【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 概率（2） 理

用心 爱心 专心 1 备战备战 2012 2012 高考数学高考数学 最新专题冲刺最新专题冲刺 概率 概率 2 2 理理 一 选择题一 选择题 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 9 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若 将其随机的并排摆放到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 解析 因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法 两位同学个参加一个小组共有 933 种方法 所以 甲乙两位同学参加同一个小组的概率为3 1 9 3 点评 本题考查排列组合 概率的概念及其运算和分析问题 解决问题的能力 4 4 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一局甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一局 就获冠军 乙队需要再赢两局才能得冠军就获冠军 乙队需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概 率为 率为 A A 1 2 B B 3 5 C C 2 3 D D 3 4 解析解析 D D 由题得甲队获得冠军有两种情况 第一局胜或第一局输第二局胜 所以甲队获得冠军的概率由题得甲队获得冠军有两种情况 第一局胜或第一局输第二局胜 所以甲队获得冠军的概率 4 3 2 1 2 1 2 1 P 所以所以 用心 爱心 专心 2 选选 D D 5 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 7 7 如图 用 K A1 A2三类不同的元件连成一个系统 当 K 正常 工作且 A1 A2至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知 K A1 A2正常工作的概率依次为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 可能 最后一小时他们同在一个景点有 1111111 6554433 C C C C C C C 种 则最后一小时他们同在一个景 点的概率是 1111111 6554433 11111111 66554433 1 6 C C C C C C C p C C C C C C C C 故选 D 7 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 12 12 在集合 1 2 3 4 5 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原 点为起点的向量 a a a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行 四边形 记所有作成的平行四边形的个数为n 其中面积不超过4的平行四边形的个数为m 则 m n A 4 15 B 1 3 C 2 5 D 2 3 答案 B 解析 基本事件 2 6 2 1 2 3 2 5 4 1 4 5 4 3 23 515nC 从选取个 其 中面积为 2 的平行四边形的个数 2 3 4 5 2 1 4 3 2 1 4 1 其中面积为 4 的平行四 用心 爱心 专心 3 答案 5 3 解析 2 21 0 1 1 312 Pp 1 2 p 的取值为 0 1 2 3 1 0 12 P 2 212 1121 14 1 1 1 1 1 1 323 2232 212 P 2 1121 12 1 15 2 1 1 1 3 2232 23 2 212 P 2 1 12 3 3 2 212 P 故 14525 0123 121212123 E 2 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 12 12 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆 内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 1 2 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 1 4 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 答案 13 16 解析 小波周末不在家看书包含两种情况 一是去看电影 二是去打篮 球 所以小波周末不在家看书的概率为 1 416 13 16 3 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 15 15 如图 4 EFGH 是以 O 为圆心 半径为 1 的圆内接正方形 将 用心 爱心 专心 4 一颗豆子随机地扔到该圆内 用 A 表示事件 豆子落在正方形 EFGH 内 B 表示事件 豆子 落在扇形 OHE 阴影部分 内 则 1 AP 2 ABP 答案 2 AP 4 1 ABP 显然相同 故 的概率为 5 1 11 16 232 6 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 5 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数 是另一个的两倍的概率是 答案 1 3 解析 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 所有可能的取法有 6 种 满足 其 中一个数是另一个的两倍 的所有可能的结果有 1 2 2 4 共 2 种取法 所以其中一个数是 另一个的两倍的概率是 21 63 7 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 13 13 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 用心 爱心 专心 5 答案 3 5 8 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 9 9 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处无法完全看清 且两个 处字迹模糊 但能肯 定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案E 答案 2 9 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 12 12 随机抽取 9 个同学中 至少有 2 个同学在同一月出生的概率 是 默认每月天数相同 结果精确到0 001 答案 0 985 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 18 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 A A B B C C 进行围棋比赛 甲对进行围棋比赛 甲对 A A 乙对 乙对 B B 丙对 丙对 C C 各一盘 各一盘 已知甲胜已知甲胜 A A 乙胜 乙胜 B B 丙胜 丙胜 C C 的概率分别为的概率分别为 0 6 0 5 0 50 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 