一元二次方程

1 四 同 步 题 库 一 一 填空题 1 一元二次方程的一般形式是 2 若一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有且只有一个根是零 则它的 项为零 3 对下列一元二次方程 写出适当解法 1 用 法为好 4 12 2 x 2 用 法为好 36 2 xx 3 用 法为好 0152 2 xx 4 用 法为好 0632 2 xx 4 如果有解 那么 k 其解 x1 x2 kax 2 5 如果 x2 196 256 则 x 如果 x 17 18 19 则 x2 6 如果是一个完全平方式 那么 a 4 2 axx 7 若关于 x 的方程 2x2 mx m 1 0 有一个根是零 则另一个根是 8 如果 x 1 是方程的根 那么 1 2a 035 2 xax 9 已知方程 如果用 y 代换 ax b 那么就可化为关于 y0122 2 baxbax 的一元二次方程 10 若 222222 06 1 nmnmnm则 11 方程根的判别式 当 k 时 方程有两个02 2 kxx 不相等的实数根 当 k 时 方程有两个相等的实数根 当 k 时 方 程没有实数根 12 若方程的判别式 15 则 p 0 4 3 2 pxx 13 设方程的一个根为 7 则另一个根是 k 035 2 kxx 14 如果关于 x 的方程有两个相等的实数根 那么 p q 之间的 1 2 1 2 xqxp 关系是 15 如果 是方程的两个根 那么 qpxx 2 16 关于 x 的方程有两个不相等的实数根 x1 x2 且02 2 1 2 22 mxmx x2 12 则 m 的值是 1 2 2 2 1 xxx 2 17 若方程的两根互为相反数 则 m 07 10 3 2 mxmx 18 方程的两根之比为 2 3 则 m 的值是 两根分别是 05 3 2 2 mxx 19 的两根平方和是 两根差的平方是 0432 2 xx 20 已知的值是 7 则代数式的值为 53 2 xx 3 1 33 2 xx 二 选择题 21 下列方程中是一元二次方程的是 A B 23 2 yxx1 2 2 x x C D xx31 2 22 1 2 xx 22 下列各一元二次方程是一般形式的是 A B xx5106 2 01065 2 xx C D 01056 2 xx06510 2 xx 23 方程的根为 4 2 x A x1 4 x2 4 B x1 4 x2 0 C X1 0 x2 2 D x1 4 x2 0 24 若 x 1 是方程 x2 mx 3 0 的一个根 则 m 的值为 A 2 B 2 C 2 或 2 D 0 25 方程 x2 x 的根为 A 0 B 1 C 0 或 1 D 0 或 1 26 已知一元二次方程 mx2 n 0 m 0 若方程有解 则必须 A n 0 B n 0 或 m n 异号 C n 是 m 的整数倍 D m n 同号 27 下列方程中 没有实数根的方程是 A B 01 2 xx02 2 xx C D 018 2 xx0222 2 xx 28 关于 x 的方程有两个不相等的实数根 则 m 的取值范围是 014 2 xmx A m 4 B m 4 且 m 0 C m 4 且 m 0 D m0 b 0 c 2 用关于 m 的代数式表示 2 2 2 1 yy 45 已知如图 AB 是 O 直径 CD 是弦 AE CD 垂足为 E BF DC 垂足为 F 图代 12 1 13 5 1 求证 EC DF 2 若 AE a EF b BF c 求证 tg EAC 和 tg EAD 是方程的两个0 2 cbxax 根 46 已知如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 于 D 我 AC 于 E 图代 12 1 14 1 设 ABC 已知关于 x 的方程 12 0 有两个相等的 cos25cos102 2 xx 实数根 BC 8 求 AB 的长 2 若点 C 是以 A 为圆心 以 AB 为半径的半圆 BF 点 B F 除外 上的一个动点 C 设 BC t CE y 利用 1 所求得的 AB 的长 求 y 与 t 之间的函数关系式 并写出自变量 t 的取值范围 3 在 2 的基础上 当 t 为何值时 S ABC 3 4 25 47 如图 O1与 O2相交 大圆 O1的弦 AB O1O2 垂足是 F 且交 O2于点 C D 过 B 作 O2的切线 E 为切点 已知 BE DE BD m BE n AC CE 的长是关于 x 