二次根式加法

八年级数学 下 新课标 人 第十六章 二次根式 1 理解二次根式的概念 2 理解 a 0 是一个非负数 2 a a 0 a a 0 3 掌握 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 4 了解最简二次根式的概念 并能灵活运用其对二次根式进行加减 1 通过先提出问题 让学生探讨 分析问题 师生共同归纳得出概念 再对概念的内涵进行分析 得出几个 重要结论 并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简 2 让学生用具体数据探究规律 采用不完全归纳法得出二次根式的乘 除 法法则 并运用法则进行计算 3 让学生利用逆向思维 得出二次根式的乘 除 法法则的逆向等式 并运用它们进行化简 4 通过分析前面的计算和化简结果 抓住它们的共同特点 给出最简二次根式的概念 利用最简二次根式 的概念 让学生对被开方数相同的二次根式进行合并 达到对二次根式进行计算和化简的目的 1 培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力 培养学生一丝不苟的科学精神 2 经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则 发展学生观察 分析 发现问题的能力 二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容 它是在前面平方根 立方根的基础上进行学习的 是对代 数式及实数等内容的延伸与补充 同时 也是后继学习勾股定理 一元二次方程的求根公式及三角形的边 角关系等内容的学习基础 因此 本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意 义 本章内容分为三节 第一节主要学习二次根式的概念和性质 第二节是二次根式的乘法和除法运算 主要 研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简 第三节是二次根式的加法和减法运算 主要研究二次根 式的加减法运算法则和二次根式的化简 重点 1 对 a 0 是一个非负数的理解和对 2 a a 0 a a 0 的理解及应用 2 二次根式乘除法的法则及其运用 3 最简二次根式的概念 4 二次根式的加减运算 难点 1 对 a 0 是一个非负数的理解和对等式 2 a a 0 a a 0 的理解及应用 2 二次根式的乘法 除法的条件限制 3 利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 1 通过前面的学习 我们已经知道了平方根 立方根的概念和求法 实数的有关概念和运算 对数的认识 已经由有理数的范围扩大到实数范围 并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受 因此 本章应充分 注意与已有经验的联系 同时 本章内容与整式也有着密切的联系 由于数式通性 当将二次根式中的实数看 成字母时 二次根式的运算实际上就是整式的运算 所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适 用 因此本章强调了与整式相关内容的联系 2 对于一些重要结论 要注意经历观察 思考 讨论等探究活动归纳得出结论的过程 例如 对于二次根 式的乘法法则 首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算 并观察所得结果发现二次根式相乘与积的 算术平方根之间的关系 并利用发现的规律进行计算 再归纳得出二次根式的乘法运算法则 这个过程实际 上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程 要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力 有效改变学 生的学习方式 3 熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练 可以适当增加练习 以便较好地理解二次根式的意义 较 好地掌握二次根式的性质和运算 为后续学习打下良好的基础 16 1 二次根式2 课时 16 2 二次根式的乘除2 课时 16 3 二次根式的加减2 课时 单元概括整合1 课时 16 1 二次根式 1 了解二次根式的概念 理解二次根式有意义的条件 2 掌握二次根式的性质 并能将二次根式的性质运用于化简 3 了解最简二次根式的概念 会判断一个二次根式是不是最简二次根式 经历观察 比较 总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程 发展学生的归纳概括能力 经历观察 比较和应用等数学活动 感受数学活动充满了探索性和创造性 体验发现的快乐 并提高应用 的意识 重点 会求二次根式中字母的取值范围 理解和掌握二次根式的性质 熟练化简二次根式 难点 运用二次根式的双重非负性解决问题 二次根式性质的综合运用 第课时 使学生理解并掌握二次根式的概念 掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围 经历观察 比较 总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程 发展学生的归纳概括能力 经历观察 比较和应用等数学活动 感受数学活动充满了探索性和创造性 体验发现的快乐 并提高应用 的意识 重点 了解二次根式的概念 理解二次根式有意义的条件 难点 会求二次根式中字母的取值范围 教师准备 教学所需的习题资料 学生准备 复习平方根和立方根的有关知识 导入一 唐僧师徒在万寿山五庄观做客 猪八戒来到后花园 看见人参果树上结满了人参果 