假设各盘比赛结果相互独立 求红队至少两名队员获胜的概率 求红队至少两名队员获胜的概率 用 用 表示红队队员获胜的总盘数 求表示红队队员获胜的总盘数 求 的分布列和数学期望的分布列和数学期望E 解析 红队至少两名队员获胜的概率为0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 55 取的可能结果为 0 1 2 3 则 0 P 0 4 0 5 0 5 0 1 1 P 0 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 35 2 P 0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 4 3 P 0 6 0 5 0 5 0 15 所以 的分布列为 0123 P0 10 350 40 15 用心 爱心 专心 6 数学期望E 0 0 1 1 0 35 2 0 4 3 0 15 1 6 2 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 19 19 本小题满分 12 分 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成 n 小块地 在总共 2n 小块地中 随机选 n 小块 地种植品种甲 另外 n 小块地种植品种乙 I 假设 n 4 在第一大块地中 种植品种甲的小块地的数目记为 X 求 X 的分布列和 数学期望 II 试验时每大块地分成 8 小块 即 n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块 地上的每公顷产量 单位 kg hm2 如下表 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应该 种植哪一品种 附 样本数据 x1 x2 xa的样本方差 222 2 11 1 n sxxxxxx n 其 中x为样本平均数 即 X 的分布列为 X01234 P 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 X 的数学期望是 181881 012342 7035353570 E X 用心 爱心 专心 7 3 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 20 20 本小题满分 13 分 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每个 人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出 再派 下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别 p pp 假设 p pp 互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互独立 如果按甲在先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个 人被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 ppp pppp pp pp pp p p 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q q q 时 所需派出人员 数目X的分布列为 用心 爱心 专心 8 X 123 Pq qq qq 所需派出人员数目X的均值 数字期望 EX是 EXqqqqq qqq q EXqqq qq 若交换前两人的顺序 则变为 EXqqq qq 由此可见 当q q 时 交换前两人的顺序可减少所需派 出人员的数目的均值 ii 也可将 中EX qqq q 改写为 EXqqq 若交换后两人的顺序则变为 EXqqq 由此可见 保持第一个人不变 当 用心 爱心 专心 9 4 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 19 19 本小题满分 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品 现用两种新配方 分别称为 A 配方和 B 配方 做试验 各生产了 100 件这种产品 并测试了每件产品的质量指标值 得到下面试验结果 A 配方的频数分 布表 指标值分组 94 90 98 94 102 98 106 102 110 106 频数 82042228 B 配方的频数分布表 指标值分组 94 90 98 94 102 98 106 102 110 106 频数 41242328 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 102 10294 94 4 2 2 t t t y 从用 B 配方生产的产品中任取一件 其利润记为 X 单位 元 求 X 的分布列及数学期 望 以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率 用心 爱心 专心 10 5 5 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 16 16 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有 3 3 个白球 个白球 2 2 个黑球 乙箱子里装有个黑球 乙箱子里装有 1 1 个个 白球 白球 2 2 个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 2 个球 个球 若摸出的白球不少于若摸出的白球不少于 2 2 个 则获奖个 则获奖 每次游戏结束后将球放回原箱 每次游戏结束后将球放回原箱 求在一次游戏中 求在一次游戏中 i i 摸出 摸出 3 3 个白球的概率 个白球的概率 iiii 获奖的概率 获奖的概率 求在两次游戏中获奖次数 求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望的分布列及数学期望 E X 解析解析 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量的分布列 互斥事件 和相互独立事件等基础知识 考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力 i 设 在一次游戏中摸出 i 个白球 为事件 0 1 2 3 i A i 则 21 32 3 22 53 1 5 C C P A C C ii 设 在一次游戏中获奖 为事件 B 则 B 23 AA 又 11122 32232 2 22 53 1 2 C C CC C P A C C 且 23 A A 互斥 所以 23 117 2510 P BP AP A 由题意可知X的所有可能取值为 0 1 2 P X 0 2 79 1 10100 P X 1 1 2 7721 1 101050 C 用心 爱心 专心 11 P X 2 2 749 10100 所以X的分布列是 X 012 P 9 100 21 50 49 100 X的数学期望 E X 9 0 100 21 1 50 49 2 100 7 5 6 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 16 16 本小题满分 12 分 某饮料公司招聘了一名员工 现对其进行一项测试 以便确定工资级别 公司准备了两种不 同的饮料共 8 杯 其颜色完全相同 并且其中 4 杯为 A 饮料 另外 4 杯为 B 饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 若 4 杯都选对 则月工资定为 3500 元 若 4 杯选对 3 杯 则月工资定为 2800 元 否则月工资定为 2100 元 令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 1 求 X 的分布列 2 求此员工月工资的期望 解析 1 X 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 则 4 44 4 8 0 1 2 3 4 ii C C P xii C 所以所求的分布列为 X01234 P 1 70 16 70 36 70 16 70 1 70 2 设 Y 表示该员工的月工资 则 Y 的所有可能取值为 3500 2800 2100 相对的概率分别为 1 70 16 70 53 70 所以 11653 3500280021002280 707070 E Y 所以此员工工资的期望为 2280 元 本题考查排列 组合的基础知识及概率分布 数学期望 7 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 18 18 本小题满分 12 分 某商店试销某种商品 20 天 获得如 下数据 日销售量 件 0123 频数 1595 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时由该商品 3 件 用心 爱心 专心 12 当天营业结束后检查存货 若发现存量少于 2 件 则当天进货补充至 3 件 否则不进货 将 频率视为概率 求当天商店不进货的概率 件 当天销售量为3P 4 3 20 5 20 9 20 1 故X的分布列为 X23 P 4 1 4 3 所以X的数学期望为 4 11 4 3 3 4 1 2 EX 评析 本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法 求离散型随机变量的分布列和数学期 望的方法 以及互斥事件概率的求法 8 8 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 17 17 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产的产品中分别抽为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产的产品中分别抽 取取 1414 件和件和 5 5 件 测量产品中微量元素件 测量产品中微量元素 x x y y 的含量 单位 毫克 的含量 单位 毫克 下表是乙厂的下表是乙厂的 5 5 件产品件产品 的测量数据 的测量数据 用心 爱心 专心 13 1 1 已知甲厂生产的产品共 已知甲厂生产的产品共 9898 件 求乙厂生产的产品数量 件 求乙厂生产的产品数量 2 2 当产品中的微量元素当产品中的微量元素 x x y y 满足满足 175175 且且 y y 7575 该产品为优等品 用上述样本数据估 该产品为优等品 用上述样本数据估 计乙厂生产的优等品的数量 计乙厂生产的优等品的数量 3 3 从乙厂抽出的上述 从乙厂抽出的上述 5 5 件产品中 随即抽取件产品中 随即抽取 2 2 件 求抽取的件 求抽取的 2 2 件产品中优等品数件产品中优等品数 的分布的分布 列及其均值 即数学期望 列及其均值 即数学期望 解析解析 解 1 98 7 5735 14 即乙厂生产的产品数量为 35 件 2 易见只有编号为 2 5 的产品为优等品 所以乙厂生产的产品中的优等品 2 5 故乙厂生产有大约 2 3514 5 件 优等品 3 的取值为 0 1 2 2112 3323 222 555 331 0 1 2 10510 CCCC PPP CCC 所以 的分布列为 012 P 3 10 6 10 1 10 故 3314 012 105105 E 的均值为 9 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 20 20 本小题满分 13 分 如图 A 地到火车站共有两条路径 1 L 和 2 L 据统计 通过两条路径所用的时间互不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 时间 分钟 10 20 2030 3040 4050 5060 1 L 的频率 0 10 20 30 20 2 2 L 的频 00 10 40 40 1 用心 爱心 专心 14 率 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 用 X 表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 的选择方案 求 X 的分布列和数学期望 0 P X 0 4 0 10 04P ABP A P B 1 P XP ABABP A P BP A P B 0 4 0 90 6 0 10 42 0 6 0 90 54P XP ABP A P B X 的分布列为 X012 P0 040 420 54 0 0 04 1 0 422 0 541 5EX 10 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 17 17 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 某市公租房房屋位于 A B C 三个地区 设每位申请人只申请其中一个片区的房屋 且申请其 中任一个片区的房屋是等可能的 求该市的任 4 位申请人中 若有 2 人申请 A 片区房屋的概率 申请的房屋在片区的个数的 分布列与期望 用心 爱心 专心 15 2 设甲 乙两个所付的费用之和为 可为0 2 4 6 8 用心 爱心 专心 16 1 0 8 1 11 15 2 4 42 216 1 11 11 15 4 4 42 42 416 1 11 13 6 4 42 416 1 11 8 4 416 P P P P P 分布列 0 2468 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 55917 84822 E 12 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 18 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 X 表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求 的期望 13 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 17 17 本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲 乙两组个四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个数据模糊 无 法确认 在图中以 X 表示 用心 爱心 专心 17 如果 X 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 如果 X 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望 注 注 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x 的平均数 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21