《三角函数的图像和性质》学案1（苏教版必修4）

第四章第四章 三角函数三角函数 三三 三角函数的图像和性质三角函数的图像和性质 考点阐述 正弦函数 余弦函数的图像和性质 周期函数 函数 y Asin x 的图像 正切函数的图 像和性质 已知三角函数值求角 考试要求 5 理解正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 会用 五点法 画正弦函数 余 弦函数和函数 y Asin x 的简图 理解 A 的物理意义 6 会由已知三角函数值求角 并会用符号 arcsinx arccosx arctanx 表示 考题分类 一 选择题 共 一 选择题 共 2121 题 题 1 1 安徽卷文 安徽卷文 8 8 函数图像的对称轴方程可能是 sin 2 3 yx A B C D 6 x 12 x 6 x 12 x 解 的对称轴方程为 即 sin 2 3 yx 2 32 xk 212 k x 0 12 kx 2 2 广东卷文 广东卷文 5 5 已知函数 则是 2 1 cos2 sin f xxx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的奇函数 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数 2 解析 选 D 2222 11 cos4 1cos2 sin2cossinsin 2 24 x f xxxxxx 3 3 海南宁夏卷理 海南宁夏卷理 1 1 已知函数 y 2sin x 0 在区间 0 2 的 图像如下 那么 A 1B 2C 1 2D 1 3 解 由图象知函数的周期 所以T 2 4 4 海南宁夏卷文 海南宁夏卷文 11 11 函数的最小值和最大 cos22sinf xxx 值分别为 A 3 1B 2 2C 3 D 2 3 2 3 2 标准答案 试题解析 2 2 13 1 2sin2sin2 sin 22 f xxxx 当时 当时 故选 1 sin 2 x max 3 2 fx sin1x min 3fx 高考考点高考考点 三角函数值域及二次函数值域 易错点易错点 忽视正弦函数的范围而出错 全品备考提示全品备考提示 高考对三角函数的考查一直以中档题为主 只要认真运算即可 5 5 湖南卷理 湖南卷理 6 6 函数在区间上的最大值是 2 sin3sincosf xxxx 4 2 A 1 B C D 1 13 2 3 2 3 答案 C 解析 由 1 cos231 sin2sin 2 2226 x f xxx 故选 C 5 2 42366 xx max 13 1 22 f x 6 6 江西卷理 江西卷理 6 6 文文 10 10 函数在区间内的图象是 tansintansinyxxxx 3 22 解析 D 函数 2tan tansin tansintansin 2sin tansin xxx yxxxx xxx 当时 当时 7 7 江西卷文 江西卷文 6 6 函数是 sin sin2sin 2 x f x x x A 以为周期的偶函数 B 以为周期的奇函数4 2 C 以为周期的偶函数 D 以为周期的奇函数2 4 解析 A sin sin 2sin 2 x fxf x x x 4 2 fxf xfx 8 8 全国 全国 卷理卷理 8 8 为得到函数的图像 只需将函数的图像 cos 2 3 yx sin2yx A 向左平移个长度单位 B 向右平移个长度单位 5 12 5 12 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 解析 A 只需将函数 55 cos 2sin 2sin2 3612 yxxx xo3 2 2 y A 2 x B o 3 2 2 y 2 2 xo 3 2 2 y C xo 3 2 2 y D 2 的图像向左平移个单位得到函数的图像 sin2yx 5 12 cos 2 3 yx 9 9 全国 全国 卷文卷文 6 6 是 2 sincos 1yxx A 最小正周期为的偶函数 B 最小正周期为的奇函数2 2 C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的奇函数 sinxcosx 2sinxcosx 2 y 1sin2x1 sin2xTD 2 解析 本题主要考查了三角函数的化简 主要应用了与的关系 同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期 为奇函数 答案为 10 10 全国 全国 卷文卷文 9 9 为得到函数的图象 只需将函数的图像 cos 3 yx sinyx A 向左平移个长度单位 B 向右平移个长度单位 6 6 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 5 y cos x sin x