2014届全国高考数学（文）二轮复习点睛系列试题分类汇编：《几何证明选讲》

第十五章几何证明选讲 考点一 相似三角形的判定与性质 1 2013 广东 15 5 分 几何证明选讲选做题 如图 在矩形 ABCD 中 AB BC 3 BE AC 垂足 为 E 则 ED 答案 2 2013 陕西 15B 5 分 几何证明选做题 如图 AB 与 CD 相交于点 E 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P 已知 A C PD 2DA 2 则 PE 答案 3 2013 辽宁 22 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 为 O 直径 直线 CD 与 O 相切于 E AD 垂直 CD 于 D BC 垂直 CD 于 C EF 垂直 AB 于 F 连结 AE BE 证明 1 FEB CEB 2 EF2 AD BC 证明 1 由直线 CD 与 O 相切 得 CEB EAB 由 AB 为 O 的直径 得 AE EB 从而 EAB EBF 又 EF AB 得 FEB EBF 从而 FEB EAB 故 FEB CEB 4 分 2 由 BC CE EF AB FEB CEB BE 是公共边 得 Rt BCE Rt BFE 所以 BC BF 类似可证 Rt ADE Rt AFE 得 AD AF 又在 Rt AEB 中 EF AB 故 EF2 AF BF 所以 EF2 AD BC 10 分 考点二 直线与圆的位置关系 4 2013 天津 13 5 分 如图 在圆内接梯形 ABCD 中 AB DC 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长 线交于点 E 若 AB AD 5 BE 4 则弦 BD 的长为 答案 5 2013 课标全国 22 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线 AB 为圆的切线 切点为 B 点 C 在圆上 ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E DB 垂直 BE 交圆于点 D 1 证明 DB DC 2 设圆的半径为 1 BC 延长 CE 交 AB 于点 F 求 BCF 外接圆的半径 解析 1 连结 DE 交 BC 于点 G 由弦切角定理得 ABE BCE 而 ABE CBE 故 CBE BCE BE CE 又因为 DB BE 所以 DE 为直径 DCE 90 由勾股定理可得 DB DC 2 由 1 知 CDE BDE DB DC 故 DG 是 BC 的中垂线 所以 BG 设 DE 的中点为 O 连结 BO 则 BOG 60 从而 ABE BCE CBE 30 所以 CF BF 故 Rt BCF 外接圆的半径等于 6 2013 课标全国 22 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 CD 为 ABC 外接圆的切线 AB 的延长线交直线 CD 于点 D E F 分别为弦 AB 与弦 AC 上 的点 且 BC AE DC AF B E F C 四点共圆 1 证明 CA 是 ABC 外接圆的直径 2 若 DB BE EA 求过 B E F C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值 解析 1 因为 CD 为 ABC 外接圆的切线 所以 DCB A 由题设知 故 CDB AEF 所 以 DBC EFA 因为 B E F C 四点共圆 所以 CFE DBC 故 EFA CFE 90 所以 CBA 90 因此 CA 是 ABC 外接圆的直径 2 连结 CE 因为 CBE 90 所以过 B E F C 四点的圆的直径为 CE 由 DB BE 有 CE DC 又 BC2 DB BA 2