的方程 x2 px q 0 的两个根 图代 2 1 15 1 求证 AC BD 2 用含 m n 的代数式分别表示 p 和 q 3 如果关于 x 的方程有两个相等的实数根 且 DEB 3001 22 xmpmqx 求 O2的半径 6 48 已知如图 M 交 x 轴正半轴于 A x1 0 B x2 0 x1 x2 两点 交 y 轴正半轴 于 C 0 y1 D 0 y2 y1N B M 1 1 0 2 3 2 1 x x x1 x2 0 2 3 2 m 2 3 2 1 x x x1 x2 2 2 1 m x x x2 m x1 x2 x1 x2 4 53 m 2 3 4 53 2 3 22 m xx 当 x2 m 时 解得 m 5 当 x2 m 时 解得 m 1 m 5 或 m 1 解法二 同解法一得 2 3 2 1 x x 设 x1 3k x2 2k 14 x1 x2 4 53 m x1 x2 2 2 3 m 4 4 53 22 mk m k 化简 得 m2 5m 5 0 m2 6m 5 0 m 1 或 m 5 43 解 方程有两等根 b2 4 4b 0 b b 16 0 b 0 b 16 当 b 0 时 方程 y2 2 b y 4 0 即 y2 2y 4 0 2 2 4 1 4 4 16 120 但当 k 1 时 k 1 y2 3y m 0 不是一元二次方程 k 1 舍去 k 0 k 1 2 当 k 0 时 方程 化为 y2 3y m 0 方程 有两个实数根 9 4m 0 即 m 又 m 2 4 9 当 m 2 时 myyyyyy292 21 2 21 2 2 2 1 当 k 1 时 方程 化为 2y2 3y m 0 方程有两个实数根 9 8m 0 即 m 8 9 m 2 当 2 m 时 方程 无实数根 8 9 当 m 时 有 8 9 myyyyyy 4 9 2 21 2 21 2 2 2 1 45 1 证明 作 OG EF 垂足为 G 已知 AE OG BF 又 OA OB GE GF 又 GC GD GE GC GF GD 即 EC DF 图代 12 1 20 2 证明 连 AC BC 16 gt EAC EC AC tg EAD DE AE tg EAC tg EAD AE DE AE EC AE DEEC a b AE EF AE DEDF tg EAC tg EAD 2 AE DEEC AE DE AE EC 2 a EDEC AEC 与 CFB 中 E F 90 AB 为直径 ACB 90 ACE BCF 90 又 CBF BCF 90 ACE CBF AEC CFB EC BF AE CF EC CF AE BF ac EC DF 易知 CF ED EC CF EC ED EC ED ac 代入 中 tg EAC tg EAD a c a ac 2 由 可知 tg EAC 和 tg EAD 为的两根 0 2 cbxax 46 解 1 连结 AD 关于 x 的方程有两个相等的实数根 012cos25cos102 2 xx 0 即 096cos200cos100 0 12cos25 8 cos10 22 图代 12 1 21 解这个关于的方程 得 cos 17 不合题意 舍 5 6 cos 5 4 cos 或 5 4 cos AB 为 O 的直径 ADB 90 AB AC 4 DCBD BC 8 在 Rt ABD 中 ABBD cos 5 5 4 4 cos BD AB 2 连结 OD DE 切 O 于 DODE 90 OD AC DEC 90 DCDB OBOA DEC ADC 90 DEC ADC C C CD CA CE CD DCDB tBC tCD 2 1 CE y AC AB 5 2 20 1 2 1 5 2 1 ty t y t 自变量 t 的取值范围是 0 t0 连结 O2D O2E 又 DEB 30 BEO2 90 O2ED 60 O2ED 是等边三角形 O2E DE BE 2 即 O2的半径是 2 48 1 证明 延长 AM 交 M 于点 P 连结 DP 由圆内接四边形的性质定理 得 APD ACO 而 CAO 90 ACO DAM 90 APD CAO DAM 图 12 1 23 2 解 由条件知 x1 x2 p x1x2 q y1 y2 q 1 x1 y1 x2 y2 12 p q 1 12 在 M 中 由切割线定理的推论得 x1x2 y1y2 q p 1 联立 解得 p 7 q 6 3 证明 由 2 A B C D 的坐标分别为 A 1 0 B 6 0 C 0 2 D 