2014届高考数学三轮冲刺历年真题备选题库：等比数列及其前n项和

考点一 等比数列的通项公式 1 2013 新课标全国 5 分 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 则a1 A B 1 3 1 3 C D 1 9 1 9 解析 本题考查等比数列的基本知识 包括等比数列的前n项和及通项公式 属于基 础题 考查考生的基本运算能力 由题知q 1 则S3 a1q 10a1 得 a1 1 q3 1 q q2 9 又a5 a1q4 9 则a1 故选 C 1 9 答案 C 2 2013 北京 5 分 若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比 q 前n项和Sn 解析 本题考查等比数列的通项公式和求和公式 考查方程思想以及考生的运算求解 能力 q 2 又a2 a4 20 故a1q a1q3 20 解得a1 2 所以Sn 2n 1 2 a3 a5 a2 a4 答案 2 2n 1 2 3 2013 湖北 12 分 已知等比数列 an 满足 a2 a3 10 a1a2a3 125 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在正整数m 使得 1 若存在 求m的最小值 若不存在 1 a1 1 a2 1 am 说明理由 解 本题考查等比数列的通项公式 前n项和公式 不等式等基础知识和基本方法 考查方程思想 分类与整合思想 考查运算求解能力 逻辑思维能力 考查综合运用知识 分析问题和解决问题的能力 1 设等比数列 an 的公比为q 则由已知可得Error 解得Error 或Error 故an 3n 1 或an 5 1 n 1 5 3 2 若an 3n 1 则 n 1 故 是首项为 公比为 的等比数列 5 3 1 an 3 5 1 3 1 an 3 5 1 3 从而 1 m n 1 1 an 3 5 1 1 3 m 1 1 3 9 10 1 1 3 m 9 10 若an 5 1 n 1 则 1 n 1 故是首项为 公比为 1 的等比 1 an 1 5 1 an 1 5 数列 从而 Error 故 1 m n 1 1 an m n 1 1 an 综上 对任何正整数m 总有0 a1 0 1 22 5 又数列 an 递增 所以q 2 a a10 0 a1q4 2 a1q9 a1 q 2 所以数列 an 的通项公 2 5 式为an 2n 答案 2n 5 2010 福建 4 分 在等比数列 an 中 若公比q 4 且前 3 项之和等于 21 则该 数列的通项公式an 解析 在等比数列 an 中 前 3 项之和等于 21 21 a1 1 43 1 4 a1 1 an 4n 1 答案 4n 1 6 2011 新课标全国 12 分 等比数列 an 的各项均为正数 且 2a1 3a2 1 a 9a2a6 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 的前n项和 1 bn 解 1 设数列 an 的公比为q 由a 9a2a6得a 9a 所以q2 由条件可知 2 32 32 4 1 9 q 0 故q 1 3 由 2a1 3a2 1 得 2a1 3a1q 1 得a1 1 3 故数列 an 的通项公式为an 1 3n 2 bn log3a1 log3a2 log3an 1 2 n n n 1 2 故 2 1 bn 2 n n 1 1 n 1 n 1 2 1 1 b1 1 b2 1 bn 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 2n n 1 所以数列 的前n项和为 1 bn 2n n 1 考点二 等比数列的前n n项和 1 2013 辽宁 5 分 已知等比数列 an 是递增数列 Sn是 an 的前n项和 若 a1 a3是方程x2 5x 4 0 的两个根 则S6 解析 本题主要考查等比数列的性质 通项公式 求和公式 意在考查考生对等比数 列公式的运用 以及等比数列性质的应用情况 由题意得 a1 a3 5 a1a3 4 由数列是 递增数列得 a1 1 a3 4 所以q 2 代入等比数列的求和公式得S6 63 答案 63 2 2013 湖北 13 分 已知Sn是等比数列 an 的前n项和 S4 S2 S3成等差数列 且a2 a3 a4 18 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在正整数n 使得Sn 2013 若存在 求出符合条件的所有n的集合 若不 存在 说明理由 解 本题主要考查等比数列的性质 等差数列的性质 等比数列的通项公式及前n项 和公式 也考查了分类讨论思想 1 设数列 an 的公比为q 则a1 0 q 0 由题意得 Error 即Error 解得Error 故数列 an 的通项公式为an 3 2 n 1 2 由 1 有Sn 1 2 n 3 1 2 n 1 2 若存在n 使得Sn 2 013 则 1 2 n 2 013 即 2 n 2 012 当n为偶数时 2 n 0 上式不成立 当n为奇数时 2 n 2n 2 012 即 2n 2 012 则n 11 综上 存在符合条件的正整数n 且所有这样的n的集合为 n n 2k 1 k N N k 5 3 2013 陕西 12 分 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 解 本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题 深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法 1 设 an 的前n项和为Sn 当q 1 时 Sn a1 a1 a1 na1 当q 1 时 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1qn 