35. 四边形专项训练（二）

第四章第四章 四边形专项训练 二 四边形专项训练 二 例题精选例题精选 例题例题 1 已知一个多边形 它的内角和等于外角和的 3 倍 求这个多边形的 边数和对角线的条数 分析 分析 把 边形内角和 看作是含有两个未知数 边数和 nn 2180 内角和 的方程 就可以 知一求一 即不但已知边数可以求内角和 而且已 知内角和可以求边数 本题需求边数 但内角和也是未知 但可知多边形的外 角和是不变量 所以通过已知条件 内角和是外角和的 3 倍 可以把内角和转 化为已知 这样就可以通过列方程解出边数 进而利用 n 边形的对角线条数为 求出对角线条数 n n 3 2 解 解 设多边形的边数为 n 根据题意 得 n 21803360 解得n 8 又 n n n 边形的对角线条数 3 2 对角线条数 n n 3 2 883 2 20 对角线条数 n n 3 2 883 2 20 答 这个多边形的边数是 8 对角线的条数是 20 例例 2 已知 如图 6 是等腰直角三角形 ABC 是等边三角形 若 求四边ABBC ADCAC 5 2 形 ABCD 的四个内角的度数和周长 解解 是等腰直角三角形 ABCABBC BACBCA45 是等边三角形 ADC ADDCAC5 2 CADACDD60 DABBBCDD1059010560 在中 设则Rt ABCABxBCxAC 5 2 根据勾股定理ACABBC 222 即 5 2 5 222 xx x 即 ABBC 5 周长为 长度单位 1010 2 答 四边形的四个内角度数为 DABBBCD10590105 D 周长为 长度单位 60 1010 2 小结 小结 通过本例说明对角线在四边形中的作用 要充分利用特殊三角形的 特殊性质 此外 在计算出四边形各内角的度数后 要用四边形的内角和等于 去检验计算结果是否正确 360 例例 3 求证 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等 已知 如图 7 ABCD 对角线 AC BD 交于点 O 于AE BD E 于 CF BD F 求证 AECF 证明 证明 已知是平行四边形ABCD 平行四边形对角线 OAOC 互相平分 已知 AE BDCF BD AEOCFO AOECOF AEOCFO AAS AECF 90 又 想一想 想一想 图中以 AE 和 CF 为对应边的三角形不止和一组 能 AEO CFO 否通过证明别的三角形全等 同样得出 AE CF 证明它们全等又用到了平行 四边形的哪些性质 例例 4 已知 如图 8 中 ABC 12 BEMFEFAB 求证 AFBM 分析 分析 由已知显然四边形 BEFM 为平行四边形 故BEMFEFAB BM EF 即只需证 AF EF AF 和 EF 在同一个三角形中 因此再考虑用等腰 三角形的判定 等角对等边问题就可以得到解决 证明 证明 BEMF EFAB 由平行四边形定义知四边形 BEFM 为平行 四边形 BM EF 平行四边形的对边相等 EFAB 两直线平行 内错角相等 1FEA 由 12 等量代换 2FEA 等角对等边 AFEF 等量代换 AFBM 例例 5 已知 如图 9 ABCD 中 于AE BC E 于 AF CD F AE 4 3 AF 5 318 ABBC 求 1 S ABCD 2 B C 的度数 解 解 1 平行四边形对边相等 ABCD BCCD18 设 则BCx CDx 18 又 S ABCD BC AE CD AF BCAECDAF 即4 35 3 18xx 得x 10 ADBCABCD108 S ABCD BCAE104 340 3 2 在 Rt ABEABAE 中 84 3 根据勾股定理 BEABAE 222 BE64484 即 在Rt ABEBEAB 中 1 2 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 BAE30 那么这条直角边所对的角等于 30 BC60120 小结 小结 本题为综合性较强的题目 要正确地解出它 只有平行四边形的知 识是不够了 还需要用到其它知识 如直角三角形 而且还用到了代数的方法 利用平行四边形面积的不同表示方法找到等量关系 列方程以及根据勾股定理 