346 -非线性波浪的数值反演研究-孙一艳

非线性波浪的数值反演研究非线性波浪的数值反演研究 孙一艳 柳淑学 大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室 大连 116023 摘摘 要 要 以前在进行海洋工程建筑物设计时 一般根据特征波浪要素采用线性规则波波理论来计算海浪 的水动力特性 但现场数据表明实际的海浪是不规则的非线性波浪 波浪的非线性对于波浪的水动力特性 具有很大的影响 本文考虑波浪的非线性 基于双叠加傅立叶级数展开的数值模型 建立了用于描述计算 非线性波浪水动力特性的数值计算模型 数值计算结果与理论结果进行了比较 验证了数值计算模型的有 效性 关键词 关键词 非线性 双叠加傅立叶模型 Reproduction of Nonlinear Irregular Waves Sun Yiyan and Liu Shuxue State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering Dalian University of Technology Dalian 116023 China Abstract Linear regular wave theory is generally used to calculate the dynamic characteristics of ocean waves based on the characteristic wave parameter However ocean waves are nonlinear and irregular in fact and the non linearity of the wave has a definite effect on the calculated dynamic characteristics The present paper will address the non linearity and establish a numerical formulation based upon a double Fourier series expansion Numerical calculated results are compared with the associated theoretical results to show the effectiveness of the model key words Non linear waves double Fourier series expansion 1前言前言 在进行海洋工程建筑物的设计的过程中 波浪理论是不可缺少的主要部分 我们可以用波浪理 论来计算波浪 并可以预测出波浪下水质点的运动情况如速度 加速度及压力等 并通过分析其最 大波高和内部的水质点运动情况来设计建筑物 在一般的波浪场中 由于条件和仪器的限制 我们 只能得到少数几个点的波面升高观测记录 既不容易得到其他点的波面 又很难直接测到其内部的 水动力特性 之前为了简化计算 通常的设计解法采用了两种假设 一种是忽略了波运动的不定常 性 采用规则解或稳态解 另一种是忽略了非线性而采用线性随机波浪的解法 在第一种假设中 可以应用高阶 Stokes 波来假设相应的规则波 但是之前 Kinsman 的研究表明 预测的波面升高会 发生改变 Dean 1 首先提议使非线性边界条件数值地满足已测的波形 虽然考虑了非线性 但是忽 略了波浪的瞬变特性 因此也产生了明显的误差 在第二种假设中 虽然考虑了波运动的不定常性 但是忽略了非线性波与波之间的作用 Baldock 2 3 4 等人得到的实验结果表明高阶作用项不能忽略 掉 Longuet Higgins 5 计算得到的数值结果发现当长波的波陡增加时波与波的作用变得极其非线性 基金资助 本文得到国家自然科学基金 50379002 和 新世纪优秀人才支持计划 的资助 作者简介 孙一艳 1981 女 吉林省吉林市 港口海岸及近海工程 email sunyyfei 化 这个结论与 Dean 1 得到的结论是一致的 由于实际的海浪是非线性且不规则的 这样 由线性 波理论得到的结果就存在很大的误差 因此在进行波浪的水动力特性计算中 应考虑波浪的不规则 性及非线性的影响 本文将波浪的速度势函数 在时间和空间上展开为傅立叶级数 根据某一点已 知观测的波浪过程 通过拟合满足非线性边界条件的最小二乘法来确定傅立叶系数 从而建立了可 以描述非线性波浪运动特性的数值计算模型 通过数值计算结果与规则波和 Stokes 波浪理论解进行 了比较 验证了模型的有效性 2数值计算模型数值计算模型 参考图 1 所定义的坐标系 假设流体为均质 不可压缩 无粘性的 且为恒定水深下的势流 则存在速度势 由质量守恒定律 满足 Laplace 方程 1 22 22 0 xz 水质点的水平和垂直速度为 2 u x v z 