轨迹方程的求法及典型例题

1 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 一 知识复习一 知识复习 轨迹方程的求法常见的有 轨迹方程的求法常见的有 1 直接法 直接法 2 定义法 定义法 3 待定系数法 待定系数法 4 参数法 参数法 5 交轨法 交轨法 6 相关点法 相关点法 注意 求轨迹方程时注意去杂点 找漏点注意 求轨迹方程时注意去杂点 找漏点 一 知识复习一 知识复习 例例 1 点 点 P 3 0 是圆 是圆 x2 y2 6x 55 0 内的定点 动圆内的定点 动圆 M 与已知圆相切 且过点与已知圆相切 且过点 P 求圆心 求圆心 M 的轨迹方程 的轨迹方程 2 例例 2 如图所示 已知 如图所示 已知 P 4 0 是圆是圆 x2 y2 36 内的一点 内的一点 A B 是圆上两动点 且满足是圆上两动点 且满足 APB 90 求矩形 求矩形 APBQ 的顶点的顶点 Q 的轨迹方程的轨迹方程 解 设解 设 AB 的中点为的中点为 R 坐标为 坐标为 x y 则在 则在 Rt ABP 中 中 AR PR 又因为又因为 R 是弦是弦 AB 的中点 依垂径定理 在的中点 依垂径定理 在 Rt OAR 中 中 AR 2 AO 2 OR 2 36 x2 y2 又又 AR PR 22 4 yx 所以有所以有 x 4 2 y2 36 x2 y2 即即 x2 y2 4x 10 0 因此点因此点 R 在一个圆上 而当在一个圆上 而当 R 在此圆上运动时 在此圆上运动时 Q 点即在所求的轨迹上运动点即在所求的轨迹上运动 设设 Q x y R x1 y1 因为 因为 R 是是 PQ 的中点 所以的中点 所以 x1 2 0 2 4 1 y y x 代入方程代入方程 x2 y2 4x 10 0 得得 10 0 2 4 4 2 2 4 22 xyx 整理得 整理得 x2 y2 56 这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程 3 例例 3 如图 如图 直线直线 L1和和 L2相交于点相交于点 M L1 L2 点点 N L1 以以 A B 为端点的曲线段为端点的曲线段 C 上的任一点到上的任一点到 L2的距离与到点的距离与到点 N 的距离相等的距离相等 若若 AMN 为锐角三角形为锐角三角形 AM AN 17 3 且且 BN 6 建立适当的坐标系建立适当的坐标系 求曲线段求曲线段 C 的方程的方程 解法一 如图建立坐标系 以l1为x轴 MN的垂直平分线为y轴 点O为坐标原点 依题意知 曲线段C是以点N为焦点 以l2为准线的抛物线的一段 其中A B分别为C的端点 设曲线段C的方程为 0 0 2 2 yxxxppxy BA 其中xA xB分别为A B的横坐标 P MN 2 92 2 1 172 2 3 17 0 2 0 2 2 2 AA AA px p x px p x ANAM p N p M 得由 所以 由 两式联立解得 再将其代入 式并由p 0解得 p xA 4 2 2 1 4 AA x p x p 或 因为 AMN是锐角三角形 所以 故舍去 A x p 2 2 2 A x p p 4 xA 1 由点B在曲线段C上 得 4 2 p BNxB 4 综上得曲线段C的方程为 0 41 8 2 yxxy 解法二 如图建立坐标系 分别以l1 l2为 轴 M为坐标原点 作AE l1 AD l2 BF l2垂足分别为E D F 设A xA yA B xB yB N xN 0 依题意有 0 63 2 8 0 6 4 22 3 2 222 22 22 yxxy C yxxxxyxxyx PCyxP NBBEx AEAMME ENMEx AMN DAAMDMy ANDAMEx BAN B N A A 的方程故曲线段 属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点 为锐角三角形故有由于 5 例例 4 已知两点 已知两点以及一条直线以及一条直线 y x 设长为 设长为的线段的线段 AB 在直线在直线 上移动 上移动 2 0 2 2 QP 2 求直线求直线 PA 和和 QB 交点交点 M 的轨迹方程 的轨迹方程 解 解 PA 和和 QB 的交点的交点 M x y 随 随 A B 的移动而变化 故可设的移动而变化 故可设 1 1 ttBttA 则则 PA QB 2 2 2 2 2 tx t t y 1 1 1 2 tx t t y 消去消去 t 得 得 0 822 22 yxyx 当当 t 2 或 或 t 1 时 时 