sin x 3236 5 ysinxC 6 解析 本题主要考查了三角函数的图象变换及互余转化公式 可由 向左平移得到 答案为 11 11 全国 全国 卷理卷理 8 8 若动直线与函数和的图像分别交于xa sinf xx cosg xx 两点 则的最大值为 MN MN A 1 B C D 223 答案答案 B 解析解析 在同一坐标系中作出及在的图象 由图象知 xxfsin 1 xxgcos 1 2 0 当 即时 得 4 3 x 4 3 a 2 2 1 y 2 2 2 y2 21 yyMN 高考考点高考考点 三角函数的图象 两点间的距离 备考提示备考提示 函数图象问题是一个常考常新的问题 12 12 全国 全国 卷文卷文 10 10 函数的最大值为 xxxfcossin A 1 B C D 223 答案答案 B 解析解析 所以最大值是 4 sin 2cossin xxxxf2 高考考点高考考点 三角函数中化为一个角的三角函数问题 备考提示备考提示 三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题 13 13 四川卷理 四川卷理 10 10 设 其中 则是偶函数的充要条件是 sinf xx 0 f x 01f 00f 01f 00f 解 是偶函数 sinf xx 由函数图象特征可知必是的极值点 sinf xx 0 x f x 故选 D 00f 点评 此题重点考察正弦型函数的图象特征 函数的奇偶性 函数的极值点与函数导数 的关系 突破 画出函数图象草图 数形结合 利用图象的对称性以及偶函数图象关于轴对称y 的要求 分析出必是的极值点 从而 0 x f x 00f 14 14 天津卷理 天津卷理 3 3 设函数 则是 Rxxxf 2 2sin xf A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数 2 2 解析 是周期为的偶函数 选 B cos2f xx 15 15 天津卷理 天津卷理 9 9 已知函数是 R 上的偶函数 且在区间上是增函数 令 xf 0 则 7 5 tan 7 5 cos 7 2 sin fcfbfa A B C D cab abc acb cba 解析 5 cos c 2 os 77 bff 5 tan t 2 an 77 cff 因为 所以 所以 选 A 2 472 22 0cossin1tan 777 2 bac 16 16 天津卷文 天津卷文 6 6 把函数sin yx x R的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度 再 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到的图象所表示的函数 是 A sin 2 3 yxx R B sin 26 x yx R C sin 2 3 yxx R D sin 2 3 yxx R 解析 选 C 1 32 sinsin sin 2 33 yxyxyx 向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍 17 17 天津卷文 天津卷文 9 9 设 5 sin 7 a 2 cos 7 b 2 tan 7 c 则 A abc B acb C bca D bac 解析 因为 所以 选 D 2 sin 7 a 2 472 22 0cossin1tan 777 2 18 18 浙江卷理 浙江卷理 5 5 文文 7 7 在同一平面直角坐标系中 函数的图象 20 2 3 2 cos x x y 和直线的交点个数是 2 1 y A 0 B 1 C 2 D 4 解析 本小题主要考查三角函数图像的性质问题 原函数可化为 20 2 3 2 cos x x y 作出原函数图像 sin 0 2 2 x x 截取部分 其与直线 2 1 y的交点个数是 2 个 0 2 x 19 19 浙江卷文 浙江卷文 2 2 函数 2 sincos 1yxx 的最小正周期是 A 2 B C 3 2 D 2 解析 本小题主要考查正弦函数周期的求解 原函数可化为 故其周期为sin22yx 2 2 T 20 20 重庆卷理 重庆卷理 10 10 函数f x 的值域是 sin1 32cos2sin x xx 02x A B 1 0 C D 2 0 2 2 03 0 解 特殊值法 则f x 淘汰 A sin0 cos1xx 0 1 1 32 1 2 0 令得当时时所以矛 sin1 2 32cos2sin x xx 2 6 sin1 cos 4 x x sin1x 3 cos 2 x 盾淘汰 C D f x 2 21 21 重庆卷文 重庆卷文 12 12 函数 f x 0 x 2 的值域是 sin 54cos x x A B C D 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 