R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应用(2)

1 排序 均值 柯西不等式及其应用排序 均值 柯西不等式及其应用 排序不等式 均值不等式 柯西不等式是不等式证明的基本工具 三者各有所长 这里我们先简单 回顾一下三个不等式 然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用 一一 排序 均值 柯西不等式排序 均值 柯西不等式 排序不等式排序不等式 i 对于两个有序数组则 1212 nn aaabbb 及 1 12211221211nnijijin bnnnn aba ba ba ba ba baba ba b 同序 乱序 反序 其中与是 1 2 n 的任意两个排列 当且仅当或 12 n i ii 12 n jjj 12n aaa 时式中等号成立 12n bbb ii 设 而是的一个排列 则 12 0 n aaa 12 n bbb 0 12 n i ii 1 2 n 当且仅当或时式中等 112121 121212 iii nnnn bbb bbbbbb nnn a aaaaaa aa 12n aaa 12n bbb 号成立 iii 设有组非负数 每组个数 它们满足 那么 从每一组nn 12 0 kkkn aaa 1 2 km 中各取出一个数作积 再从剩下的每一组中各取一个作积 直到次取完为止 然后将这些 积 相加 则n 所得的诸和中 以为最大 112111222212mmnnmn Ia aaa aaa aa iv 设则 12 0 n aaa 12 n bbb 0 1211 nnn nnn n aba ba b n 当且仅当 且 1212nn nnnnnn nn aaabbb nn 1 122 nnn nn n aba ba b n 12n aaa 时取等号 12n bbb 平均值不等式平均值不等式 设是 n 个正实数 则有当且仅当时取等 12 n a aa 12 12 n n n aaa a aa n 12n aaa 号 幂平均值不等式幂平均值不等式 设 则0 nN 12 n a aa R 1212 11 nn aaaaaa nn 当且仅当时取等号 12n aaa 加权幂平均值不等式加权幂平均值不等式 设 则 12 n p pp R 0 nN 12 n a aa R 当且仅当时取等号 1212 11 1212 1212 nn nn nn p ap ap ap ap ap a pppppp 12n aaa 柯西不等式 当且仅当时 2222222 1 1221212 nnnn aba ba baaabbb 1 2 ii akb in 取等号 推论推论 1 1 设 则 12 n a aa R 2 12 12 111 n n aaan aaa 推论推论 2 2 设 则 12 n a aa R 12 2222 12nn aaa aaa nn 二二 典例解析典例解析 例例 1 1 第 17 届 IMO 试题 已知为任意实数 且 1 2 ii xy in 12n xxx 2 又是的任意一个排列 试证 12 n yyy 12 n z zz 12 n y yy 22 11 nn iiii ii xyxz 证证 故原不等式等价于 此式左边为顺序和 右边为乱序和 由排序 22 11 nn ii ii yz 11 nn iiii ii x yx z 不等式知其成立 例例 2 2 美国第 3 届中学生数学竞赛题 设是正实数 求证 a b c 3 abc cba cba cba 证证 不防设则 据排序不等式有 0 cbacbalglglg cabcabccbbaalglglglglglg 以上两式相加 再两边同加 整cbbaacccbbaalglglglglglg ccbbaalglglg 理得 lglg lg lglglg 3cbacbaccbbaa 即 故 lg 3 lg abc cba cba cba 3 abc cba cba cba 例例 3 3 求证 a b cR 222 3 abcbcacab a bcb cac ab 证证 左边 222 1 1 1 3 abcbcacab a bcb cac ab 3 ab acbc baca cb a bcb cac ab 3 33 ab acbc baca cb a bcb cac ab 3 33 ab bc ca abc 3 222 33 abbcca abc 3 233 注注 本题也可以由 再处理 2 abccca a bcababbc 例例 4 4 已知为正实数 且 证明 a b c1abbcca 222 1119 1114abc 证证 原不等式等价于 由柯西不等式 可得 222 222 3 1114 abc abc 2222 222222 111111 abcabc abcabc 2 222 3 abc abcabbcca 2 2 abc abcabbcca 2 22 3 1 4 3 abc abcabc 证法二 222 222 3 1114 abc abc 222 3 4 abc ab acbc baca cb 由柯西不等式 可得 222 3 4 abc ab acbc baca cb 222 ababab ab acbc baab acbc baacbc 22 bcbc bc baca cbcaab 22 caca ca cbab acbcab 3 为此只需证明 显然 3 2 abbcca cabccaababbc 证法三 令 tan tan tan 222 ABC abc 0 A B CABC 等价于 222 1119 1114abc 222 9 coscoscos 2224 ABC 2222 coscoscos2sincoscos 222222 ABCABCBC 222 919 2sincos2sinsin sin 22224224 ABCAAA 例例 5 5 设 为的三个内角 求证 x y zR A B CABCD 1 sinsinsin 2 xyz xAyBzCxyyzzx xyz 证证 记 则sinsin sinsin sinsinuyBzC vzCxA wxAyB 22222 sinsin coscos 2cos uyBzCyBzCyzyzBC 222 cos 2 yzu BC yz 同理 三式相加得 222 cos 2 zxv AB zx 222 cos 2 xyw AB xy 故 而由柯西不等式得 222 3 cos cos 22 xyw ABC xy 222 2 2 wxy xyxy 222 2 uvw uvwyzzxxy yzzxxy 22 3 xy yzzxxy xy 即 2 xyz yzzxxy xy 1 sinsinsin 2 xyz xAyBzCxyyzzx xyz 例例 6 6已知 求证 1 a b cR 222 222 3 bca abc abc 证证 由柯西不等式知 即 2222222222222222 3 3 3 abbccaabca bb cc aabc 2 3 222222 2 3 3 abbccaabc 