嘴馋得直流口水 正准 备伸手摘时 突然一道金光 在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来 噗的一声同时着地 有爱好 数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t 你觉得他算的正确吗 要解决这个问题 我们得从二次根式说起 设计意图 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中 激发学生学习的兴趣 拉近了数学与学生的距离 为探究本节课奠定了基础 导入二 1 教师出示复习题 1 4 的平方根是 0 的平方根是 16 的平方根是 2 5 的平方根是 5 的算术平方根是 学生口答 1 4 的平方根是 2 0 的平方根是 0 16 没有平方根 2 5 的平方根是 5 的算术平方根是 2 教师出示教材第 2 页 思考 题 用带有根号的式子填空 看看写出的结果有什么特点 1 面积为 3 的正方形的边长为 面积为S的正方形的边长为 2 一个长方形的围栏 长是宽的 2 倍 面积为 130 m2 则它的宽为 m 3 一个物体从高处自由落下 落到地面所用的时间t 单位 s 与开始落下时离地面的高度h 单位 m 满足 关系h 5t2 如果用含有h的式子表示t 那么t为 学生思考后回答 教师补充得出答案 1 2 3 设计意图 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆 巩固所学知识 并引入新课 1 二次根式的概念 思路一 过渡语 针对导入二 让我们一起来看下面的问题 上面得到的式子 分别表示什么意义 它们有 什么共同特征 教师引导学生说出各式的意义 概括它们的共同特征 都表示一个非负数 包括字母或式子表示的非负数 的算术平方根 讨论 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗 学生小组讨论 全班交流 教师由此给出二次根式的定义 一般地 我们把形如 a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 追问 在二次根式的概念中 为什么要强调 a 0 教师引导学生举出例子说明 经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数 设计意图 让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系 体会研究二次根式的必要 性 再让学生体会由特殊到一般的过程 培养学生的概括能力 最后通过讨论二次根式中被开方数a 0 进一 步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解 思路二 像 这样的式子有什么共同特点呢 学生观察 交流发现 一是从形式上看 都含有二次根号 二是被开方数的取值范围有限制 被开方数必须是 非负数 教师进一步明确 形如 a 0 的式子叫做二次根式 引导学生说一说对二次根式的认识 1 表示a的算术平方根 2 a可以是数 也可以是代数式 3 从形式上看 含有二次根号 4 a 0 0 设计意图 加深对二次根式的理解 进一步明确二次根式的非负性 2 例题讲解 过渡语 二次根式的定义怎样理解 让我们一起来学习几个例题 下列各式中 哪些是二次根式 并指出二次根式中的被开方数 x 3 y 1 xy 0 引导学生观察根指数和被开方数分析发现 显然不是二次根式 因为它的根指数是 4 含有四次根号 其余 式子都含有二次根号 关键看根号下的被开方数是否为非负数 若根号下是负数 则二次根式没有意义 解 x 3 xy 0 是二次根式 其中被开方数依次是 7 x 3 x 1 2 解题策略 当被开方数形式是含有字母的代数式时 可以把这个代数式看成一个整体 如的被开方数 是x2 2015 当被开方数形式比较复杂时 可以将这个被开方数适当化简 如 因为 3 2 7 9 7 2 所以它的 被开方数其实就是 2 变式训练 下列各式中 一定是二次根式的是 A B C D 其中a 0 解析 的被开方数 9 D x 解析 是二次根式 因此 2x 1 0 在分母上 因此 0 则解得x 故选 C 3 当x 时 二次根式有最小值 其最小值是 解析 二次根式有意义 x 3 0 即x 3 的最小值是 0 x 3 0 解得x 3 答案 3 0 4 求下列各式中字母a的取值范围 1 2 3 4 解 1 由a 1 0 得a 1 字母a的取值范围是大于或等于 1 的实数 2 由 0 得 1 2a 0 即a0 所以字母a的取值范围是全体实数 第 1 课时 1 二次根式的概念 2 例题讲解 例 1 例 2 一 教材作业 必做题 教材第 3 页练习第 1 2 题 教材第 5 页习题 16 1 第 1 题 选做题 教材第 5 页习题 16 1 第 7 题 二 课后作业 基础巩固 1 若 是二次根式 则下列结论正确的是 A x 0 y 0 B x 0 y 0 C x y同号 D 0 2 已知实数x y m满足 0 且y为负数 则m的取值范围是 A m 6 B m 6 D m 6 3 如果式子 有意义 那么在直角坐标系中点A a b 的位置在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 2015 遵义中考 使二次根式有意义的x的取值范围是 能力提升 5 当x 时 在实数范围内有意义 6 2015 攀枝花中考 若y 2 则xy 7 已知x y为实数 且满足 y 1 0 求x2016 y2016的值 8 已知实数a满足 a 求a 20142的值 拓展探究 9 若x y n满足关系式 试确定m的值 答案与解析 1 D 解析 依题意得 0 即 0 故选 D 2 A 解析 根据题意 结合非负数的性质 得 0 0 所以解得因为y是负数 所以 6 m6 