答案 C 解析 本小题主要考查函数值域的求法 令 则54cos 13 xtt 当时 22 2 16 5 sin 16 t x 0 x 2242 16 5 109 sin 164 ttt x 当且仅当 22 42 22 99 10210 sin1091 444254cos tt xtt tt f x tx 时取等号 同理可得当时 综上可知的值域为3t 2x 1 2 f x f x 故选 C 1 1 2 2 二 填空题 共 二 填空题 共 8 8 题 题 1 1 广东卷理 广东卷理 12 12 已知函数 则的最小正周期 sincos sinf xxxx x R f x 是 解析 此时可得函数的最小正周期 2 1 cos21 sinsin cossin2 22 x f xxxxx 2 2 T 2 2 江苏卷 江苏卷 1 1 的最小正周期为 其中 则 cos 6 f xwx 5 0w w 解析 本小题考查三角函数的周期公式 答案 10 2 10 5 T 3 3 辽宁卷理 辽宁卷理 16 16 已知 且在区间 sin 0 363 f xxff f x 有最小值 无最大值 则 6 3 解析 本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性 依题 且在区间有最小值 无最大值 区 sin 0 363 f xxff f x 6 3 间为的一个半周期的子区间 且知的图像关于对称 6 3 f x f x 63 24 x 取得答案 3 2 432 kkZ 0K 14 3 14 3 4 4 辽宁卷文 辽宁卷文 16 16 设 则函数的最小值为 0 2 x 2 2sin1 sin2 x y x 解析 本小题主要考查三角函数的最值问题 2 2sin12cos2 sin2sin2 xx yk xx 取的左半圆 作图 略 易知 0 2 A 22 sin2 cos2 1Bxxxy 答案 min tan603 k 3 5 5 上海卷理 上海卷理 6 6 函数f x sin x sin x 的最大值是 3 2 答案 2 解析 由 max 3sincos2sin 2 6 f xxxxf x 6 6 上海春卷 上海春卷 4 4 方程在区间内的解是 2cos1 4 x 0 解析 解析 原方程就是 所以 1 cos 42 x 7 2 22 431212 xkxkxk 或 故在区间内的解是 0 7 12 x 7 四川延考理 四川延考理 15 15 已知函数 在单调增加 在 sin 6 f xx 0 4 0 3 单调减少 则 4 2 3 解 由题意 44 sin 1 336 f 431 2 36222 kkkZ 又 令得 如 则 与已知矛盾 0 0k 1 2 0k 2 T 8 四川延考文 四川延考文 14 14 函数的最大值是 2 3sincosf xxx 解 因为 正好3sin3x 2 cos0 x 2 3sincos3f xxx 时取等号 另sin1 cos0 xx 在时取最大值 222 37 3sincossin3sin1 sin 24 f xxxxxx sin1x 三 解答题 共 三 解答题 共 1616 题 题 1 1 安徽卷理 安徽卷理 17 17 文文 17 17 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 f x 求函数在区间上的值域 f x 12 2 解 解 1 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 13 cos2sin2 sincos sincos 22 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 13 cos2sin2cos2 22 xxx sin 2 6 x 2 T 2 周周 由2 6223 k xkkZxkZ 周 函数图象的对称轴方程为 3 xkkZ 2 5 2 12 2636 xx 因为在区间上单调递增 在区间上单调递减 sin 2 6 f xx 12 3 3 2 所以 当时 取最大值 1 3 x f x 又 当时 取最小值 31 12222 ff 12 x f x 3 2 所以 函数 在区间上的值域为 f x 12 2 3 1 2 2 2 北京卷理 北京卷理 15 15 文文 15 15 已知函数 的最小 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 正周期为 求的值 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 解 1 cos23 sin2 22 x f xx 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 62 x 因为函数的最小正周期为 且 f x 0 所以 解得 2 2 1 由 得 