高中数学教学论文 解析几何复习方法略谈

用心 爱心 专心1 解析几何复习方法略谈解析几何复习方法略谈 俗话说 知己知彼 方能百战百胜 这一策略 同样可以用于高考的复习之中 对 于一年一度的高考 不仅要研究高考大纲 教学大纲和教材 还要研究历年的高考试题 使考 者与被考者的对立双方 和谐地统一起来 这样 才能使考生的潜能和创造力在高考中得 到充分发挥 并取得优异成绩 解析几何试题源于课本 有所变通 学生大多数能动手 而往往又半途而废 不是叙述不清 就是推理不严或计算不准确 得分不够理想 如何在 复习中帮助学生减少失误 确保解析几何得分 是我们每位数学教师的心愿 也是我们深 思和探讨的问题 我想从以下几个方面谈谈解析几何的复习 供各位同行参考 一 考纲要求 一 考纲要求 1 1 平面解析几何初步 平面解析几何初步 1 直线与方程 在平面直角坐标系中 结合具体图形 确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 掌握确定直线位置的几何要素 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行线间的距离 2 圆与方程 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程和一般方程 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两 圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 3 空间直角坐标系 了解空间直角坐标系 会推导空间两点间的距离公式 2 2 圆锥曲线与方程 圆锥曲线与方程 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 了解圆锥曲线的简单应用 了解数形结合的思想 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 主要变化有 主要变化有 删除了 直线 l1到l2的角 的概念以及直线与直线间的夹角的计算公式 理科降低了对双曲线的定义与性质的考查要求 只要求了解 文科降低了对双曲线 抛物线的定义与性质的考查要求 只要求了解 理科 文科对椭圆与双曲线的准线都不作要求 二 试题特点二 试题特点 用心 爱心 专心2 1 1 20102010 年高考新课标卷中平面解析几何试题情况统计 理科 年高考新课标卷中平面解析几何试题情况统计 理科 省份考查题型考查分值试卷中位置 宁夏 海南 黑龙江 吉林 选择 填空 解答题32 分 第 12 15 20 23 题 广东卷填空题 解答题24 分第 12 15 20 题 山东卷填空题 解答题16 分第 16 21 题 安徽卷选择题 解答题23 分第 5 7 19 题 陕西卷选择题 解答题18 分第 8 20 题 浙江卷选择 填空 解答题24第 8 13 21 题 福建卷填空题 解答题23 分第 2 7 17 题 北京卷填空题 解答题19 分第 13 19 题 天津卷选择 填空 解答题22 分第 5 13 20 题 辽宁卷选择题 解答题22 分第 7 9 20 题 湖南卷选择 填空 解答题26 分第 3 14 19 题 江苏卷填空题 解答题26 分第 6 9 18 题 2010 年新课标卷中高考各地的 12 套 理科数学 试卷中 出现解析几何的选择题有 7 道 填空题有 9 道 解答题 12 道 每套试卷至少都有平面解析几何的一道小题 一道综 合性较强解答题也必不可少 因此 平面解析几何可以说是必考题型 2 2 主要特点 主要特点 特点一 分值比重大特点一 分值比重大 解析几何在每份试卷中所占分值较大 2010 年海南理科卷 出现 1 道选择题 1 道填 空题 1 道解答题 1 道选做题 分值为最高为 32 分 其它省份一般也有 20 分以上 题量 一般在 3 5 题 其中一题为综合题 特点二 考小题特点二 考小题 重在于基础重在于基础 有关解析几何的小题 其考查的重点在于基础知识 其中 直线与圆 圆锥曲线等内容的 试题都突出了对解析几何基础知识的考查 如求直线方程 圆的方程 圆锥曲线的离心率 等基础知识 部分试题还渗透了极坐标和参数方程的知识 一般难度不大 基础性较强 特点三 考大题特点三 考大题 注重综合考查注重综合考查 考查平面解析几何的大题中 一般是考查圆锥曲线的大题 重点考查抛物线 双曲线 椭圆的相关内容 考查直线与圆锥曲线之间的关系 圆锥曲线之间的关系 也经常与向量 不等式等知识相结合 难度属中等偏难 主要考查学生对基本知识 基本方法 基本技能的 理解 掌握和应用情况 三 命题趋势三 命题趋势 纵观 2010 年高考全国卷和有关省市自主命题卷 关于解析几何的命题有如下几个显著特 用心 爱心 专心3 点 1 高考题型 解析几何的试题一般是选择题 填空题 解答题都会出现 2 难易程度 考查解析几何的选择题 填空题为基础题或中档题 解答题一般会综合考查 以中等偏难试题为主 3 高考热点 解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质 直线和圆锥曲线的位置关系以及轨 迹问题 仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点 坐标法使平面向量 与平面解析几何自然地联系并有机结合起来 相关交汇试题应运而生 涉及圆锥曲线参数 的取值范围问题也是命题亮点 四 热点分析四 热点分析 1 1 重视与向量的综合 重视与向量的综合 在 2010 年高考理科 12 