故选 A 3 A 解析 根据二次根式有意义的条件 易得a 0 b 0 故选 A 4 x 解析 要使二次根式有意义 则需满足 5x 2 0 x 5 且x 1 解析 要使 在实数范围内有意义 必须同时满足的被开方数 2x 3 0 和的分母x 1 0 即 由 得x 由 得x 1 当x 且x 1 时 在实数范围内有意义 6 9 解析 由题意得x 3 0 3 x 0 得x 3 故y 2 xy 9 7 解 y 1 0 1 y 0 x 1 0 1 y 0 解得x 1 y 1 x2016 y2016 1 2016 12016 1 1 0 8 解 由a 2015 0 得a 2015 故已知式子可化为a 2014 a 2014 两边平方并整理 得a 20142 2015 9 解 由等式的右边 根据二次根式有意义的条件得x 2013 y 0 且 2013 x y 0 得x y 2013 且 x y 2013 所以x y 2013 所以 0 所以 得x 2y 2 又x y 2013 两式相加 得 2x 3y 2015 所以 m 2015 我们经常说过程比结果更重要 我对整节课的设计力求符合学生的认知特点 想方设法创设生动活泼的 教学情境 使学生始终处在好奇 好学的高亢的学习情绪当中 同时 整节课努力做到先有框架 中有深化 后 有突破 学生学有情趣 学有所获 并由衷感到 学习是快乐的事 学会了更是幸福的事 在教学中 我适当增加了有拓展性的练习 层层递进 想使不同的学生得到不同程度的发展和提高 但受到 教材中练习题的局限 就当a是非负数时 本身也是一个非负数的练习没有落实到位 根据教学时间多少调整例题教学 适当增加对二次根式非负性的例题的讲解 注重变式练习 以加深对二 次根式具有双重非负性的理解 练习 教材第 3 页 1 解 设长方形的长和宽分别为 3a cm 2a cm 由题意 得 3a 2a 18 a2 3 a 舍去a 3a 3 2a 2 故长 方形的长取 3 cm 宽取 2 cm 2 解 1 当a 1 0 即a 1 时 有意义 2 当 2a 3 0 即a 时 有意义 3 当 a 0 即a 0 时 有意义 4 当 5 a 0 时 即a 5 时 有意义 若x y为实数 且满足y 3 求x 2y的值 解析 根据二次根式的被开方数不小于 0 求得x y的值 然后将其代入所求的代数式并计算 解 由二次根式有意义的条件得即x2 4 0 所以x 2 当x 2 时 y 3 当x 2 y 3 时 x 2y 2 2 3 4 当x 2 y 3 时 x 2y 2 2 3 8 所以x 2y的值是 4 或 8 解题策略 根据已知得出并得到x 2 是解决本题的关键 已知 3a 6 2 0 求ba的值 解析 根据非负数的性质 若两个非负数的和为 0 则这两个非负数的值都为 0 解出a b的值 再代入 原式中计算 解 因为 3a 6 2与都是非负数 且它们的和为 0 所以 3a 6 0 b 3 0 即a 2 b 3 此时ba 32 9 解题策略 本题考查了非负数的性质 初中阶段有三种类型的非负数 1 绝对值 2 偶次方 3 二次根式 算术平方根 当它们的和为 0 时 必须满足其中的每一项都等于 0 根据这个结论可以求解这类问题 第课时 1 理解 2 a a 0 和 a a 0 并利用它们进行计算和化简 2 用具体数据结合算术平方根的意义推出 2 a a 0 和探究 a a 0 会用这个结论解决具体问题 3 了解代数式的概念 在明确 2 a a 0 和 a a 0 的算理的过程中 感受数学的实用性 通过运用二次根式的性质化简的相关计算 解决一些实际问题 培养学生解决问题的能力 重点 掌握二次根式的性质 并能将二次根式的性质运用于化简 难点 能运用二次根式的性质化简 教师准备 教学所需的习题资料 学生准备 自学教材第 3 4 页的内容 导入一 教师出示问题 先化简再求值 当a 9 时 求a 值 甲 乙两人的解答如下 甲的解答为 原式 a a 1 a a 1 a 1 乙的解答为 原式 a a a 1 2a 1 17 两种解答中 谁的解答是 错误的呢 本节课 我们一起来学习二次根式的性质 然后就可以解决上面的问题了 设计意图 以问题设疑 发挥问题导向作用 激发学生的求知欲 为本节课学习打下基础 导入二 1 什么叫二次根式 2 当a 0 时 叫什么 当a 0 时 有意义吗 学生口答 老师点评 通过前面的学习 我们知道了二次根式具有双重非负性 今天我们主要学习一些二次根式的其他性质 设计意图 复习旧知导入新知 让本节课自然过渡 为本节课学习奠定了基础 思路一 1 二次根式的性质 1 2 a a 0 过渡语 我们先来探究性质 1 2 a a 0 提问 你能解释下列式子的含义吗 2 2 2 学生口述 教师根据情况评价 2表示 4 的算术平方根的平方 2表示 2 的算术平方根的平方 表示的算术平方根的平方 2表示 0 的算 术平方根的平方 追问 根据算术平方根的意义填空 并说出得到结论的依据 2 2 2 学生独立完成填空后 让学生展示其思维过程 说出得到结论的依据 教师引导学生说出每一个式子的含义 是 4 的算术平方根 根据算术平方根的意义 是一个平方等于 4 的非负数 因此有 2 4 是 2 的算术平方根 根 据算术平方根的意义 是一个平方等于 2 的非负数 因此有 2 2 是的算术平方根 根据算术平方根的意义 是一个平方等于的非负数 因此有 表示 0 的算术平方根 因此有 2 0 讨论 从以上的结论中你能发现什么规律 你能用一个式子表示这个规律吗 引导学生归纳得出二次根式的性质 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 即 2 a a 0 教材例 2 计算 1 2 2 2 2 学生独立完成 两名学生板演 再集体订正 解析 1 直接运用 2 a a 0 化简即可 2 运用幂的性质 ab 2 a2b2 解 1 2 1 5 2 2 2 22 2 4 5 20 解题策略 