1 sin 2 62 f xx 因为 所以 所以 2 0 3 x 7 2 666 x 1 sin 21 26 x 因此 即的取值范围为 13 0sin 2 622 x f x 3 0 2 3 3 广东卷理 广东卷理 16 16 文文 16 16 已知函数 的最大值是 sin 0 0 f xAxA x R 1 其图像经过点 1 3 2 M 1 求的解析式 f x 2 已知 且 求的值 0 2 3 5 f 12 13 f f 解析 1 依题意有 则 将点代入得 1A sin f xx 1 3 2 M 1 sin 32 而 故 0 5 36 2 sin cos 2 f xxx 2 依题意有 而 312 cos cos 513 0 2 22 34125 sin1 sin1 551313 3124556 cos coscossinsin 51351365 f 4 4 湖北卷理 湖北卷理 16 16 已知函数 117 cos sin sin cos 112 t f tg xx fxx fx x t 将函数化简成 的形式 g xsin AxB 0A 0 0 2 求函数的值域 g x 解 本小题主要考查函数的定义域 值域和三角函数的性质等基本知识 考查三角恒等变换 代数式的化简变形和运算能力 满分 12 分 解 1 sin1 cos cossin 1 sin1 cos xx g xxx xx AA 22 22 1 sin 1 cos cossin cossin xx xx xx AA 1 sin1 cos cossin cossin xx xx xx AA 17 coscos sinsin 12 xxxxx 1 sin1 cos cossin cossin xx g xxx xx AA sincos2xx 2sin2 4 x 由得 17 12 x 周周 55 443 x 周 在上为减函数 在上为增函数 sint 53 42 35 23 又 当 5535 sinsin sinsin sin 34244 x 周周 17 2 x 即 2 1sin 222sin 23 424 xx 周周周周 故 g x 的值域为 22 3 5 5 湖北卷文 湖北卷文 16 16 已知函数 2 sincoscos2 222 xxx f x 将函数化简成的形式 并指出 f xsin 0 0 0 2 AxB A 的周期 f x 求函数上的最大值和最小值 17 12 f x 在 解 11 cos1323 sin2 sincos sin 2222242 x f xxxxx 故的周期为 k Z 且 k 0 f x2k 由 x 得 因为 f x 在 上 12 17 3 5 44 5 x 2 3 4 sin 2 2 x 4 5 是减函数 在 上是增函数 12 17 4 5 故当 x 时 f x 有最小值 而 f 2 f 2 4 5 2 23 12 17 4 66 所以当 x 时 f x 有最大值 2 6 6 湖南卷文 湖南卷文 17 17 已知函数 x xx xfsin 2 sin 2 cos 22 I 求函数的最小正周期 xf II 当且时 求的值 4 0 0 x 5 24 0 xf 6 0 xf 解 由题设有 cossinf xxx 2sin 4 x I 函数的最小正周期是 f x2 T II 由得即 5 24 0 xf 0 4 2 2sin 45 x 0 4 sin 45 x 因为 所以 4 0 0 x 0 44 2 x 从而 22 00 43 cos 1 sin 1 4455 xx 于是 6 0 xf 00 2sin 2sin 4646 xx 00 2 sin coscos sin 4646 xx 43314 63 2 2 525210 7 7 江苏卷 江苏卷 15 15 如图 在平面直角坐标系中 以轴为始xoyox 边做两个锐角 它们的终边分别与单位圆相交于 A B 两点 已知 A B 的横坐标分别为 2 2 5 105 1 求的值 tan 2 求的值 2 试题解析试题解析 先由已知条件得先由已知条件得 第 第 1 问求的值 运 22 5 cos cos 105 tan 用正切的和角公式 第 2 问求的值 先求出的值 再根据范围确定的值 再根据范围确定2 tan 2 角的值 角的值 标准答案标准答案 1 由已知条件即三角函数的定义可知 22 5 cos cos 105 因故 从而 为锐角 sin0 2 7 2 sin1 cos 10 同理可得 因此 2 5 sin1 cos 5 1 tan7 tan 2 所以 tan 1 7 tantan 2 3 1 1tantan 1 7 2 A 2 1 3 2 tan 2 tan 1 1 1 3 2 3 0 0 02 222 又故 从而由 得 tan 2 1 3 2 4 8 8 江西卷文 江西卷文 17 17 已知 1 tan 3 5 cos 5 0 1 求的值 tan 2 求函数的最大值 2sin cos f xxx 解 1 由得 