个省市新课程卷中 有 6 个省市的解析几何大题与向量综合 主要涉及到向量的点乘积 以及用向量的点乘积求夹角 和定比分点等 因此 与向量综 合 仍是解析几何的热点问题 例 1 1 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 11 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为 两切点 那么PA PB 的最小值为 D A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 注重考查设元引辅三 角代换 以及利用均值不等式求最值 同时也考查了考生运用数学知识解题的能力及运算 能力 例 2 2 20102010 福建理 福建理 7 若点 O 和点 2 0 F 分别是双曲线 2 2 2 1 a 0 a x y 的中心和左 焦点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则OP FP 的取值范围为 B A 3 2 3 B 32 3 C 7 4 D 7 4 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二 次函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 2 2 渗透极坐标与参数方程 重视选修内容的考察渗透极坐标与参数方程 重视选修内容的考察 12 套新课标卷中有 8 套考察了直线 圆或圆锥曲线的极坐标方程与参数方程 充分体现 了极坐标和参数方程的工具性的作用 说明高考重视对圆锥曲线选修部分的考察 例 3 20102010 重庆理 重庆理 8 直线 y 3 2 3 x 与圆心为 D 的圆 33cos 13sin x y 0 2 交与 A B 两点 则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 C 用心 爱心 专心4 A 7 6 B 5 4 C 4 3 D 5 3 例 4 广东卷 15 在极坐标系 02 中 曲线2sin 与 cos1 的交点的极坐标为 3 2 4 例 5 20102010 安徽理 安徽理 7 设曲线C的参数方程为 23cos 1 3sin x y 为参数 直线l的 方程为320 xy 则曲线C上到直线l距离为 7 10 10 的点的个数为 B A 1B 2C 3D 4 3 3 考查直线与圆锥曲线的位置关系 考查直线与圆锥曲线的位置关系 在 2010 年的 12 个省市高考理科数学试题 新课程卷 中 全都 不约而同 地考查 了直线和圆锥曲线的位置关系 因此 可以猜测 在 2011 年高考试题中 解析几何的解答 题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依然会很大 例 6 2010 浙江理 21 本题满分 15 分 已知m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段GH为直径 的圆内 求实数m的取值范围 答案 直线l的方程为 2 2 20 2 xy m的 取值范围是 1 2 例 7 20102010 山东理 山东理 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该 椭圆上的点和椭圆的左 右焦点 12 F F为顶点的三角形的周长 为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设P为该双曲线上异于顶点的任一点 用心 爱心 专心5 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若存在 求 的值 若 不存在 请说明理由 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲 线的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问 题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的 能力 答案 1 22 1 84 xy 22 4xy 2 3 2 8 3 3 与数列相综合 与数列相综合 在 2010 年的高考试题中 上海 湖北 浙江解析几何大题与数列相综合 此外 2010 年的宁夏 海南 黑龙江 吉林也曾出现过此类试题 例 8 20102010 年宁夏 海南 黑龙江 吉林 年宁夏 海南 黑龙江 吉林 20 20 本小题 12 分 设 12 F F分别是椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左右焦点 过 1 F斜率为 1 的直线 与 E 相交于 A B 两点 且 22 AFABBF成等差数列 1 求 E 的离心率 2 设点 0 1 P 满足 PAPB 求 E 的方程 答案 1 2 2 e 2 22 1 189 xy 4 4 与导数相综合 与导数相综合 近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合 如 06 年广东卷 06 年的浙江卷 07 年 江苏卷 08 年陕西卷 08 年江西卷 08 年山东卷 09 年浙江卷 09 年广东卷等都分别考 查了与导数综合的解析几何问题 例 9 06 年广东卷 18 本小题满分 14 分 设函数 3 32f xxx 分别在 12 x x处 取得极大值 极小值 xOy平面上点 A