相垂直 且相等的四边形是 A 菱形B 矩形C 正方形D 以上 答案都不对 3 各边都相等的四边形是 A 平行四边形 B 矩形C 菱形D 以上 答案都不对 4 下列命题中 正确的是 A 一组邻边相等的四边形是菱形 B 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 C 对角线互相垂直平分的四边形 是菱形 D 菱形的四个角相等 5 矩形 菱形 正方形都具有的性质是 A 一组邻边相等 对角线互相垂直平分 B 一组邻角相等 对角线也相等 C 一组对边平行且相等 对角线互相平分 D 对角线相等 且互相垂直平分 6 从边长为 2 的正方形的一个顶点到各边中点的距离的和是 A B C D 2 522 5 23 25 3 已知 如图 E 是矩形 ABCD 外一点 ED EC 求证 EA EB 4 已知 如图 正方形 ABCD 中 E 是 BD 上一 点 且 DE AB EF BD 交 BC 于 F 求证 BE FC 5 已知 如图 ABC 中 AB AC AD BC 于 D AE 是 BAC 的外角平分线 DE AB 交 AE 于 E 求证 四边形 ADCE 是矩形 答案及提示答案及提示 1 填空题 1 55 2 12cm 3 6 倍 4 2 2cm8 2cm2 5 60 6 8cm 和 7 5cm 24cm2 8 3cm 24 5 cm 8 75 9 8cm 10 菱形 2 选择题 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 3 提示 证明 ADE BCE 即可 4 采用计算办法 设 AB 1 BE 由勾股定现 BF CF 得到 BE FC21 22 21 5 提示 可证四边形 ABDE 是平行四边形 AE BD 则 CDAE 又 ADC 90 命题得证 综合练习二综合练习二 1 填空 每空 4 分 共 32 分 1 已知菱形的两条对角线的长分别是 10cm 24cm 则它的周长为 S 菱形 2 菱形的周长为 20cm 一条对角线长 8cm 则它的另一条对角线长是 3 已知正方形的一条对角线的长是 10cm 则此正方形的周长是 4 已知矩形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O AOD 120 AB 4cm 则 AC 5 顺次连结菱形四边中点所得的图形是 6 矩形的长增加为原来的 4 倍 宽增加为原来的 3 倍 它的面积是原来的 7 已知 P 是边长为 2 的正方形 ABC 原边 CD 上任一点 过点 P 作 PE DB 于 E PF AC 于 F 则 PE PF 2 选择题 每题 4 分 共 32 分 1 下列命题中正确的是 A 对角线相等的四边形是矩形B 对角线相互平分且相等的四边 形是矩 C 对角线垂直的四边形是矩形D 对角线相等且垂直的四边形是 矩形 2 能判断四边形是菱形的条件是 A 对角线垂直B 对角线垂直相等 C 对角线相等D 对角线垂直平分 3 在矩形 ABCD 中 AC BD 交于点 O BOC 130 则 ADB A 25 B 50 C 30 D 15 4 菱形的对角线的平方和等于一边平方的 A 2 倍B 3 倍C 4 倍D 8 倍 5 正方形的对角线长为 a 则它的对角线交点到它的边的距离为 A B C D 2 2 a 2 4 a a 2 2 2a 6 已知菱形的一条对角线长等于 面积等于 那么另一条对角线等31 31 于 A B C D 42 3 42 3 23 23 7 ABCD 中 M 是 DC 的中点 且 AM BM 则ABCD 是 A 一般平行四边形B 菱形 C 矩形D 正方形 8 已知菱形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 乘积为 64 边长为 8 则这个菱 形内角中 锐角的长为 A 60 B 45 C 30 D 15 3 9 分 已知 矩形 ABCD 的周长等于 40cm 对角线 AC BD 相交于点 O BOC 和 DOC 的周长的差等于 4cm 求矩形中 BC 和 DC 的长 4 9 