把底数看成根号外因数与二次根式的积 按照积的乘方计算即可 变式训练 计算 2 2 解析 把原式的底数看成是 2 与的积 先利用 mn 2 m2n2 再根据 2 a a 0 化简 解 2 2 2 2 2 4 3 12 知识拓展 形如 x 2的关于二次根式的运算可结合 ab 2 a2b2得到 x 2 x2a 设计意图 让学生经历从特殊到一般的过程 概括出二次根式的性质 1 培养学生抽象概括的能力 并通 过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质 1 学会灵活运用 2 二次根式的性质 2 a a 0 过渡语 我们再来探究一下性质 2 a a 0 提问 你能解释下列式子的含义吗 教师引导学生说出每一个式子的含义 表示 2 的平方的算术平方根 表示 0 1 的平方的算术平方根 表示的平方的算术平方根 表示 0 的平方的 算术平方根 追问 根据算术平方根的意义填空 并说出得到结论的依据 学生独立完成填空后 让学生展示其思维过程 说出得到结论的依据 4 22 2 因此 2 0 01 0 12 0 1 因此 0 1 因此 0 02 0 因此 0 讨论 从以上的结论中你能发现什么规律 你能用一个式子表示这个规律吗 引导学生归纳得出 一个非负数的平方的算术平方根等于这个数 即 a a 0 教材例 3 化简 1 2 引导学生根据 a a 0 进行分析 1 因为 16 42 所以 再计算即可得出结果 2 因为 5 2 52 所以 学生独立完成 集体订正 解 1 4 2 5 知识拓展 1 中的a的取值范围可以是任意实数 即不论a取何值 一定有意义 2 化简时 一定要弄明 白被开方数的底数a是正数还是负数 若是正数或 0 则等于a本身 即 a a 0 若a是负数 则等于a的相反 数 a 即 a a 0 小组讨论 2和有什么关系 学生自由讨论 教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析 得出 2表示a的算术平方根的平方 2 a a 0 表示a的平方的算术平方根 a 设计意图 让学生经历从特殊到一般的过程 概括出二次根式的性质 2 培养学生抽象概括的能力 并通 过例题练习及时巩固二次根式的性质 2 思路二 请同学们阅读和自学课本第 3 4 页的内容 并思考下面的问题 1 1 填空 2 2 2 2 2 猜想当a 0 时 2 2 1 观察下列各式的特点 找出各式的共同规律 并用表达式表示你发现的规律 通过观察 你得到的结论是什么 试着说一说 2 发现 当a 0 时 当a 0 时 学生用充足的时间学习后 交流学习情况 教师分析并讲解 1 1 根据算术平方根与乘方运算的关系 得 2 所以 2 22 4 4 所以 2 42 16 所以 根据以上规律 可以得出 2 2 2 0 2 从第 1 问可以发现 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 即 2 a a 0 2 先计算 2 2 3 3 可以看出 一个正数的平方的算术平方根等于这个数 一个负数的平方的算 术平方根等于这个数的相反数 于是当a 0 时 a 当a 0 时 a 归纳并板书 二次根式的性质 1 2 a a 0 2 a a 0 提问 2和有什么关系 学生自由讨论 教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析 得出 2表示a的算术平方根的平方 2 a a 0 表示a的平方的算术平方根 a 设计意图 在计算的基础上 引导学生观察 猜想 归纳得出二次根式的两个性质 并从式子的意义和 结果进行比较 得出二者之间的关系 3 代数式 提问 回顾我们学过的式子 如a b ab x3 a 0 这些式子有哪些共同特征 学生概括式子的共同特征 得出代数式的概念 这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子 我们称这样的式子为代数式 学生举出一些例子 并书写 教师针对学生书写出现问题的地方进行指导 设计意图 学生通过观察式子的共同特征 形成代数式的概念 培养学生的概括能力 4 例题讲解 补充 计算 5 2 解析 利用 2 a a 0 和 a a 0 化简 注意被开方数的符号 解 5 2 5 2 2 25 2 50 补充 比较 2 与 3 的大小 解析 直接比较这两个二次根式的大小不太容易 由于这两个二次根式平方后得到两个有理数 因此 可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小 解 2 2 22 2 44 3 2 32 2 45 又 440 3 0 2 3 师生共同回顾本节课所学主要内容 知识要点关键点注意事项 2 a a 0 任何非负数的算术平方根的平方 其结果仍然是它本身 被开方数a是非负数 a 任何实数的平方的算术平方根是 它的绝对值 底数a可以是任何实数 代数式 用运算符号把数和表示数的字母 连接起来的式子叫代数式 式子中不能出现 单 个的数字或单个的字母也是代数式 1 计算的结果是 A 3 B 3 C 9 D 9 解析 3 故选 B 2 下列各式 m2 3 a 0 a 1 6 3x 5 0 66 其中代数式的个数是 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 解析 a 1 6 是方程 不是代数式 3x 5 0 是一元一次不等式 也不是代数式 其余都是代数式 故选 C 3 的值是 解析 2 2 4 故填 4 4 1 当x 时 2 x成立 2 计算 解析 1 当x 2 0 时 2 x 所以x 2 2 因为 3 所以 3 0 因此 3 答案 1 2 2 3 5 计算 1 2 2 2 3 4 2 解 1 0 9 2 2 2 22 2 12 3 2 2 2 4 2 1 2 2 15 第 2 课时 1 