B 的坐标分别为 1122 xf xxf x 该平面 上动点 P 满足 点 Q 是点 P 关于直线的对称点 求 1 点 A B 的坐标 2 动点 Q 的轨迹方程 答案 1 1 0 1 4 AB 2 1 4 B 5 5 重视应用 重视应用 在历年的高考试题中 经常出现解析几何的应用题 如 01 年的天津理科试题 03 年的 上海文理科试题 03 年全国文科旧课程卷试题 03 年的广东试题及江苏的线性规划题等 都是有关解析几何的应用题 例 10 20102010 湖南理 湖南理 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在 用心 爱心 专心6 某冰川上相距 8km 的 A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直 线为 x 轴 线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 图 6 在直线 x 2 的右侧 考察范围为到点 B 的距离不超过 6 5 5 km 区域 在直线 x 2 的左侧 考察范围为到 A B 两点 的距离之和不超过4 5km 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 6 所示 设线段 P1P2 P2P3 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界线 当冰川 融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 命题意图 本题以实际问题为背景 考查了考生运用数学知识分析问题和解决实际问题 的能力 围绕圆和圆锥曲线的有关知识进行设问 源于课本但高于课本 答案 1 22 22 12 366 5 4 24 1 2 52 55204 xy CxyxCx 2 冰川边界线移动到考察区域最短时间为 4 年 五 备考方略五 备考方略 一 复习中要充分注意课本的基础作用和示范作用 一 复习中要充分注意课本的基础作用和示范作用 高考试题年年变 但 命题应更加注重开发教材 研究教材 挖掘知识的考查价值和 功能 更充分地发挥教材的功能 支持课程教材的改革 命题的依据是 考试说明 这一 考纲 要以此为根本 弄清高考的知识点及对基础知识与能力的要求 这中间实质性的工 作就是钻研大纲和教材 综观近四年的高考数学试卷 相当数量的基本题都来源于教材 选择题与填空题一般直接来源于课本 往往是课本的原题或变式题 解答题的生长点也是 课本 往往是解析几何基础知识的加工 整合与发展 充分表现出教材的基础作用和示范 作用 所以在复习阶段应把各个知识点按照一定的规律和方法加以整理 形成知识体系 要熟悉教材并精通课本 注意提炼重要例题和习题所反应的相关数学知识的本质属性以及 蕴含着的数学思维方法和思想精髓 并对这类数学问题进行类比 延伸 迁移 拓广 提 出新的问题并加以解决 要把握住 变 中的 不变 切实贯彻 源于课本 高于课本 的原则 发挥教材的扩张效应 二 复习中要突出 二 复习中要突出 曲线与方程曲线与方程 这一重点内容这一重点内容 x B 4 0 A 4 0 化 融 区域 P3 8 6 已冰 2 8 3 6 3 P y 用心 爱心 专心7 解析几何有两个主要问题 一是由曲线求方程 二是由方程研究曲线 复习时要突出 这两个主题 1 要掌握求曲线方程的思路和方法 求曲线方程的方法有多种 但其思路的实质都是根据曲线上点适合的共同条件找出动 点的坐标 x 和 y 之间的关系式 常见的求曲线方程的类型有两种 一种是曲线形状明确且 便于用标准形式表示 这时可用待定系数法求其方程 一种是曲线形状不明确或不便于用 标准形式表示 这时一般可用直接法 间接代点法 参数法等求方程 2 要强化解析几何的基本思想和方法 解析几何的基本思想是在平面直角坐标系中 把点与实数对 曲线与方程 区域与不 等式统一起来 用代数方法研究平面上的几何问题 其中最重要的内容是用方程研究曲线 其次是用不等式研究区域问题 而研究这一基本思想的实质是等价转化思想与数形结合思 想 三 复习中要掌握常用的解题策略 三 复习中要掌握常用的解题策略 平面解析几何是综合性较强的学科 因而解题时就需要运用多种知识 采用多种数学 手段 熟记各种定义 基本公式 法则固然重要 但要做到迅速 准确解题 还须掌握一 些方法和技巧 如 紧扣定义 灵活解题 巧用相关量 设而不求 引入参数 整体代入 数形结合 直观显示 适时应用 平几 知识 简化运算 结合平面向量 优化解题思路 等 四 复习中要重视函数 方程与不等式思想的应用 四 复习中要重视函数 方程与不等式思想的应用 解析几何中的参数范围 圆锥曲线的几何性质或直线与圆锥曲线的位置关系 一直是 高考的热门题型 求解的关键是根据圆锥曲线的有关性质 构造参数不等式或方程 如根 据方程有解的性质构造不等式 根据方程根的分布构造不等式 根据曲线的存在范围构造 不等式 根据已知参数的范围构造不等式 由方程构造参数的函数 根据直线与圆锥曲线 的位置关系构造含参数的方程 从而将问题转化为求解不等式或方程问题 或根据构造的 有关参数的函数 在确定其定义域的基础上 将问题转化为函数值域的求解 五 复习中要注重知识的内在联系和知识的整合 五 复习中要注重知识的内在联系和知识的整合 学科的内在联系 包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系 以及各部分知识 之间的横向联系 知识的综合性 则是从学科的整体高度考虑问题 在知识网络交汇点设 计试题 以