PA 与与 QB 的交点坐标也满足上式 所以点的交点坐标也满足上式 所以点 M 的轨迹方程是的轨迹方程是 0 8222 22 yxxyx 6 例例 5 设点 设点 A 和和 B 为抛物线为抛物线 y2 4px p 0 上原点以外的两个动点 已知上原点以外的两个动点 已知 OA OB OM AB 求点 求点 M 的轨迹方程 并说明它表示什么曲线的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 解法一 设解法一 设 M x y 直线 直线 AB 的方程为的方程为 y kx b 由由 OM AB 得 得 k y x 由由 y2 4px 及及 y kx b 消去 消去 y 得得 k2x2 2kb 4p x b2 0 所以所以 x1x2 y1y2 2 2 k b k pb4 由由 OA OB 得 得 y1y2 x1x2 所以所以 b 4kp k pk4 2 2 k b 故故 y kx b k x 4p 得得 x2 y2 4px 0 x 0 故动点故动点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为 x2 y2 4px 0 x 0 它表示以它表示以 2p 0 为圆心 以为圆心 以 2p 为半径的圆 去掉坐标原点为半径的圆 去掉坐标原点 7 解法二 设解法二 设 A x1 y1 B x2 y2 M x y 依题意 有依题意 有 1 1 21 21 21 21 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 4 4 xx yy xx yy xx yy x y x y x y pxy pxy 得得 y1 y2 y1 y2 4p x1 x2 若若 x1 x2 则有则有 得得 y12 y22 16p2x1x2 代入上式代入上式 2121 21 4 yy p xx yy 有有 y1y2 16p2 代入代入 得 得 代入代入 得 得所以所以 y x yy p 21 4 p y x yy xx yy yy p 4 4 2 1 1 1 1 21 2 1 1 21 4 44 ypx yyp yy p 即即 4px y12 y y1 y2 y12 y1y2 代入上式 得代入上式 得 x2 y2 4px 0 x 0 当当 x1 x2时 时 AB x 轴 易得轴 易得 M 4p 0 仍满足方程仍满足方程 故点故点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为 x2 y2 4px 0 x 0 它表示以它表示以 2p 0 为圆心 以为圆心 以 2p 为半径的圆 为半径的圆 去掉坐标原点去掉坐标原点 8 轨轨 迹迹 方方 程程 练习练习 1 1 08 山东文 山东文 22 已知曲线已知曲线 所围成的封闭图形的面积为所围成的封闭图形的面积为 1 C 1 0 xy ab ab 曲线 曲线的内切圆半径为的内切圆半径为 记 记为以曲线为以曲线与坐与坐4 5 1 C 2 5 3 2 C 1 C 标轴的交点为顶点的椭圆 标轴的交点为顶点的椭圆 1 求椭圆求椭圆的标准方程 的标准方程 2 C 2 设设是过椭圆是过椭圆中心的任意弦 中心的任意弦 是线段是线段的的AB 2 CLAB 垂直平分线 垂直平分线 是是上异于椭圆中心的点 上异于椭圆中心的点 ML 若若 为坐标原点为坐标原点 当点 当点在椭圆在椭圆上上 MO OAOA 2 C 运动时 求点运动时 求点的轨迹方程 的轨迹方程 M 若若是是与椭圆与椭圆的交点 求的交点 求的面积的最小值 的面积的最小值 ML 2 CAMB 9 解 1 由题意得 22 24 5 2 5 3 ab ab ab 45 22 ba 椭圆方程 1 22 54 xy 2 若 AB 所在的斜率存在且不为零 设 AB 所在直线方程为 y kx k 0 A AA yx 由 22 1 54 xy ykx 2 22 22 2020 4545 AA k xy kk 2 222 2 20 1 45 AA k OAxy k 设 M x y 由 MO OA 0 MO 2 2 OA 2 2 222 2 20 1 45 k xy k 因为 L 是 AB 的垂直平分线 所以直线 L 的方程为 y k 代入上式有 1 x k x y 由 2 222 2222 222 2 20 1 20 45 45 x xyy xy xyx y 0 22 yx 222 5420 xy 当 k 0 或不存时 上式仍然成立 综上所述 M 的轨迹方程为 0 22 2 45 xy 当 k 存在且 k 0 时 OA 