二次根式的性质 1 2 a a 0 例 1 2 二次根式的性质 2 a a 0 例 2 3 代数式 4 例题讲解 例 3 例 4 一 教材作业 必做题 教材第 4 页练习第 1 2 题 教材第 5 页习题 16 1 第 2 3 4 5 6 题 选做题 教材第 5 页习题 16 1 第 7 8 9 10 题 二 课后作业 基础巩固 1 已知二次根式的值为 3 那么x的值是 A 3 B 9 C 3 D 3 或 3 2 若 1 2a 则 A a D a 3 2015 杭州中考 若k k 1 k是整数 则k等于 A 6 B 7 C 8 D 9 4 实数a b在数轴上的位置如图所示 则化简 a b 的结果为 A 2a b B 2a b C b D 2a b 能力提升 5 若是一个正整数 则正整数m的最小值是 6 在实数范围内分解因式 1 x2 3 2 n5 6n3 9n 7 列出下列代数式 1 面积为 3 的圆的半径 2 面积为S且两条邻边之比为 3 5 的长方形的长 宽 8 计算 1 2 3 2 3 4 5 9 先化简 再求值 其中x 6 拓展探究 10 对于题目 化简并求值 其中a 甲 乙两人的解答不同 甲的解答是 a a 乙的解答是 a a 谁的解答是错误的 为什么 答案与解析 1 D 解析 根据题意得x2 9 解得x 3 故选 D 2 B 解析 由已知得 2a 1 0 解得a 故选 B 3 D 解析 本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算 而 即 9 10 所以k 9 4 C 解析 观察图可知a0 且 a b 那么可知a b0 x 8 0 原式 x 1 x 1 x 8 2x 7 12 7 5 10 解析 在利用 a 化简二次根式时 当根号内的因式移到根号外面时 一定要注意原来根号里面的符号 这也是化简时最容易出错的地方 解 乙的解答是错误的 因为当a 时 5 a 0 恒成立 无论x取任何实数 都有意义 2 x 1 2 0 恒成立 无论x取任何实数 都 有意义 3 即x 0 当x 0 时 在实数范围内有意义 4 即x 1 当x 1 时 在实数范围内有 意义 8 解 设h kt2 则由题意 得 20 k 22 解得k 5 h 5t2 t 负值已舍去 当h 10 时 t 当h 25 时 t 故当h 10 和h 25 时 小球落地所用的时间分别为 s 和 s 9 解 1 由题意知 18 n 0 且为整数 则n 18 n为自然数且为整数 符合条件的n的所有可能的值为 2 9 14 17 18 2 24n 0 且是整数 n为正整数 符合条件的n的最小值是 6 10 解 V r2 10 r 负值已舍去 当V 5 时 r 当V 10 时 r 1 当V 20 时 r 如图所示 根据实数a b在数轴上的位置 化简 解析 根据数轴可得出a b与a b的正负情况 从而可将二次根式化简 解 由数轴可得 a b0 a b a b a b a b 2b 解题策略 结合数轴得出字母的取值范围 再化简二次根式 此题体现了数形结合的思想 已知a b c为三角形的三条边 则 解析 根据三角形三边的关系 先判断a b c与b a c的符号 再去根号 绝对值符号并化简 因为a b c为三角形的三条边 所以a b c 0 b a c 0 所以原式 a b c b a c a b c b a c 2a 故填 2a 解题策略 此类化简问题要特别注意符号问题 化简 解析 题中并没有明确字母x的取值范围 需要分x 3 和x 3 两种情况考虑 解 当x 3 时 x 3 x 3 当x 0 学生讨论 得出 1 先把被开方数化为 202 10 再利用 计算 2 先把被开方数化为 9m 2与n乘积的形式 再利用 计算 解 1 原式 20 2 原式 9m 教师针对练习中的错误进行纠正 引导学生归纳 两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积 即 a 0 b 0 设计意图 鼓励学生尝试练习 练后进行归纳 培养学生主动探究数学规律的能力 提高他们的归纳总结 能力 知识拓展 1 当a 0 b 4 C a 4 D 4 a0 y 0 则 解析 xy 故填xy 5 化简 1 2 a 0 b 0 解 1 6 9 54 2 3 a 3a 3ab 6 计算 1 2 4 7 3 3 5 4 解 1 6 2 4 7 4 7 28 252 3 3 5 3 5 15 4 a 第 1 课时 1 二次根式的乘法 2 积的算术平方根的性质 3 例题讲解 例 1 例 2 例 3 一 教材作业 必做题 教材第 7 页练习第 1 2 3 题 教材第 10 页习题 16 2 第 1 题 选做题 教材第 11 页习题 16 2 第 6 题 二 课后作业 基础巩固 1 下列各数中 与的积为有理数的是 A B 3 C 2 D 2 2015 安徽中考 计算 的结果是 A B 4 C D 2 3 已知m 2 则有 A 5 m 6 B 4 m 5 C 5 m 4 D 6 m 5 4 k m n为三个整数 若 k 15 6 则下列有关k m n的大小关系正确的是 A k m n B m n k C m n k D m k n 能力提升 5 张老师在计算机上设计了一个长方形 已知长方形的长是 cm 宽是 cm 他又想设计一个面积与其相等的 圆 则圆的半径是 6 是一个整数 那么最小正整数a的值为 7 计算 1 2 0 5 a 0 3 8 一个底面为 30 cm 30 cm 的长方体玻璃容器中装满水 现将一部分水倒入一个底面为正方形 高为 10 cm 的长方体铁桶中 当铁桶装满水时 容器中的水面下降了 20 cm 求铁桶的底面边长是多少厘米 容器的尺 寸为从里面量得的 9 若y 且x y为实数 求 的值 拓展探究 10 观察下列各式 2 3 4 1 你能发现上述式子有什么规律吗 将猜想到的规律用含自然数n n为正整数 的代数式表示出来是 2 