得 1 q Sn a1 a1qn Sn Sn Error a1 1 qn 1 q 2 证明 假设 an 1 是等比数列 则对任意的k N N ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a 2ak 1 1 akak 2 ak ak 2 1 2k 1 a q2k 2a1qk a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 4 2010 广东 5 分 已知数列 an 为等比数列 Sn是它的前n项和 若 a2 a3 2a1 且a4与 2a7的等差中项为 则S5 5 4 A 35 B 33 C 31 D 29 解析 设数列 an 的公比为 q a2 a3 a q3 a1 a4 2a1 a4 2 a4 2a7 a4 2a4q3 2 4q3 2 q 2 1 5 4 1 2 故a1 16 S5 31 a4 q3 a1 1 q5 1 q 答案 C 5 2010 安徽 5 分 设 an 是任意等比数列 它的前n项和 前 2n项和与前 3n项 和分别为X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A X Z 2Y B Y Y X Z Z X C Y2 XZ D Y Y X X Z X 解析 根据等比数列的性质 若 an 是等比数列 则Sn S2n Sn S3n S2n也成等比数列 即X Y X Z Y成等比数列 故 Y X 2 X Z Y 整理得Y Y X X Z X 故选 D 答案 D 6 2010 辽宁 5 分 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前n项和 已知 a2a4 1 S3 7 则S5 A B 15 2 31 4 C D 33 4 17 2 解析 显然公比q 1 由题意得 Error 解得Error S5 a1 1 q5 1 q 4 1 1 25 1 1 2 31 4 答案 B 7 2010 天津 5 分 已知 an 是首项为 1 的等比数列 Sn是 an 的前n项和 且 9S3 S6 则数列 的前 5 项和为 1 an A 或 5 B 或 5 15 8 31 16 C D 31 16 15 8 解析 由题意可知 解得q 2 9 1 q3 1 q 1 q6 1 q 数列 是以 1 为首项 以 为公比的等比数列 1 an 1 2 由求和公式可得S5 31 16 答案 C 8 2009 辽宁 5 分 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若 3 则 S6 S3 S9 S6 A 2 B 7 3 C D 3 8 3 解析 由等比数列的性质 S3 S6 S3 S9 S6仍成等比数列 于是 由S6 3S3 可推出 S9 S6 4S3 S9 7S3 S9 S6 7 3 答案 B 考点三 等比数列的性质及应用 1 2013 江西 5 分 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于 A 24 B 0 C 12 D 24 解析 选 A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质 意在考查考生的运算能 力及对基础知识的掌握情况 由等比数列的前三项为x 3x 3 6x 6 可得 3x 3 2 x 6x 6 解得x 3 或x 1 此时 3x 3 0 不合题意 舍去 故该等比数列的 首项x 3 公比q 2 所以第四项为 6x 6 q 24 3x 3 x 2 2013 江苏 5 分 在正项等比数列 an 中 a5 a6 a7 3 则满足 1 2 a1 a2 an a1a2 an的最大正整数n的值为 解析 本题主要考查等比数列的基本性质 意在考查学生的运算能力 设等比数列 an 的公比为q q 0 由a5 a6 a7 3 可得 q q2 3 即 1 2 1 2 q2 q 6 0 所以q 2 所以an 2n 6 数列 an 的前n项和Sn 2n 5 2 5 所以 a1a2 an a1an 2 由a1 a2 an a1a2 an可得 2n 5 2 5 2 n 2 n n 11 2 由 2n 5 2 可求得n的最大值为 12 而当n 13 时 28 2 5 213 n n 11 2 n n 11 2 不成立 所以n的最大值为 12 答案 12 3 2012 新课标全国 5 分 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则 a1 a10 A 7 B 5 C 5 D 7 解析 设数列 an 的公比为q 由Error 得Error 或Error 所以Error 或Error 所以Error 或Error 所以a1 a10 7 答案 D 4 2010 北京 5 分 在等比数列 an 中 a1 1 公比 q 1 若am a1a2a3a4a5 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 解析 由题知am q m 1 a1a2a3a4a5 q 10 所以m 11 答案 C 5 2012 浙江 4 分 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为Sn 若 S2 3a2 2 S4 3a4 2 则q 解析 S4 S2 a3 a4 3 a4 a2 a2 q q2 3a2 q2 1 解得q 1 舍去 或q 3 2 答案 3 2 6 2011 江西 12 分 已知两个等比数列 an bn 满足a1 a a 0 b1 a1 1 b2 a2 2 b3 a3 3 1 若a 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 唯一 求a的值 解 1 设数列 an 的公比为q