0 3 可求得 M 的半径长为 2 2 5 过点 A 分别作 DM CM 的垂线 AE AF 垂足分别为点 E 和 F 延长 DM 交 M 于点 Q 连结 AQ 可证 ADE QDA DE AD2 DQ 20 而 252 2 5 2 1013 22222 DQOAODAD 2 2 3 2 25 10 DEDMEMDE 同理可得 2 2 25 5 CF 2 23 22 CDACFA EM FA AEM MFA 49 1 证明 如图 PB 切 O 于 B PF 平分 APB PBD A APE BPD PBD PAE PB PA BD AEPA BD PB AE 图代 12 1 24 2 证明 如图 BED A EPA BDE PBD BPD 又 PBD A EPA BPD BED BDE BE BD AE BD 的长是一元二次方程的两根 k 为常数 032 2 kxx AE BD k AE BD AE BE AB k 即 O 的直径为常数 k 3 PB 切 O 于 B 点 AB 为直径 PBA 90 A 60 21 PAPAPB 2 3 60sin 又 PA BD PB AE AEBD 2 3 AE BD 的长是一元二次方程的两根 k 为常数 032 2 kxx AE BD 32 由 解得 AE 2 BD 3 AB 2 3 在 Rt PBA 中 PB AB 3233 32 60 tg 在 Rt PBE 中 tg BPF 32 323 3 PB BE FPA BPF tg FPA 2 3 50 解 令直角三角形的两直角边的长为 a b 依题意得 2 3 25 22 kab kba ba abbaba2 222 25 2 2 3 2 kk 0208 2 kk 2 10 21 kk k 2 不合题意 舍去 k 10 同步题库 二 一 填空题 1 x x1 x x2 a x x1 x x2 2 3 x 3y 2 71 2 71 2xx x 2y 22 1 4 5 16 cm2 6 42 x 1 0 8 x 1 1 1 42 x 42 1 1 62 7 8 1 或 5 9 5 4 5 1 5 2 x 2 2 babaa 10 11 10 点分 12 a 1 x 2 13 35 12 xyxy 11 6 544 1 20 x 14 10a a 3 a 3 2 2 或 10 b 3 b b2 2 15 5 米 4 米 二 选择题 16 B 17 B 18 C 19 B 20 A 21 B 22 A 23 C 24 D 25 C 26 C 27 D 28 A 29 D 30 B 三 在实数范围内分解因式 31 153 2 xx 解 令 0153 2 xx 32 134 5 5 2 x 6 135 x 6 135 6 135 21 xx 6 135 6 135 3153 2 xxxx 32 22 272yxyx 解 方程的根是0272 22 yxyx 22 2 24 7 7 22 yyy x 4 657 4 16497 22 yy yyy yxyx 4 657 4 657 21 23 4 657 4 657 2272 22 yxyxyxyx 33 1253 2 mxx 解 令 01253 2 mxx 则 12 34 5 2 m 427 12 1225 m m 1 当 27 4m 0 即 m 时 能在实数范围内因式分解 4 27 1253 2 mxx 2 当 27 4m时 不能在实数范围内因式分解 4 27 1253 2 mxx 34 24 14 xx 解 14 14 14 2224 xxxxxx 令 可得 014 2 xx32 x 32 32 14 2 xxxx 令 可得 014 2 xx52 x 52 52 14 2 xxxx 22 14 xx 52 52 32 32 xxxx 35 624 2 xx 解 方程的根是0624 2 xx 2 614 24 24 2 x 222 2 2224 2 23 21 xx 24 624 2 xx 2 23 xx 四 应用题 36 解 设一年定期存款的年利率为 x 得 2 000 1 x 1 000 1 x 1 155 1 000 2 000 x 1 x 1 155 1 000 20 x 10 x 0 2x2 1 155 0 2x2 30 x 155 0 x2 150 x 775 0 x 5 x 155 0 X1 5 x2 155 舍去 一年定期存款的年利率为 5 37 解 设每件商品售 x 元 才能使商店赚 400 元 依题意 得 400 10350 21 xx 077556 2 xx