请你运用所发现的规律 写出第 9 个式子 3 请你验证所发现的规律 答案与解析 1 C 解析 因为 而为无理数 所以选项 A 错误 因为 3 3 而 3 是无理数 所以选项 B 错误 因为 2 6 而 6 是有理数 所以选项 C 正确 因为 3 而 3 为无理数 所以选项 D 错误 故选 C 2 B 解析 a b都是非负数 4 故选 B 3 A 解析 m 2 25 28 36 即 5 2 6 故选 A 4 D 解析 化简二次根式得到k m及n的值 3 15 6 可得k 3 m 2 n 5 则m k 0 即两个二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变 追问 a b的取值范围为什么不同 学生思考 交流 因为分母不能为 0 所以b 0 当a 0 b0 设计意图 运用二次根式乘法的方法探索 使学生清楚新旧知识之间的区别与联系 培养学生从特殊到 一般的归纳概括能力 思路二 提问 比较上面的式子 你能得到什么样的结论呢 引导学生比较计算结果 发现规律 因为 所以 因为 所以 由此可以看出两个二次根式相除 把被除数的被开方数除以除数的被开方数 根指数不变 明确二次根式的除法法则 a 0 b 0 过渡语 你会应用二次根式的除法法则吗 尝试练习 教材例 4 计算 1 2 学生利用 a 0 b 0 进行计算 根据学生计算情况指点 对于 2 题 需将除法转化成乘法后 再进行化简 解 1 2 2 3 设计意图 由特殊到一般 由特殊例子推导得出二次根式的除法法则 通过尝试练习使学生先学 教师后 教 初步掌握二次根式的除法运算 知识拓展 1 当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时 可直接利用二次根式除法法则计算 如 2 2 当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时 或者被除式是整数而除式是二次 根式时 可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去 如 3 当二次根式前面有系数时 可以类比单 项式除以单项式的法则进行运算 即系数之商作为系数 被开方数之商作为被开方数 如m n m n 其中a 0 b 0 且n 0 2 商的算术平方根的性质 思路一 过渡语 a 0 b 0 反过来也成立吗 1 2 3 参考上面的结果 用 0 学生计算后比较每一组的结果 说出自己的发现 教师明确商的算术平方根的性质 a 0 b 0 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 设计意图 让学生亲自动手计算 提出猜想 归纳论证 得出结论 培养学生探究能力和探究的良好习惯 思路二 过渡语 二次根式的乘法公式可以逆用 那么除法公式可以逆用吗 学生阅读教材第 8 页内容 把 a 0 b 0 反过来 就得到 a 0 b 0 利用它就可以将二次根式化简 尝试练习 教材例 5 化简 1 2 学生独立完成后 找学生口述解题过程 教师将过程写在黑板上 解 1 2 引导学生归纳 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 即 a 0 b 0 设计意图 鼓励学生尝试练习 练后进行归纳 培养学生主动探究数学规律的能力 提高他们的归纳总结 能力 知识拓展 1 当a 0 b0 得 再利用分数的基 本性质可以变形 则有 追问 观察化简结果 3 和 它们有什么特点 自己可以再举例说明 引导学生从上面两小题化简的过程来看 1 把被开方数中能开得尽方的因数 或因式 开出来 2 把被开方数中所含有的分母化去 进一步归纳总结 如果二次根式满足下列两个条件 1 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 2 被开 方数中不含有分母 那么这样的二次根式叫做最简二次根式 知识拓展 1 在二次根式的运算中 一般都要把最后结果化成最简二次根式 2 判断一个二次根式是 不是最简二次根式 就要紧扣最简二次根式的特点 被开方数中不含有分母或小数 被开方数中不含有 能开得尽方的因数或因式 若被开方数是和或差的形式 则先把被开方数写成积的形式 再判断 若无法写 成积或一个数的平方的形式 则为最简二次根式 如因为 所以不是最简二次根式 因为无法进行因式分解 或变成一个数或因式的平方 所以是最简二次根式 4 例题讲解 教材例 6 计算 1 2 3 先引导学生分析本题 3 道小题 根据二次根式的除法法则进行计算 计算结果应化成最简二次根式 在自 己练习后小组交流 解法 1 1 解法 2 1 解 2 3 解题策略 化简二次根式的方法 把被开方数化为能开得尽方的因数 或因式 与其他因数 或因式 积 的形式 再开平方即可 被开方数是小数的 要化成分数 可以利用分数的基本性质 使得化简后被开方数不 含分母 当被开方数是和 或差 的形式时 要把被开方数写成一个数或分解因式 再化简 教材例 7 设长方形的面积为S 相邻两边长分别为a b 已知S 2 b 求a 学生先分析题意 独立列出式子 再代值计算 分析 S ab a 将S b的值代入进行化简即可 解 a 设计意图 通过对例题的分析和解答 加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解和应用 师生共同回顾本节课所学主要内容 1 a 0 b 0 即两个二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变 2 a 0 b 0 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 3 如果一个二次根式满足以下两个条件 1 被开方数不含分母 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式 