【绿色通道】2011高考数学总复习 5-3等比数列 新人教A版

第第 5 5 模块模块 第第 3 3 节节 知能演练 一 选择题 1 若数列 an 的前n项和Sn 3n a 数列 an 为等比数列 则实数a的值是 A 3 B 1 C 0 D 1 解析 可用特殊值法 由Sn得a1 3 a a2 6 a3 18 由等比数列的性质可知 a 1 答案 B 2 设a1 a2 a3 a4 成等比数列 其公比为 2 则的值为 2a1 a2 2a3 a4 A B 1 4 1 2 C D 1 1 8 解析 由题意得a2 2a1 a3 4a1 a4 8a1 2a1 a2 2a3 a4 2a1 2a1 8a1 8a1 1 4 答案 A 3 等比数列 an 前n项的积为Tn 若a3a6a18是一个确定的常数 那么数列 T10 T13 T17 T25中也是常数的项是 A T10 B T13 C T17 D T25 解析 a3a6a18 a q2 5 17 a1q8 3 a 即a9为定值 所以下标和为 9 的倍数的两项 3 13 9 积为定值 可知T17为定值 答案 C 4 已知等比数列 an 中 a1 a2 30 a3 a4 120 则a5 a6等于 A 240 B 240 C 480 D 480 解析 an 为等比数列 数列a1 a2 a3 a4 a5 a6也成等比数列 a3 a4 2 a1 a2 a5 a6 a5 a6 480 1202 30 答案 C 二 填空题 5 等比数列 an 中 a1 a3 10 a4 a6 则数列 an 的通项公式为 5 4 解析 由a4 a1q3 a6 a3q3得 q3 a4 a6 a1 a3 5 4 1 10 1 8 q 又a1 1 q2 10 1 2 a1 8 an a1qn 1 8 n 1 24 n 1 2 答案 an 24 n 6 在等差数列 an 中 a1 1 a7 4 数列 bn 是等比数列 已知b2 a3 b3 1 a2 则满足bn 的最小自然数n是 1 a80 解析 an 为等差数列a1 1 a7 4 6d 3 d 1 2 an bn 为等比数列 b2 2 b3 q n 1 2 2 3 1 3 bn 6 n 1 bn 1 3 1 a80 2 81 8181 34 2 6 1 3 n 1 n 6 从而可得nmin 7 答案 7 三 解答题 7 设数列 an 的前n项和Sn 2an 2n 1 求a3 a4 2 证明 an 1 2an 是等比数列 3 求 an 的通项公式 1 解 因为a1 S1 2a1 S1 2 所以a1 2 S1 2 由 2an Sn 2n知 2an 1 Sn 1 2n 1 an 1 Sn 2n 1 得an 1 Sn 2n 1 所以a2 S1 22 2 22 6 S2 8 a3 S2 23 8 23 16 S3 24 a4 S3 24 40 2 证明 由题设和 式知 an 1 2an Sn 2n 1 Sn 2n 2n 1 2n 2n 所以 an 1 2an 是首项为 2 公比为 2 的等比数列 3 an an 2an 1 2 an 1 2an 2 2n 2 a2 2a1 2n 1a1 n 1 2n 1 8 设各项均为正数的数列 an 和 bn 满足 5an 5bn 5an 1成等比数列 lgbn lgan 1 lgbn 1成等差数列 且a1 1 b1 2 a2 3 求通项an bn 解 5an 5bn 5an 1成等比数列 5bn 2 5an 5an 1 即 2bn an an 1 又 lgbn lgan 1 lgbn 1成等差数列 2lgan 1 lgbn lgbn 1 即a bn bn 1 2n 1 由 及ai 0 bj 0 i j N N 可得 an 1 bnbn 1 an n 2 bn 1bn 将 代入 可得 2bn n 2 bn 1bnbnbn 1 2 n 2 bnbn 1bn 1 数列 为等差数列 bn b1 2 a2 3 a b1b2 b2 2 2 9 2 n 1 bn2 9 22 n 1 n 1 也成立 1 2 bn n 1 2 2 an n 2 bn 1 bn n2 2 n 1 2 2 n n 1 2 又当n 1 时 a1 1 也成立 an n n 1 2 高考 模拟 预测 1 2009 广东高考 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3 a9 2a a2 1 则 2 5 a1 A B 1 2 2 2 C D 2 2 解析 因为a3 a9 2a 则由等比数列的性质有 a3 a9 a 2a 