5 cos 5 0 tan2 2 5 sin 5 于是 tan 1 2 tantan 3 1 2 1tantan 1 3 2 因为所以 1 tan 0 3 13 sin cos 1010 3 5552 5 sincoscossin 5555 f xxxxx 的最大值为 5sin x f x5 9 9 山东卷理 山东卷理 17 17 已知函数 f x 为偶函数 0 0 cos sin 3 xx 且函数 y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 求 f 的值 8 将函数 y f x 的图象向右平移个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到 6 原来的 4 倍 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求 g x 的单调递减区间 解 3sin cos f xxx 31 2sin cos 22 xx 2sin 6 x 因为为偶函数 所以对 恒成立 f xx R fxf x 因此 sin sin 66 xx 即 sincoscossinsincoscossin 6666 xxxx 整理得 sincos0 6 x 因为 且 所以 0 x R cos0 6 又因为 故 所以 0 62 2sin2cos 2 f xxx 由题意得 所以 故 2 2 2 A2 2cos2f xx 因此 2cos2 84 f 将的图象向右平移个单位后 得到的图象 再将所得图象横坐标 f x 6 6 fx 伸长到原来的 4 倍 纵坐标不变 得到的图象 46 x f 所以 2cos 22cos 464623 xxx g xf 当 2 2 23 x kk k Z 即 时 单调递减 2 8 4 4 33 kxk k Z g x 因此的单调递减区间为 g x 2 8 4 4 33 kk k Z 10 10 山东卷文 山东卷文 17 17 已知函数 为 3sin cos f xxx 0 0 偶函数 且函数图象的两相邻对称轴间的距离为 yf x 2 求的值 8 f 将函数的图象向右平移个单位后 得到函数的图象 求的 yf x 6 yg x g x 单调递减区间 解 3sin cos f xxx 31 2sin cos 22 xx 2sin 6 x 因为为偶函数 所以对 恒成立 f xx R fxf x 因此 sin sin 66 xx 即 sincoscossinsincoscossin 6666 xxxx 整理得 因为 且 所以 sincos0 6 x 0 x R cos0 6 又因为 故 所以 0 62 2sin2cos 2 f xxx 由题意得 所以 故 因此 2 2 2 A2 2cos2f xx 2cos2 84 f 将的图象向右平移个单位后 得到的图象 f x 6 6 fx 所以 2cos 22cos 2 663 g xfxxx 当 2 22 3 kxk k Z 即 时 单调递减 2 63 kxk k Z g x 因此的单调递减区间为 g x 2 63 kk k Z 11 11 陕西卷理 陕西卷理 17 17 已知函数 2 2sincos2 3sin3 444 xxx f x 求函数的最小正周期及最值 f x 令 判断函数的奇偶性 并说明理由 3 g xfx g x 解 2 sin3 12sin 24 xx f x sin3cos 22 xx 2sin 23 x 的最小正周期 f x 2 4 1 2 T 当时 取得最小值 当时 取得最大值 2 sin1 23 x f x2 sin1 23 x f x 由 知 又 2sin 23 x f x 3 g xfx 1 2sin 233 g xx 2sin 22 x 2cos 2 x 2cos2cos 22 xx gxg x 函数是偶函数 g x 12 12 陕西卷文 陕西卷文 17 17 已知函数 2sincos3cos 442 xxx f x 求函数的最小正周期及最值 f x 令 判断函数的奇偶性 并说明理由 3 g xfx g x 解 f x sin3cos 22 xx 2sin 23 x 的最小正周期 f x 2 4 1 2 T 当时 取得最小值 当时 取得最大值 2 sin1 23 x f x2 sin1 23 x f x 由 知 又 2sin 23 x f x 3 g xfx 1 2sin 233 g xx 2sin 22 x 2cos 2 x 函数是偶函数 2cos2cos 22 xx gxg x g x 13 13 上海卷文 上海卷文 18 18 已知函数 f x sin2x g x cos 2x 直线 x t t R 与函数 f x 6 g x 的图像分别交于 M N 两点 当 t 时 求 MN 的值 4 求 MN 在 t 0 时的最大值 2 解 1 2 分sin 2cos 2 446 MN 5 分 23 1