方程 1 应满足如下运动学边界和动力学边界条件 即 3 txxz z 4 22 11 2 Q gtgxz z 其中 Q 为伯努里常数 本文中视为未知数 假设海底为不可渗透介质 则水底边界条件为 5 0 z z Z X Z SWL 图 1 方程所在的坐标系 Fig 1 Co ordinate axes 为了得到可以描述考虑波浪非线性的计算模型 将速度势在时间和空间上展开为傅立叶级数 6 11 cosh cos sin MN nmnnmmnnm mn x z tk zAk xtBk xt Z 0 其中 Amn Bmn为待定傅立叶系数 通过用最小二乘法使非线性自由表面的误差达到最小来确定 由于每个谐波的波速是不相同的 因此该模型综合考虑了自由波及其相应的高阶固有谐波 mn k 的影响 为了求解未知的傅立叶系数 需要首先定义一个足够大的基本周期 T1 考虑到傅立叶级数展 开表示假定波浪在时间和空间上是周期性变化的 因此基本周期可以选定为所采用的波面观测记录 的长度 则第一个谐波的基频为 1 2 T1 其他的频率则为 m m 1 相应的空间上的基本周期 L1 或基波数 k1 2 L1在边界条件上误差的最小化求解过程中确定 为了得到满足要求的解 用代表相应的运动学自由表面边界条件误差 来代表相应的 Kij E Dij E 动力学自由表面边界条件的误差 则在处有 ji zxt 7 Kij E txxz 8 22 11 2 Dij EQ gtgxz 将上述两个误差关于基频进行无因次化后得到非线性自由表面边界条件的总误差 1 T E 9 22 2 11 11 IJ TjDijKij ij EF EE gg 其中 I J 为计算的时间和空间点 具有相同的量级 Fj为权重因数 可取 Fj 1 x xn Fj 1 x xn 引入 Fj 可以通过加强已知点的权重来提高计算方法的收敛性 Fj的取值取决于波浪的非线性等特 性 可在实际计算中合适的选取 本文取其为 100 3数值计算过程数值计算过程 如上所述 除了傅立叶系数 Amn和 Bmn外 伯努里常数 Q 和基波数 k1亦需要通过边界条件误 差最小化来确定 因此共有 2MN 2 个未知量 为了方便 采用 X p 表示所求的未知量 则为取 得最优解 有 10 0 0 0 1 2 22 TTT EEE XXXMN 可建立 2MN 2 个方程构成一方程组 对其求解可得到所要求的解 很显然 上述方程为一非线性 方程组 为了求得最优解 本文采用牛顿迭代的方法 假定第 q 次迭代的解为 Xq p 以此将 10 式 进行 Taylor 展开 有 11 2 22 1 2 22 1 2 22 1 0 1 1 0 2 2 0 22 22 qq qq qq MN q TT X kXkX kXk r MN q TT X kXkX kXk r MN q TT X kXkX kXk r EE Xr XXX r EE Xr XXX r EE Xr XMNXMNX r 式中 Xq r X r Xq r r 1 2 2MN 2 通过求解上述线性方程组 可以得到 Xq r 由 此可以得到新的解为 12 1 qqq X rXrXr 其中 为下山因子 引入该因子可以减小两次迭代结果的插值 从而改善迭代过程的收敛性 将 新得到的 Xq 1 r 代入 11 的方程组中重复上述过程直到满足收敛条件 本文将得到的新的已知 点的波面升高同此点最开始的波面升高的差值作为收敛条件 这样 最后将得到的未知数代入到方 程 6 中 就可以得到描述有限海域内的速度势函数 进而可以通过其求解波面升高过程及其水 质点运动情况 很明显 上述方法的精度取决于所采用的波面记录长度 时间和空间的点数 I J 以及傅立叶 级数的阶数 M N 如果基本频率采用 1 2 T1 其中 T1为波面记录的时间长度 时间和空间的点数 I J 取值应使得时间和空间的间隔满足如下条件 2 13 1 2 tTM 14 1 2 xLN 式中 L1为迭代计算过程中所求得的基本波长 2 k1 4计算结果与理论结果的比较计算结果与理论结果的比较 为了验证所建立的数值计算模型的有效性 本文采用二阶 Stokes 波进行了计算验证 波浪的 波高 H 0 07m 周期 T 2 0s 水深 h 0 5m 通过给定 x 0 399m 处的理论波面 按上述方法进行数 值计算 计算中时间点 I 80 空间点 J 40 时间间隔 t 0 05s 空间间隔 x 0 021m M N 5 采 用线性理论给定求解变量的初值 图 2 和 3 分别给出了 x 0 399m 点 给定波面点 和 X 0 0m 处的波面数值计算结果与理论波面的 比较 由这些图可以看出 在 x 0 399m 的空间点上数值解同理论解符合很好 而在 x 0 0m 处在波 谷有较小的误差 其原因主要是由于该方法主要基于一点的波面观测记录 通过水面边界条件的误 差最小来确定波浪的速度势 在最优化的过程中 只有已知点的波面提供了波浪波动特性的信息 因此在该已知点 计算波面与理论波面吻合较好 