不等式的证明方法总结

1 不等式的证明方法总结不等式的证明方法总结 西安高新三中 张霁 一 比较法 作差比较 作商比较 例 1 已知 x y x2 y2 x y 证明 x2 y2 x y x2 y2 x y x y x2 y2 x y 2 2xy x y 0 x2 y2 x y x2 y2 x y 例 2 已知 a b c 求证 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 证明 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a2 b c a c2 b2 bc b c b c a2 ac ab bc b c a a c b a c a b a c b c 0 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 例 3 已知 a b 0 a b 求证 aabb abba 证明 baabba ab ba b a ba ba ba 当 a b 0 时 a b 0 上式 1 1 b a 当 b a 0 时 a b 0 01 1 b a aabb abba 注意 作差法 比较差与 0 的大小 作商法 比较商与 1 的大小 二 综合法 例 4 已知 a b c 0 求证 cba c ab b ca a bc 证明 c2 b ca a bc 2 b ca a bc 同理 a2 c ab b ca b2 a bc c ab cba 2 c ab b ca a bc 2 即 cba c ab b ca a bc 例 5 已知 a b c 0 a b c 1 求证 8 1 c 1 1 b 1 1 a 1 2 证明 1 c 1 1 b 1 1 a 1 c c1 b b1 a a1 c ba b ca a cb c ab2 b ac2 a bc2 8 三 分析法 例 6 已知 a 3 求证 3a2a1aa 证明 要证原式 只需证 2a1a3aa 即证 22 2a1a 3aa 即证 2a 1a 23a2 3a a23a2 即证 2a 1a 3a a 即证 a2 3a a2 3a 2 即证 0 2 因为上式成立 所以原式也成立 四 换元法 例 7 已知 0 x0 求证 2 22 ba x1 b x a 证明 方法一 令 x sin2 则 1 x cos2 x1 b x a 22 a2csc2 b2sec2 a2 1 cot2 b2 1 tan2 a2 b2 a2cot2 b2tan2 a2 b2 2acot btan a b 2 方法二 2 22 22 2222 1 1 1 1 1 ba x xb x xa baxx x b x a x b x a 五 放缩法 例 8 已知 a b c d 0 求证 2 cad d bdc c acb b dba a 1 证明 cad d bdc c acb b dba a 3 1 bcad d abdc c dacb b cdba a cad d bdc c acb b dba a nn2211 1 2 n 2 1n n 1n n3221 0 求证 y1 y x1 x yx1 yx 练 2 求证 n2 n 1 3 1 2 1 1n 练 3 求证 2 n 1 3 1 2 1 1 222 六 反证法 例 10 已知 p3 q3 2 求证 p q 2 证明 假设 p q 2 则 p q 3 23 即 p3 3p2q 3pq2 q3 8 即 p2q pq2 2 即 p2q pq2 p3 q3 即 pq p q p q p2 pq q2 即 pq p2 pq q2 即 p2 q22pq 矛盾 所以 p q 2 例 11 已知 f x x2 px q 求证 4 f 3 f 1 2f 2 2 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 0 5 证明 f 3 f 1 2f 2 9 3p q 1 p q 2 4 2p q 2 假设 f 1 f 2 f 3 0 5 则 f 1 2 f 2 f 3 f 1 2f 2 f 3 2 矛盾 所以 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 0 5 七 判别式法 例 12 已知 a b c d R 求证 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 证明 当 a b 0 时 上式显然成立 当 a b 不全为 0 时 因为关于 x 的不等式 ax c 2 bx d 2 0 恒成立 即 a2 b2 x2 2 ac bd x c2 d2 0 恒成立 由 0 即得 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 综上所述 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 八 构造向量 例 13 已知 a b c d R 求证 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 证明 设向量 a b c d xy yxyx ac bd 2222 dcba 平方即得 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 九 构造函数 例 14 已知 ABC 的三边长是 a b c 且 m 0 求证 mc c mb b ma a 证明 令函数 f x 0 x mx x 由 f x 知 f x 在 0 上是增函数 mx m 1 mx mmx a b c f a b f c mc c c f ba f mba ba mba b mba a mb b ma a 得证 例 15