2224442222 222222 bcabcaabc abcabbccaabbcca 2222 3 222 2 3 3 abc abc 222 3 abc 例例 7 7 已知 则有 a b c dR 2222 2222 2 bcda abcd abcd 证证 由柯西不等式和均值不等式知 22222222222222222 4 4 abbccddaabcca bb cc dd a 即 22222222 4 abccacbd 2222 3 abcd 3 22222222 2 1 2 abbccddaabcd 22224444 2222 bcdabcda abcdabbccdda 22222 2222 abcd abbccdda 22222 3 2222 2 1 2 abcd abcd 2222 2 abcd 4 例例 8 8 1 2 322 1 3 xxyxy 证 证 事实上 1 式等价于 2 采用增量换元法 3332222 3 x yy zz xxyz 证明 2 式成立 2 是等价于 xza yzab 2223223432234 32 0aabbzaa babbzaa ba babb 3223 222432234 32 4 aa babbaabbaa ba babb 借助恒等式 3223 2 3 2 0aa babb 333333222 3 x yy zz xx yy zz xxyyzzx xyzxyz xyz 知 2 式等价于 333333 x yy zz xx yy zz xxyz xyyz zx 2222 3 2 xyz xyyz zxxyz 3 对 2 式作变换 222 3 3 xyzxyyzzxxyz xyz 其中 为的三边长 则有 111 222 xsaysb zsz 1 2 sabc abc ABC 444222222 3 10 abca bb cc aabc abc 333333 9 3 abbccaa bb cc a 4 例例 9 9 第三届中国东南地区数学奥林匹克题 6 求最小的实数m 使得对于满足a b c 1 的任意正实 数a b c 都有 333222 61m abcabc 解解 当a b c时 有 下证不等式对于满足 1 3 27m 333222 61abcabc 27 a b c 1 的任意正实数a b c都成立 因为对于 有 01x 32 4 2765 3 xxx 32 81181540 xxx 2 1940 xx 3 故 32 4 2765 3 xxx 01x 32 4 2765 3 aaa 32 4 2765 3 bbb 32 4 2765 3 ccc 把上面三个不等式相加 得 m的最小值为 27 333222 61abcabc 27 解法二 当a b c时 有 下证不等式 对于满 1 3 27m 333222 61abcabc 27 足a b c 1 的任意正实数a b c都成立 因为 所以 同理 2 0abab 3322 aba bab 3322 bcb cbc 3322 cac aca 于是 333222222 2 abca bb cc aabbcca 333333222222 3 abcabca bb cc aabbcca 所以 222222 abc abcabc 222222 616abcabc 2 abc m的最小值为 27 222222 6 3 abcabc 222333 9 27abcabc 解法三 齐次化 3332223 6 0abcabcabcabc 27 333222222 0abca bb cc aabbccaabc 20 9 6 333222222 abcabc a bb cc aabbcca 20 3 当a b c时 有 222222 0a bb cc aabbccaabc 11 6 1 3 27m 例例 9 9 对任意实数 试证 zyx 9 6 191 32 9 6 191 222222 zyxyzxzxyzyx 证 证 当时 所证不等式显然成立 当不全为零时 将所证不等zyx zyx 09 222 zyx 5 式可变形为 令 6 191 9 32 6 191 222 zyx yzxzxy k zyx yzxzxy 222 9 32 式中的均可取一切实数 不同时为零即可 不妨取变量作为考查对象 zyx zyx z 1 当时 由 得即0 z 22 yx xy k 2 22 xyyx 2 1 22 yx xy 2 1 2 1 k 2 当时 将 式整理 得可以为 0 当时 0 z 03 9 2 222 yzzykxzykxk0 k 不等式显然成立 当时 因 即或由得0 kRx 0 0 0 0 39 4 2 222 yzkzkykzy 0 91 4 124 41 2222 kzykzzyk 当时 不等式显然成立 2 1 k 当时 2 1 k 0 Ry 0 91 4 41 4 124 2222 kzkkzz 即 0 31 31 41 31 16 222 kkkkz 016 2 z 即0 31 31 41 31 22 kkkk 0 6 191 6 191 31 kkkk 解得 或 k 3 1 6 191 6 191 0 k 同理 由 得 对任意实数都满足的充要条件0 0 91 4 124 41 2222 kzykzzyky 是 解得 0 91 4 41 4 124 041 2222 2 kzkkzz k 0 3 1 k 综合以上 可得的取值范围是 k 6 191 6 191 k 由此可得 即所证不等式成立 6 191 9 32 6 191 222 zyx yzxzxy 说明说明 双判别式法 可以解决 的三元二次齐次不等式 3 2 1 0 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 ikzkykxkpcyzbxzaxyzkykxkq i 的证明问题 例例 1111 求最大常数 使对所有正实数成立 k 22 4 kabc ababc abc a b c 解解 取 有 又2abc 100k 22 4 abc ababc abc 22 22 abc abacbc abc 2 4 2 22 2 abc abacbc abc 48816 abc abacbcab c abc 48816 abc cabab 故 48888 2222 aabb c cababab 2214 55 422 2 5 5 100 2 a b c a b c max 100k 例例 1212 对满足的正数 求证 32 届 IMO 预选 222 1xyz x y z 222 3 3 1112 xyz xyz 题 6 证 证 易知时 等号成立 待定系数 使得 3 3 xyz 2 2 31 123 x x x 整理得 两边约去 代入 得 2 2 313 31 32 1 xx x x 31x 3 3 x 3 3 2 事实上 2 2 33 31 1223 x x x 2 2 33 31 1223 x x x 2 2 3132 0 2 1 xxx x 显然成立 同理 2 2 33 31 1223 y y y 2 2 33 31 1223 z z z 三式相加得 222