不等式专题讨论I

1 不等式专题讨论 I 下面介绍几个常见的不等式 大家从中学习一下证明不等式的方法 1 伯努利 Bernouli 不等式 设 则有1 2hnNn 1 1 n hnh 其中等号当且仅当时成立 0h 证 证法一 当时显然等号成立 现设 对 当时有0h 0h 2n 0h 2 1 1 11 2 nn n n hnhhhnh 当时有10h 21 1 1 11 1 1 1 1 nn hhhhh 21 1 1 1 1 n hhhh nh 证法二 数学归纳法 当时显然等号成立 现设 当时有0h 0h 2n 22 1 1212hhhh 假设已经证明了 1 1 1 1 n hnh 则 1 1 1 1 nn hhh 1 1 1 nhh 2 1 1 nhnh 1nh 这就证明了对一切的自然数伯努利不等号成立 2n 注 1 若 伯努利不等式两边开次方得 n h 1 n 1 1 1 nhnh 令就得nhh 1 1 1 1 n hh n 再把换回就有 h h 1 1 1 1 1 n hhh n 2 注 2 若令 就有hx 1 0 1 1 xxnx n 注 3 若 分别取或代入上面的不等式式也就得到0 ab a b x b a x 11 abnbababna nnnn 当然这些不等式都可以从二项式定理推演而来 2 平均值不等式 设为个正实数 则有 12 n a aa 2 n 12 12 n n n aaa aaa n 其中等号当且仅当当且仅当时成立 12n aaa 证 证法一 我们只需证明 当不全相等时 上式为严格不等式 12 n a aa 当时 若 显然有2n 12 aa 12 12 2 aa aa 假设对任意个正实数平均值不等式成立 我们考虑个正实数的情1n n 12 n a aa 形 不妨设是这个数中最大的一个 且至少大于其中之一 记 n an 121 1 n aaa A n 则有 121 1 121 1 n n nn aaa aAa aa n 于是 12 1 nn nn aaanAa nn n n aA A n 1 n nn aA A An 3 1 nn aA An An 1 121 n nnn Aaa aaa 即 12 12 n n n aaa aaa n 证法二 可以看出对任意个非负实数有2 12 a a 12 12 2 aa aa 那么对个非负实数有4 1234 a a a a 1 111 2 422 12341234 a a a aa aa a 1 2 3412 22 aaaa 3412 22 2 aaaa 1234 4 aaaa 由此继续下去 可以推得不等式对一切都成立 为证其对一切正整2 0 1 2 k nk 数都成立 我们采用反向归纳法 即对某个成立 则它对也成立 n 2 n 1n 设给定非负实数 令 121 n a aa 121 1 1 nn aaaa n 则有 1 1 121 121 1 n n n n aaa a aa n 121 121 1 1 n n aaa aaa nn 4 整理后得 1 1 121121 1 1 n nn a aaaaa n 即不等式对成立 从而对一切成立 等号成立的条件也易得 1 n Nn 3 柯西 Cauchy 施瓦茨 Schwarz 不等式 设为两组实数 则 1212 nn a aab bb 有 2 22 111 nnn iiii iii a bab 证 证法一 不妨设不全为零 考虑关于的二次三项式 12 n a aa 2222 1111 0 2 nnnn iiiiii iiii abaa bb 上式右边关于任何实数为非负 故其判别式 即有 0 2 22 111 240 nnn iiii iii a bab 也就有 2 22 111 nnn iiii iii a bab 注 4 这里利用的二次三项式的判别式 我们将在 线性代数 中学习到它的一般形式 即 正定二次型的判别法 其中不等式中等号成立的条件是对应成比例 即存在 11 nn nn ab 不全为零的数与使得 niba ii 2 1 0 证法二 由等式 22 2222 11 11 1 nn ii ii nn ab aabb 得到 22 2222 1 11 2 n ii i nn ab aab