所以 2 即 2 52 62 5 a2 6 a2 5 2 q2 2 因为公比为正数 故q 又因为a2 1 所以a1 a6 a52 a2 q 1 2 2 2 答案 B 2 2009 广东高考 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且 a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1 时 log2a1 log2a3 log2a2n 1 A n 2n 1 B n 1 2 C n2 D n 1 2 解析 设等比数列 an 的首项为a1公比为q a5 a2n 5 a1q4 a1q2n 6 22n 即 a q2n 2 22n a1 qn 1 2 22n an 2 2n 2 1 2 an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 log22 log223 log222n 1 1 3 2n 1 n n2 故选 C 1 2n 1 2 答案 C 3 2009 宁波十校联考 已知数列 an 共有m项 定义 an 的所有项和为S 1 第二 项及以后所有项和为S 2 第三项及以后所有项和为S 3 第n项及以后所有项和为 S n 若S n 是首项为 2 公比为 的等比数列的前n项和 则当n m时 an等于 1 2 A B 1 2n 2 1 2n 2 C D 1 2n 1 1 2n 1 解析 n1 令 bn an 1 n 1 2 若数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则 6q 解析 由an bn 1 且数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则 an 有连续四项在集合 54 24 18 36 81 中 经 分析判断知 an 的四项应为 24 36 54 81 又 q 1 所以数列 an 的公比为q 3 2 则 6q 9 答案 9 5 2009 山东高考 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知对任意的n N N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0 且b 1 b r均为常数 的图象上 求r的值 当b 2 时 记bn n N N 求数列 bn 的前n项和Tn n 1 4an 解 由题意 Sn bn r 当n 2 时 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0 且b 1 所以当n 2 时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 b 即 b 解得r 1 a2 a1 b b 1 b r 由 知 n N N an b 1 bn 1 当b 2 时 an 2n 1 所以bn n 1 4 2n 1 n 1 2n 1 Tn 2 22 3 23 4 24 n 1 2n 1 Tn 1 2 2 23 3 24 n 2n 1 n 1 2n 2 两式相减得Tn 1 2 2 22 1 23 1 24 1 2n 1 n 1 2n 2 1 2 1 23 1 1 2n 1 1 1 2 n 1 2n 2 3 4 1 2n 1 n 1 2n 2 故Tn 3 2 1 2n n 1 2n 1 3 2 n 3 2n 1 备选精题 6 已知数列 an 满足a1 a a 0 且a 1 前n项和为Sn 且Sn 1 an a 1 a 1 求证 an 是等比数列 2 记bn anlg an n N N 当a 时 是否存在正整数m 使得对于任意正整数 7 3 n 都有bn bm 如果存在 求出m的值 如果不存在 说明理由 解 1 当n 2 时 Sn 1 an Sn 1 1 an 1 a 1 a a 1 a an Sn Sn 1 1 an 1 an 1 an 1 an a 1 a a 1 a 即an aan 1 又a1 a 0 所以 a an an 1 所以 an 是首项和公比都为a的等比数列 2 由 1 知 an an 则bn anlg an nanlg a 又a 1 0 则 lg a 0 7 3 所以当n为偶数时 bn nanlg a 0 可见 若存在满足条件的正整数m 则m为偶数 b2k 2 b2k 2k 2 a2k 2 2ka2k lg a 2a2k k 1 a2 k lg a 2a2k k a2 1