2014年四川省成都经济技术开发区实验中学高二数学检测：2.2.2《双曲线的简单几何性质》（新人教A版选修1-1）

数学选修数学选修 1 11 1 第二章 第二章 2 22 2 2 2 22 2 2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 一 选择题 1 下列双曲线中离心率为的是 6 2 A 1 B 1 x2 2 y2 4 x2 4 y2 2 C 1 D 1 x2 4 y2 6 x2 4 y2 10 解析 选 B 由e 得e2 6 2 3 2 c2 a2 3 2 则 即a2 2b2 因此可知 B 正确 a2 b2 a2 3 2 b2 a2 1 2 2 中心在原点 实轴在x轴上 一个焦点在直线 3x 4y 12 0 上的等轴双曲线方程 是 A x2 y2 8 B x2 y2 4 C y2 x2 8 D y2 x2 4 解析 选 A 令y 0 得 x 4 等轴双曲线的一个焦点坐标为 4 0 c 4 a2 c2 16 8 故选 A 1 2 1 2 3 已知双曲线 1 的两条渐近线互相垂直 则双曲线的离心率为 x2 a2 y2 b2 A B 32 C D 5 2 2 2 解析 选 B 由题意可知 此双曲线为等轴双曲线 等轴双曲线的实轴与虚轴相等 则a b c a 于是e a2 b22 c a2 4 双曲线 1 的离心率e 1 2 则k的取值范围是 x2 4 y2 k A 10 0 B 12 0 C 3 0 D 60 12 解析 选 B 由题意知k 0 a2 4 b2 k e2 1 a2 b2 a2 4 k 4 k 4 又e 1 2 1 1 4 12 k0 b 0 由题意知 x2 a2 y2 b2 c 3 a2 b2 9 设A x1 y1 B x2 y2 则有Error 两式作差得 y1 y2 x1 x2 b2 x1 x2 a2 y1 y1 12b2 15a2 4b2 5a2 又AB的斜率是 1 15 0 12 3 所以 4b2 5a2 代入a2 b2 9 得a2 4 b2 5 所以双曲线标准方程是 1 x2 4 y2 5 二 填空题 6 江苏高考 双曲线 1 的两条渐近线的方程为 x2 16 y2 9 解析 令 0 解得y x x2 16 y2 9 3 4 答案 y x 3 4 7 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M N x2 a2 y2 b2 两点 以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率为 解析 由题意知 a c b2 a 即a2 ac c2 a2 c2 ac 2a2 0 e2 e 2 0 解得e 2 或e 1 舍去 答案 2 8 双曲线 1 的右顶点为A 右焦点为F 过点F平行于双曲线的一条渐近线 x2 9 y2 16 的直线与双曲线交于点B 则 AFB的面积为 解析 双曲线 1 的右顶点A 3 0 右焦点F 5 0 渐近线方程为y x x2 9 y2 16 4 3 不妨设直线FB的方程为y x 5 代入双曲线方程整理 得x2 x 5 2 9 解 4 3 得x y 所以B 17 5 32 15 17 5 32 15 所以S AFB AF yB c a yB 5 3 1 2 1 2 1 2 32 15 32 15 答案 32 15 三 解答题 9 已知椭圆 1 和双曲线 1 有公共的焦点 求双曲线的渐近线方 x2 3m2 y2 5n2 x2 2m2 y2 3n2 程及离心率 解 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上 所以椭圆的右焦点坐标为 0 3m2 5n2 双曲线的右焦点坐标为 0 2m2 3n2 所以 3m2 5n2 2m2 3n2 所以m2 8n2 即 m 2 n 2 所以双曲线的渐近线方程为y x y x 6 n 2 m 3 4 离心率e e 2m2 3n2 2 m 19 4 19 4 10 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的离心率为 且 x2 a2 y2 b23 a2 c 3 3 1 求双曲线C的方程 2 已知直线x y m 0 与双曲线C交于不同的两点A B 且线段AB的中点在圆 x2 y2 5 上 求m的值 解 1 由题意得Error 解得Error 所以b2 c2 a2 2 所以双曲线C的方程为x2 1 y2 2 2 设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 线段AB的中点为M x0 y0 由