求直角三角形的三边确定角的度数 可见 数形结合 在解题中是非常重要 的 专项训练专项训练 一 填空 一 填空 1 若一个多边形的内角和等于 那么这个多边形是 过它的一个顶1080 点可以作 条对角线 2 若一个多边形的内角和等于外角和 则它是 3 若一个多边形的每一个外角都等于与之相邻的内角的 2 倍 那么它是 形 4 在四边形 ABCD 中 相对的两个内角互补 且满足 则 ABC 234 A B C D 5 若平行四边形的周长为 150cm 相邻两边的长度比为 3 2 则它的四边长 分别为 6 若一平行四边形的一个角比它相邻的角大 则这个平行四边形的最大的27 内角为 7 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于 O 点若 AC 20cm BD 30cm AD 24cm 的周长为 OBC 8 平行四边形 ABCD 中 AC 是对角线 且 AC BC 若 ACB 则这个40 平行四边形的四个内角的度数分别为 9 若平行四边形的周长为 40cm 相邻两边的长度比为 3 2 则它的四边长分 别为 10 四边形 ABCD 中 的外角为 则 ABCD 若72 A 11 已知平行四边形的一个角比另一个角大 则这个平行四边形的各内42 22 角度数为 12 已知 平行四边形 ABCD 对角线 AC 2 BD 6 BAC 则平行四边形的周90 长为 13 如图 10 ABCD 中 的延长线于 E 的延长线于 F AE CB AF CD 则这个平行四边形的各内角度数为 EAF130 二 选择 二 选择 1 从 n 边形的一个顶点作对角线 可把这个 n 边形分成三角形的个数是 n 3 A nB C D n 1n 2n 3 2 一个多边形的内角中 锐角最多有 A 2 个B 3 个C 4 个D 无数个 3 一个多边形除了一个内角外 其余各内角的和为 则这个内角是2750 A B C D 105 120 130 140 4 一个多边形的一个内角的外角度数与其余各内角的度数的总和为 则800 边数一定是 A 5 或 6B 6 或 7C 7 或 8D 以上都不 对 三 三 已知 如图 11 ABCD 中 过对角线 BD 的中 点 O 引直线 EF 分别交 CB AD 的延长线于 E F 求证 FO OE 四 四 已知 如图 12 ABCD 中 垂足分别为 E F AE BC AF CD 160 BEcmDFcm 23 求 各内角的度数与各边的长 五 五 已知 如图 13 ABCD 都是等边三角形 BCECDF 求证 是等边三角形 AEF 答案答案 一 填空 一 填空 1 八边形 5 2 四边形 3 等边三角形 4 5 45cm 30cm 45cm 30cm 60 90 120 90 6 7 49cm 1035 8 9 12cm 8cm 12cm 8cm 70 110 70 110 10 11 84 111 11 68 49 111 11 68 49 12 设对角线 AC BD 交点为 O 如图 14 则 AO 1 BO 3 在和中 根据勾股定Rt AOB Rt ABC 理解得 AB 周长为2 22 3 BC 4 24 3 13 BADABCCCDA5013050130 二 选择 二 选择 1 C 2 B 因为多边形外角和等于 即外角的钝角个数 3 所以多边形最多360 有 3 个内角是锐角 3 C 因为多边形内角和一定是的倍数 只有是180的倍数 180 4 B 解法一 解法一 用验证法 当 n 5 时 内角和而 3180540 所以不成立 当 n 6 时 内角和 而800540180 4180720 所以成立 当 n 7 时 内角和而800720180 5180900 所以成立 当 n 8 时 而 900800180 61801080 1080800180 所以不成立 故选 B 解法二 解法二 设边数为 n 若此内角为 x 则其外角为 根据题意得180 x nxx 2180180800 nx2 1806202 nx2 90310 而 310 x 是的倍数 当时 90 x150 x2140 x 50 n 290 310 当时 故选 B 50 n6 x 140 n 290310140 n7 三 三 证明 ODFOBE