分 在矩形中 对角线相交成的锐角为 60 若两条对角线及两小边之 和为 7 2cm 求矩形的对角线的长 5 9 分 已知 正方形 ABCD 中 E 是 AD 的中点 BE 与 AC 交于点 P 求证 S APE S BPC 1 4 6 9 分 已知 如图 矩形ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O AE BO 于 E 且 AE 10cm OE BE 求 AC 的长 答案及提示答案及提示 1 填空 1 52cm 120cm2 2 6cm 3 20cm 4 8cm2 5 矩形 6 12 倍 7 2 2 选择题 1 B 2 D 3 A 4 C 5 B 6 A 7 C 8 C 3 提示 画出图形 代入计算得到 BC DC 4cm 又由于 BC DC 20 得到结论 BC 12cm DC 8cm 4 提示 数形结合 可以看出图形中出现等边三角形 结论自然 对角线 长为 2 4 5 提示 不防设正方形 ABCD 的边长为 4 设为单位 1 时 计算麻烦 过点 P 作 PH AD 于 H Pq AB 于 q 由已知 PH Pq 延长 HP 交 BC 于 M 以 S ABE为等量 可计算出 PH 这样 PM 通过计 4 3 8 3 算 可得结论 S APE S BPC 1 4 6 提示 可证 ABO 是等边三角形 计算出 AB 结论 20 3 3cm AC cm 40 3 3 综合练习三综合练习三 1 填空题 1 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过 并且被 平分 2 平行四边形 矩形 等边三角形 线段中 是轴对称图形的有 是中心对 称图形的有 即是中心对称图形 又是轴对称 图形的有 3 如果梯形的周长为 70cm 两腰和为 30cm 高是 8cm 那么中位线的长 是 面积是 4 梯形较小的底为 4cm 过它的一端引一腰的平行线与下底相交 所得的 三角形的周 长是 12cm 则该梯形的周长是 5 等腰梯形两底之差等于一腰长 则腰与较短底的夹角为 2 已知四边形 ABCD 中 AD BC AD DC A B 求证 四边形 ABCD 为等腰梯形 3 已知梯形 ABCD 中 AB CD A 50 B 80 CD a AB b 求证 BC b a 4 梯形 ABCD 中 AD BC E 为 DC 的中点 且 AE BE 分别是 A B的平分线 求证 AB AD BC 答案及提示答案及提示 1 填空题 1 对称中心 对称中心 2 矩形 等边三角形 线段 平行四边形 矩形 线段 线段 矩形 3 20cm 160cm2 4 20cm 5 120 2 提示 过点 D 作 DE BC 交 AB 于 E 3 提示 过点作 CE AD 交 AB 于 E 4 提示 取 AB 的中点 H 连结 EH AEB 90 显然 以 2HE 为等量 综合练习四综合练习四 1 填空题 每空 5 分 共 30 分 1 直角梯形中 与底垂直的腰长 16cm 另一腰与底成 30 角 此腰长为 2 梯形的面积为 62 5cm2 高 上底 下底之比是 1 2 3 则高的长是 上底长是 3 梯形的上底为 10cm 中位线长为 14cm 则下底长为 22 4 等腰梯形的一个底角是 60 它的上 下底分别是 8cm 和 18cm 则这个 梯形的腰 长是 面积是 2 选择题 每个 7 分 共 28 分 1 等腰梯形上底等于高 下底是上底的 3 倍 它的同一腰上两个底角的度 数为 A 30 150 B 45 135 C 60 120 D 以上都不对 2 在下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的只有 A 等边三角形B 等腰三角形C 菱形D 平行四边 形 3 梯形的中位线是 16cm 它被一条对角线所分成两部分的差是 4cm 则这 个梯形的 两底分别是 A 12cm 20cmB 8cm 12cm C 6cm 10cmD 14cm 18 cm 4 已知梯形的上 下底分别是 1cm 和 4cm 两条对角线长分别为 3cm 和 4cm 那么 梯形面