离已知波面点越远 计算波面与理论波面的差别 越大 01234 time s 0 04 0 02 0 0 02 0 04 e l e v a t i o n m theoretical numerical 图 2 X 0 399m 处的和数值解和理论解比较 Fig 2 Comparison of numerical and theoretical wave surface at x 0 399m 01234 time s 0 04 0 02 0 0 02 0 04 m theoretical numerical 图 3 x 0 0m 处的数值解和理论解的比较 Fig 3 Comparison of numerical and theoretical wave surface at x 0 399m 图 4 和图 5 分别给出了 x 0 399m 点在第一个波峰和波谷时的数值计算水质点水平速度沿水深 的分布与理论值的比较 结果显示水质点数值计算水平速度分布与理论结果吻合较好 波峰时水底 速度理论解同数值解的相对误差为 2 波峰顶速度的相对误差为 1 波谷时水底速度的相对误差 为 0 8 波谷顶速度的相对误差为 2 2 图 6 和图 7 为 x 0 0m 点在第一个波峰和波谷时的数值计算水质点水平速度沿水深的分布与理 论值的比较 很明显 由于离已知波面点较远 水质点水平速度分别与理论结果差别较大 尤其在 对应波谷时的分布 其中波峰时水底速度的理论解同数值解相对误差为 1 4 波峰顶速度相对误 差为 1 波谷时水底速度的相对误差为 1 2 波谷顶速度的相对误差为 6 0 120 140 160 180 2 velocity m s 0 0 2 0 4 0 6 e l e v a t i o n m x 0 399m wave peak theoretical numerical 图 4 X 0 399m 处波峰对应的水质点水平速度与理论结果的比较 Fig 4 Comparison of the numerical calculated water particle horizontal velocity and theoretical values corresponding to the wave crest at x 0 399m 0 1150 120 1250 130 1350 140 145 velocity m s 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 e l e v a t i o n m x 0 399m wave trough theoretical numerical 图 5 X 0 399m 处波谷处对应的水质点水平速度与理论结果的比较 Fig 5 Comparison of the numerical calculated water particle horizontal velocity and theoretical values corresponding to the wave trough at x 0 399m 0 120 140 160 180 2 velocity m s 0 0 2 0 4 0 6 e l e v a t i o n m x 0 0m wave peak theoretical numerical 图 6 X 0 0m 处波峰对应的水质点水平速度与理论结果的比较 Fig 6 Comparison of the numerical calculated water particle horizontal velocity and theoretical values corresponding to the wave crest at x 0 0m 0 120 1250 130 1350 140 145 velocity m s 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 e l e v a t i o n m x 0 0m wave trough theoretical numerical 图 7 x 0 0m 处波谷对应的水质点水平速度与理论结果的比较 Fig 7 Comparison of the numerical calculated water particle horizontal velocity and theoretical values corresponding to the wave trough at x 0 0m 5结论结论 由于在实际波浪中 一般只能得到一点的波面记录 为了在计算波浪的水动力特性过程中 能 考虑波浪的非线性特征和不规则性 本文基于在时间和空间上的双叠加傅立叶数学模型 通过对非 线性边界条件的误差最小化 建立了求解波浪数值反演波浪 求解波浪水动力特性的数值计算模型 采用二阶 Stokes 波 对模型进行了验证 模型计算结果与理