杨辉三角教案

1 杨辉三角杨辉三角 知识要点 数列与数表问题常用的思考方法有 1 观察 观察是解决数列数表问题的根本前提 许多数列数表问题首先是找规律问题 这 需要观察出突破口 2 对应 找准数列的项与其项数及位置的对应关系 必要时要用代数式表示出来 3 周期性 许多数列数表问题是周期问题 特别是某些求某数在第几行第几列的问题 4 递推关系 即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系 5 整体与动态分析 6 利用特殊位置 比如中间项 拐角 最大数或最小数等 7 结合奇偶分析或整除分析等 典题解析 基础过关基础过关 1 计算 1 1 2 3 4 19 20 2 1 3 5 7 27 29 3 1 4 7 10 37 40 4 2 6 10 14 46 50 2 我们知道 45 在 62和 72之间 而 2013 在 2和 2之间 请你填 入两个连续的自然数 3 请依照每一个数列的规律 填出括号内的数 1 1 2 3 4 5 7 8 2 1 3 5 7 9 11 3 2 4 6 8 10 12 14 4 1 4 7 10 13 2 5 1 4 9 16 25 6 2 5 10 17 26 7 2 4 8 16 32 8 1 1 2 3 5 8 9 1 3 6 10 15 21 10 2 6 12 20 30 42 例题例题 1 1 下面是按规律排列的杨辉三角 1 杨辉三角第 8 行第 2 个数是 2 杨辉三角第一行所有数之和为 1 第 2 行所有数之和为 2 第 3 行为 4 第 4 行为 8 那么 第 10 行的所有数之和是 第 12 行的所有数之和是 3 我们知道 110 1 111 11 112 121 113 1331 观察杨辉三角 快速写出 114 4 观察图 2 的线 你会发现左斜线的数之和等于下一行右边的数 如 1 2 3 6 照此规律 第 8 行的第 3 个数是 5 从杨辉三角的第一行数作为一个顶点 在图中任意框出一个平行四边形 如图 3 之后对比旁边从 A 到 B 的最短路线问题 图 4 你会发现最短路线的总数恰好是图 3 的最下面一个数 照此规律 你能否快速说出图 5 中从 C 点到 D 点的最短路线有多少条 3 巩固 1 下列数表中给出的杨辉三角就是有名的杨辉三角 1 请你补充杨辉三角的第 7 行 2 杨辉三角第 8 行有 个数 前 8 行有 个数 3 杨辉三角的第 9 行第 3 个数 从左到右数 是 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 例例 2 2 下图是按规律排列的三角形数表 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 在方格中填上第五行的各个数 4 2 求第 10 行各数的和 巩固 2 如图所示的三角形数表中 满足 1 第一行的数为 1 2 第 n 行首尾两数均为 n 其余的数都等于它肩上的两个数相加 则第 50 行第 2 个数 是 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 例题 3 从 1 开始的自然数按某种方式排列起来 请问 1 100 在第几行 100 是这一行左起第几个数 2 第 25 行左起第 5 个数是多少 3 前 10 行的数的和是多少 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 巩固 3 将自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 根据这个排列规则 数表 中第 20 行从左到右的第 3 个数是 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 5 31 34 37 40 43 例题 4 如图 把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来 请问 1 200 排在第几行 第几列 2 第 18 行第 22 列的数是多少 1 2 4 7 11 16 3 5 8 12 17 6 9 13 10 14 15 巩固 4 把自然数依次排成以下数阵 1 2 4 7 11 16 3 5 8 12 17 6 9 13 10 14 15 如果规定横为行 纵为列 如 8 排在第 2 行第 3 列 求 1 第 10 行第 5 列排的是哪个数 2 第 5 行第 10 列排的是哪个数 例题 5 如图的数表恰好有 19 行 5 行以后的并未画出 那么 1 共有 个数 6 2 第 19 行中间的数为 3 第 10 行所有数的和为 1 24 579 10121416 1719212325 巩固 5 把自然数从 1 开始 排列成如下的三角阵 第 1 列为 1 第 2 列为 2 3 4 第 3 列为 5 6 7 8 9 每一列比前一列多排两个数 依次排列下去 以 1 开头的行 是这个三角阵的对称轴 如图 则在以 1 开头的行中 第 10 个数是多少 5 2 6 1 3 7 4 8 9 例题 6 如图所示三角形数表叫 莱布尼茨调和三角形 有 2 1 2 1 1 1 6 1 3 1 2 1 则第 11 行第 2 个数 从左往右数 为 12 1 4 1 3 1 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 1 5 1 7 巩固 6 观察数表 发现有这样的规律 5 1 3 1 21 1 6 4 10