高二数学教学论文 递推数列求解 沪教版

用心 爱心 专心1 递推数列的求解策略及技巧递推数列的求解策略及技巧 近年的高考中出现了给出数列的解析式 包括递推关系式和非递推关系式 求通项公 式的问题 对于这类问题学生感到困难较大 本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法 和技巧 以供参考 1 多式相加法多式相加法 叠加法 叠加法 数列有形如数列有形如 an 1 an f n 的解析式 而的解析式 而 f 1 f 2 f n 的和是可求的 可用多式相加的和是可求的 可用多式相加 法求得法求得 an 例 1 在数列 an 中 a1 1 an 1 an 2n 求 an n 2 解 由条件 a2 a1 2 1 a3 a2 2 2 an an 1 2 n 1 以上 n 1 个式子相加化简得 an a1 n n 1 n2 n 1 训练 例 4 已知数列 an 中 an 1 且 an 1 an 3n n 求数列 an 的通项公式 2 多式相乘法 多式相乘法 叠乘法 叠乘法 数列有形如数列有形如 an f n an 1的解析关系 而 的解析关系 而 f 1 f 2 f n 的积是可求的 可用多式相乘的积是可求的 可用多式相乘 法求得法求得 an 例 2 在数列 an 中 aa n n aa nn 1 1 2 1 11 2 求 n a 解 由条件 1 1 6 4 5 3 4 2 3 1 45342312 n n aaaaaaaaa n an 1 这 n 1 个式子相乘化简得 1 1 nn an 训练 例 4 已知数列 an 中 an 1 且 an 1 an 3n n 求数列 an 的通项公式 迭代法迭代法 根据递推的特殊关系 迭代后可以得到通项 根据递推的特殊关系 迭代后可以得到通项 例 4 在数列 an 中 n n a a n n 3 1 求 an 3 待定系数法 待定系数法 转化等差等比 转化等差等比 数列有形如数列有形如kbaka nn 1 b 为常数 的线性递推关系 可用待定系数法求得为常数 的线性递推关系 可用待定系数法求得 an 例 3 在数列 an 中 13 1 11 nn aaa求 n a 解 在13 1 nn aa的两边同加待定数 得 nnn aaa 313 1 1 3 令 3 1 得 2 1 3 2 1 2 1 1 nn aa 数列 2 1 n a是公比为 3 的等比数列 an 2 1 13 2 1 3 2 1 11 n n n a 训练 在数列 an 中 12 2 11 nn aaa求 n a 4 分解因式法 分解因式法 当数列的关系式较复杂 可考虑分解因式和约分化为较简形式 再用其它方法求得当数列的关系式较复杂 可考虑分解因式和约分化为较简形式 再用其它方法求得 an 例 4 已知 1 0 1 1 34 rxrxgxxf数列 n a满足1 2 1 n aa n N 且 用心 爱心 专心2 有条件 2 0 111 naafagaa nnnnn 求 解 由题得 0 1 1 0 1 1 11 3 1 4 1 3 11 nnnnnnnn aaaraaaraa即 对 n N 11 0 1 1 111 nnnnnn a r r r aaaara合并同类项得故 再由待定系数法得 1 1 1 1 nn a r r a 1 1 1 n n r r a 5 求差法 求差法 数列有形如数列有形如 1nnn agSSf 的关系 非递推关系 的关系 非递推关系 可考虑用求差 可考虑用求差 nnn aSS 1 后 再用其它初等方法求得后 再用其它初等方法求得 n a 例 5 设 n a是正数组成的数列 其前n项和为 n S 并且对于所有的自然数 n an 与 2 的等 差中项等于 n S与 2 的等比中项 1 写出数列 n a的前 3 项 2 求数列 n a的通项公 式 出题者的意图是 通过 1 问求出数列前 3 项再猜想出通项公式 2 再用数学归 纳法证明猜想正确 实际上用求差法求通项公式更简单 解 1 略 2 由条件 得 2 2 2 n n S a 即 8 2 2 nn Sa 8 2 1 2 1 nn Sa 得 2 1 2 2 2 8 nnn aaa 即 0 2 2 2 1 2 nn aa 分解因式得 0 4 11 nnnn aaaa 对于n n a N 0 4 1 nn aa n a是公差为 4 的等差数列 2 4 142 nnan 6 倒数法 倒数法 数列有形如数列有形如0 11 nnnn aaaaf的关系 可在等式两边同乘以的关系 可在等式两边同乘以 1 1 nna a 先求先求 n a 1 再求得再求得 an 例 6 设数列 n a满足 2 1 a N 3 1 n a a a n n n 求 n a 解 原条件变形为 3 11nnnn aaaa 两边同乘以 1 1 nn aa 得 1 11 31 nn aa 1 1 3 2 11 2 11 2 11 3 n nnn aaa 132 2 1 n n a 用心 爱心 专心3 练习 例 7 设数列 n a是首项为 1 的正项数列 且0 11 nnnn aaaa 求 n a 构造法构造法 有些数列直观上不符合以上各种形式 可对其结构进行适当的变形 以利于使用有些数列直观上不符合以上各种形式 可对其结构进行适当的变形 以利于使用 其他方法其他方法 例 8 正整数列 n a中 1 4 1 2 1 aaa nn 求通项公式 n a 7 复合数列构成等差 等比数列法 复合数列构成等差 等比数列法 数列有形如数列有形如0 12 nnn aaaf 的关系 可把复合数列化为等差数列或等比数列 再用的关系 可把复合数列化为等差数列或等比数列 再用 其它初等方法求得其它初等方法求得 n a 例 7 在数列 n a中 23 3 2 1221nnn aaaaa 求 n a 解 由条件 23 12nnn aaa 2 112nnnn aaaa 2 1 12 n nn aa再用多式相加法可得 1 2 21 21 2 22 2 n n n aa 8 循环法 循环法 数列有形如数列有形如0 12 nnn aaaf 的关系 如果复合数列构不成等差 等比数列 的关系 如果复合数列构不成等差 等比数列 有时可考虑构成循环关系而求出有时可考虑构成循环关系而求出 n a 例 8 在数列 n a中 19981221 5 1aaaaaa nnn 求 解 由条件 11123nnnnnnn aaaaaaa 即 363nnnnn aaaaa 即每间隔 6 项循环一次 1998 6 333 4 61998 aa 9 开方法 开方法 对有些数列 可先求对有些数列 可先求 3 nn aa 或再求再求 n a 例 9 有两个数列 nn ba它们的每一项都是正整数 且对任意自然数 n an n b 1 n a成等差数列 n b 1 n a 1 n b成等比数列 2 3 1 121nn babaa和求 解 由条件有 2bn an an 1 a2n 1 bn bn 1 由 式得 1nnn bba 11 nnn bba 把 代入 得 11 2 nnnnn bbbbb 变形得 nnnnnn bbbbbb 11 n b 0 n b nnn bbb 11 n b 是等差数列 因 2 3 1 121 baa 用心 爱心 专心4 22