我们称这样的二次根式为最简二次根式 1 下列计算正确的是 A B C D 解析 当a 0 b0 2 3 解 1 2 3 3 第 1 课时 1 二次根式的除法 例 1 2 商的算术平方根的性质 例 2 3 最简二次根式 4 例题讲解 例 3 例 4 一 教材作业 必做题 教材第 10 页练习第 1 2 3 题 教材第 10 页习题 16 2 第 2 3 4 题 选做题 教材第 11 页习题 16 2 第 7 8 9 10 题 二 课后作业 基础巩固 1 若等式 成立 则实数a应是 A 正实数 B 大于 1 的实数 C 非负实数 D 非正实数 2 下列各式正确的是 A 16 B 1 C D 9 3 下列根式中最简二次根式有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 4 计算的结果是 A 4b B 2 C D 能力提升 5 2015 南京中考 计算的结果是 6 长方形的长为 3 面积为 30 要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形 则该正方形的面积是 7 计算 1 2 3 拓展探究 8 已知x y 试比较x与y的大小 答案与解析 1 C 解析 由被开方数的非负性和除数不为零 可得a为非负实数 2 C 解析 A 的结果为 4 B 的结果为 D 的结果为 3 故选 C 3 A 解析 是最简二次根式 故选 A 4 D 解析 故选 D 5 5 解析 5 6 60 解析 30 3 2 60 7 解 1 原式 2 2 原式 4 3 原式 3 2 6 8 解 设a 2013 则x y a2 3a 2 a2 3a x0 a b0 a b 0 a 0 b 0 中 等号右边被开方数小于零 无意义 不正确 中 根据二次 根式乘法法则得 1 正确 中 b b 正确 故选 B 2014 河北中考 计算 解析 运用二次根式乘法法则计算 然后化简 2 故填 2 16 3 二次根式的加减 1 将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式 再进行合并 2 能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 3 会计算二次根式的加减乘除混合运算 能准确地进行化简求值 1 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想 2 培养学生的计算能力 鼓励学生自主探究 提高学生自主学习的能力 重点 二次根式的加减运算 难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算 第课时 理解和掌握二次根式加减的方法 先提出问题 分析问题 在分析问题过程中 渗透对二次根式进行加减的方法的理解 再总结经验 用它来指 导根式的计算和化简 体会合作学习的乐趣 重点 二次根式加减法的运算 难点 快速准确进行二次根式加减法的运算 教师准备 教学中出示的教学插图和例题 学生准备 复习整式的计算 导入一 出示教材第 12 页问题 现有一块长 7 5 dm 宽 5 dm 的木板 能否采用如图的方式 在这块木板上截出两个 面积分别是 8 dm2和 18 dm2的正方形木板 提问 大 小正方形木板的边长分别为 dm 和 dm 木板是否够宽 木板是否够长呢 怎样计算 的结 果呢 引导学生思考 并进行交流 两个小正方形的边长分别为 dm 和 dm 均小于 5 dm 所以木板的宽度够 下面考虑木板是否够长 两个正方 形的边长的和为 dm 实际上是求和的和 然后再比较 与 7 5 的大小 怎样计算 呢 下边我们来探究二次根式的加减 设计意图 设置问题情境 引出课题 体现了数学与生活的密切关系 激发学生探究二次根式加减运算法 则的学习兴趣 导入二 我们一起来回顾一下 最简二次根式必须要满足哪几个条件 1 被开方数不含分母 2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 过渡语 二次根式的乘除法 可以用被开方数乘或者除以被开方数 然后化简得出结果 那么 二次根 式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗 提问 正确吗 本节课 我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确 设计意图 复习最简二次根式 为合并被开方数相同的二次根式打下基础 通过类比设疑 唤起学生的探 究欲望 1 二次根式的加减法 过渡语 我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢 思路一 教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式 2 3 追问 可以像合并同类项那样合并吗 学生小组讨论回答 相当于x 则合并同类项 2x 3x 2 3 x 5x 用类比的方法可知 根号前边的数字相当于 系数 把系数相加得 2 3 5 师生归纳 一般地 二次根式相加减时 可先将二次根式化成最简二次根式 再把被开方数相同的二次根式 合并 设计意图 使学生应用类比思想解决问题 培养学生观察 归纳的能力 思路二 1 合并同类项 2x 3x 2a2 3a2 5a2 2 请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题 并说说计算过程有什么规律 2 3 2 3 5 学生回顾 合并同类项就是把系数相加减 字母部分不变 2x 3x 2 3 x 5x 2a2 3a2 5a2 2 3 5 a2 4a2 教 师提醒要注意不是同类项的不能合并 追问 第 1 问中的 中x换成 中a2换成 就成了第 2 问中的两个题目了 又该怎样运算呢 