2014届高三数学（文）课后练习：第39课《空间点、直线、平面之间的位置关系》（北师大版）

空间点 直线 平面之间的位置关系 时间 45 分钟 分值 100 分 基础热身 1 2012 吉林期末 一个正方体的展开图如图 K39 1 所示 A B C D 为原正方 体的顶点 则在原来的正方体中 图 K39 1 A AB CD B AB 与 CD 相交 C AB CD D AB 与 CD 所成的角为 60 2 2012 青岛模拟 已知 a b c 为三条不重合的直线 下面有三个结论 若 a b a c 则 b c 若 a b a c 则 b c 若 a b b c 则 a c 其中正确的个 数为 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 2012 琼海模拟 已知一个平面 l 为空间中的任意一条直线 那么在平面 内一 定存在直线 b 使得 A l b B l 与 b 相交 C l 与 b 是异面直线 D l b 4 正四棱锥 S ABCD 的侧棱长为 底面边长为 E 为 SA 中点 则异面直线 BE 23 与 SC 所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 能力提升 5 平面 l 直线 m 直线 n 则 m n 的位置关系是 A 异面 B 平行 C 相交 D 无法确定 6 在空间四边形 ABCD 中 M N 分别是 AB CD 的中点 设 BC AD 2a 则 MN 与 a 的大小关系是 A MN a B MN a C MN a D 不能确定 7 2012 开封调研 以下四个命题中 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点 A B C D 共面 点 A B C E 共面 则点 A B C D E 共面 若直线 a b 共面 直线 a c 共面 则直线 b c 共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 8 已知空间中有三条线段 AB BC 和 CD 且 ABC BCD 那么直线 AB 与 CD 的位置关系是 A AB CD B AB 与 CD 异面 C AB 与 CD 相交 D AB CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 9 已知异面直线 a b 互相垂直 定点 P 不在直线 a b 上 若过 P 点的直线 l 与 a 成 25 角 则 l 与 b 所成角 的取值范围为 A 0 45 B 65 90 C 45 90 D 0 25 10 2012 银川一中二模 如图 K39 2 ABC A1B1C1是直三棱柱 BCA 90 点 E F 分别是 A1B1 A1C1的中点 若 BC CA AA1 a 则 BE 与 AF 所成角的余弦值为 图 K39 2 11 等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB 二面角 C AB D 为直二面角 M N 分别是 AC BC 的中点 则 EM AN 所成角的余弦值为 12 2012 杭州检测 已知 a b 为不垂直的异面直线 是一个平面 则 a b 在 上的射影可能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线 及其外一点 则在上面的结论中 正确结论的编号是 写出所有正确结论的编号 13 若两条异面直线所成的角为 60 则称这对异面直线为 黄金异面直线对 在 连接正方体各顶点的所有直线中 黄金异面直线对 共有 对 14 10 分 若四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形 PA 底面 ABCD 如图 K39 3 且 PA 2 3 1 求异面直线 PD 与 BC 所成角的大小 2 求四棱锥 P ABCD 的体积 图 K39 3 15 13 分 在空间四边形 ABCD 中 已知 AD 1 BC 且 AD BC 对角线 3 BD AC 求 AC 和 BD 所成的角 13 2 3 2 图 K39 4 难点突破 16 12 分 已知 如图 K39 5 空间四边形 ABCD 中 E H 分别是边 AB AD 上的 点 F G 分别是边 BC CD 上的点 且 0 1 试判断 AE AB AH AD CF CB CG CD FE GH 与 AC 的位置关系 图 K39 5 基础热身 1 D 解析 将平面展开图还原成几何体 易知 AB 与 CD 所成的角为 60 选 D 2 B 解析 不对 b c 可能异面 不对 b c 可能平行 平行移动直线不改变 这条直线与其他直线的夹角 故 对 选 B 3 D 解析 当 l 或 l 时 在平面 内 显然存在直线 b 使得 l b 当 l 与 斜交时 只需要 b 垂直于 l 在平面 内的射影即可得到 l b 4 C 解析 取 AC 中点 F EF BF BE BEF 中 由余弦定理得 2 2 6 22 cos BEF BEF 60 1 2 能力提升 5 D 解析 如图 可知三种关系都有可能 6 C 解析 取 AC 中点 E 则 ME BC 且 ME BC NE AD 且 1 2 NE AD BC AD 2 ME NE 2a 在 MNE 中 MN ME NE a 故选 C 1 2 7 B 解析 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这 与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 所以 正确 从条件看出两平面有三个公 共点 A B C 但是若 A B C 共线 则结论不正确 不正确 不正确 因为此时所 得的四边形的四条边可以不在一个平面上 如空间四边形 故选 B 8 D 解析 若三条线段共面 如果 AB BC CD 构成等腰三角形 则直线 AB 与 CD 相交 否则直线 AB CD 若不共面 则直线 AB 与 CD 是异面直线 故选 D 9 B 解析 将异面直线 a b 平移至相交于 P 点 当平移后的直线 a b 与 l 这三条 直线在同一平面内时 取得最小值 65 当 b 垂直于 a l 所在的平面时 取得最大值 90 10 解析 作 BC 中点为 G 连接 GF EF GA 易知四边形 EFGB 是平行四边 30 10 形 BE GF 即 GFA 是所求的角 易求 GFA 的三边其中 GF a FA GA a 利用余弦定理求出 cos GFA 6 2 5 2 30 10 11 解析 如图 G 为 DE 的中点 连接 AG AN NG 则 NG EM ANG 即 15 10 为 EM AN 所成角 设正方形的棱长为 2 则 AN AG NG EM 所以 355 cos ANG 3 2 5 2 5 2 2 3 5 15 10 12 解析 对应的情况如下 用反证法证明 不可能 13 24 解析 正方体如图 若要出现所成角为 60 的异面直线 则直线必须是面对 角线 以 AC 为例 与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条 分别是 A B BC A D C D 正方体的面对角线有 12 条 所以所求的黄金异面直线对共有 24 对 每一对被计算两次 所以记好要除以 2 12 4 2 14 解 1 AD BC PDA 的大小即为异面直线 PD 与 BC 所成角的大小 PA 平面 ABCD PA AD 由 PA 2 AD 2 得 tan PDA PDA 60 33 故异面直线 PD 与 BC 所成角的大小为 60 2 PA 平面 ABCD VP ABCD S正方形 ABCD PA 22 2 1 3 1 33 8 3 3 15 解 如图所示 分别取 AD CD AB BD 的中点 E F G H 连接 EF FH HG GE GF 由三角形的中位线定理知 EF AC 且 EF GE BD 且 GE 3 4 13 4 GE 和 EF 所成的锐角 或直角 就是 AC 和 BD 所成的角 同理 GH HF GH AD HF BC 1 2 3 2 又 AD BC GHF 90 GF2 GH2 HF2 1 在 EFG 中 EG2 EF2 1 GF2 GEF 90 即 AC 和 BD 所成的角为 90 难点突破 16 解 AE AB AH AD CF CB CG CD EH BD FG BD EH FG EH BD FG BD 当 时 EH FG 且 EH FG 四边形 EFGH 是平行四边形 EF GH HG AC AH AD CG CD 由公理 4 知 EF GH AC 当 时 EH FG 但 EH FG 四边形 EFGH 是梯形 且 EH FG 为上下两底边 EF GH 为梯形的两腰 它们 必