学生用类似合并同类项的方法 得 2 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 4 引导学生总结 第 2 问中的 和 都是将被开方数相同的二次根式进行合并 如果二次根式不是最简二次 根式 需先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式进行合并 例如 3 2 5 教师归纳 二次根式加减时 先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式进行合并 知识拓展 1 合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来 包含前面的符号 被开方数和根指数不 变 2 当二次根式的系数是带分数时 必须将其化成假分数 3 化简后 被开方数不相同的根式不能合并 2 例题讲解 教材例 1 计算 1 2 引导学生对二次根式 化简 并进行检查 指正 由学生独立完成解答过程 按照被开方数相同的合并在一起 解 1 4 3 2 3 5 8 教材例 2 计算 1 2 6 3 2 指导学生对二次根式进行化简 再加减 并追问 与能合并吗 学生能成功化简 并在明白与的被开方数不相同 不能合并的基础上 再计算 解 1 2 6 3 4 2 12 14 2 2 2 3 方法归纳 二次根式的加减运算 第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式 第二步是将被开 方数相同的最简二次根式合并 如果有括号 先去括号 师生共同回顾本节课所学主要内容 二次根式的加减运算 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式进行合并 二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并 与整式加减中合并同类项类似 即只 把系数相加减 根指数和被开方数不变 在进行运算时还要注意 根号外的因式就是这个根式的系数 二次根式的系数是带分数的要化为假分数 的形式 被开方数不相同的最简二次根式不能合并 对于没有合并的二次根式一定不能丢掉 其也是结果的一部 分 1 2015 天门中考 下列各式计算正确的是 A B 4 3 1 C 2 3 6 D 3 解析 A 不是同类二次根式 不能合并 故错误 B 合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉 故错误 C 应为 2 3 6 3 18 故错误 D 原式 3 正确 故选 D 2 以下二次根式 中 化简后与被开方数相同的是 A 和 B 和 C 和 D 和 解析 2 2 3 故选 C 3 2015 重庆中考 计算 3 的值是 A 2 B 3 C D 2 解析 3 3 1 2 故选 D 4 一个等腰三角形的两边长分别为 2 3 则三角形的周长为 解析 当 2 为腰长 3 为底边长时 周长为 3 4 当 3 为腰长 2 为底边长时 周长为 6 2 故填 3 4 或 6 2 5 若最简二次根式与的被开方数相同 则a 解析 由题意得 4a2 1 6a2 1 解得a 1 故填 1 6 计算 1 2 3 3 2 5 解 1 2 3 3 2 3 3 2 3 3 1 4 2 5 2 5 第 1 课时 1 二次根式的加减法 2 例题讲解 例 1 例 2 一 教材作业 必做题 教材第 13 页练习第 1 2 3 题 教材第 15 页习题 16 3 第 1 2 3 题 选做题 教材第 15 页习题 16 3 第 5 题 二 课后作业 基础巩固 1 2015 衡阳中考 计算 2 2014 遵义中考 计算 3 若 2 x 10 则x的值等于 能力提升 4 计算 4 3 的结果是 A B C D 5 若的整数部分为x 小数部分为y 则x y的值是 A 3 3 B C 1 D 3 6 计算 1 2 2 3 5 5 4 2 7 如图所示 面积为 48 cm2的正方形的四个角都是面积为 3 cm2的小正方形 请动手操作 将四个角剪掉 制 作一个无盖的长方体盒子 求这个长方体盒子的底面边长 拓展探究 8 已知a为实数 化简 a 阅读下面李东的解答过程 请判断是否正确 若不正确 请写出正确的解答过程 李东的解答过程 a a a a 1 答案与解析 1 解析 原式 2 2 4 解析 3 4 3 2 解析 2 x 10 化简得 2 故x 2 4 B 解析 先把二次根式化成最简二次根式 然后合并同类二次根式 原式 2 2 故选 B 5 C 解析 的整数部分x 1 小数部分y 1 所以x y 1 故选 C 6 解 1 2 5 2 3 2 3 5 5 5 5 3 3 2 8 4 2 4 7 解 长方体盒子的底面边长为 2 4 2 2 cm 8 解 不正确 正确解答过程如下 因为所以a0 b 0 解 1 原式 2 2 0 2 原式 a b a 1 b 第课时 在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上 使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系 在比较中得到方法 并能熟练地进行二次根式的混合运算 1 对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较 注意运算顺序及运算律在计算过程 中的作用 2 通过引导 在多解中进行比较 寻求有效快捷的计算方法 1 学会知识间的类比 进一步体会数学学习方法的重要性 2 通过独立思考与小组讨论 培养良好的学习态度 重点 能熟练进行二次根式的混合运算 难点 灵活运用因式分解 约分等技巧 运用运算律使计算简便 教师准备 教学中出示的教学插图和例题 学生准备 复习总结二次根式的加减运算的方法 导入一 教师节快要到了 为了表示对老师的敬意 小