2 2 22 22 2020 4545 AA k xy kk 2 22 2 20 1 45 AA k xy k 由 22 1 54 1 xy yx k 2 22 22 2020 5454 MM k xy kk 2 2 2 20 1 54 k OM k 2222 22 1111 20 1 20 1 4554 kk OAOM kk 20 9 10 22 2119 20OAOB OAOM OBOA 9 40 2 2 1 OBOAS AMB OBOA 9 40 当且仅当 4 5k2 5 4k2时 即 k 1 时等号成立 当 140 02 522 5 29 AMB kS 当 k 不存在时 140 542 5 29 AMB S 综上所述 的面积的最小值为 AMB 40 9 11 2 2 07 江西理 江西理 21 设动点 设动点P到点到点 10 A 和和 10 B 的距离分别为的距离分别为 1 d和和 2 d 2APB 且 且 存在常数存在常数 01 使得 使得 2 12sin d d 1 证明 动点证明 动点P的轨迹的轨迹C为双曲线 并求出为双曲线 并求出C的方程 的方程 2 过点过点B作直线与双曲线作直线与双曲线C的右支于的右支于MN 两点 试确定两点 试确定 的范围 使的范围 使 0 OMON 其中点其中点O为坐标原点 为坐标原点 12 解 1 在PAB 中 2AB 即 222 1212 22cos2ddd d 22 1212 4 4sinddd d 即 2 1212 44sin2 12ddd d 常数 点P的轨迹C是以AB 为焦点 实轴长22 1a 的双曲线 方程为 22 1 1 xy 2 设 11 M xy 22 N xy 当MN垂直于x轴时 MN的方程为1x 11 M 11 N 在双曲线上 即 2 1115 110 12 因为01 所以 51 2 当MN不垂直于x轴时 设MN的方程为 1 yk x 由 22 1 1 1 xy yk x 得 2222 1 2 1 1 0kxk xk 由题意知 2 1 0k 2 12 2 2 1 1 k xx k 2 12 2 1 1 k x x k 22 2 1212 2 1 1 1 k y ykxx k 由 0 且MN 在双曲线右支上 OMON 13 所以 2 1212 2 2 12 22 12 1 0 1 512 1 011 23 100 1 x xy y k xx k x x 由 知 3 2 2 15 3 3 0909 海南 海南 已知椭圆已知椭圆的中心为直角坐标系的中心为直角坐标系的原点 焦点在的原点 焦点在 轴上 它的一个轴上 它的一个CxOyx 顶点到两个焦点的距离分别是顶点到两个焦点的距离分别是 7 和和 1 1 求椭圆 求椭圆的方程 的方程 2 若 若为椭圆为椭圆上的动上的动CPC 点 点 为过为过且垂直于且垂直于 轴的直线上的点 轴的直线上的点 e 为椭圆为椭圆 C 的离心率 的离心率 求点 求点的的MPx 2 OP e OM M 轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 14 解 设椭圆长半轴长及分别为 a c 由已知得a 4 c 3椭圆 C 的 7 1 ca ca 方程为 22 1 167 xy 2 设 M x y P 0 x 0 y 其中 4 4 x 有 0 x 0 x 22 00 1 167 xy 由得 OP e OM 22 4 00 22 xy e xy 16 9 故 2222 00 16 9 xyxy 下面是寻找关系式 f x y 0 x g x y 的过程 0 y 又 16 7112 2 2 0 22 0 x y xx 式代入 并整理得 所以点 M 的轨迹是两条平行于 22 00 1 167 xy 4 7 44 3 yx x 轴的线段 15 轨轨 迹迹 方方 程程 练习练习 2 4 09 重庆理 已知以原点 重庆理 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为为中心的椭圆的一条准线方程为 4 3 3 y 离心率 离心率 3 2 e M 是椭圆上的动点 是椭圆上的动点 1 若若 C D 的坐标分别是的坐标分别是 0 3 0 3 求 求 的最大值 的最大值 21 世纪教育网世纪教育网 MC MD 2 如图 点如图 点 A 的坐标为的坐标为 1 0 点 点 B 是圆是圆 22 1xy 上的点 点上的点 点 N 是点是点 M 椭圆上的点椭圆上的点 在在x轴上的射影 点轴上的射影 点 Q 满满 足条件 足条件 0 求线段 求线段 QB 的中点的中点 P 的轨迹方程 的轨迹方程 OQOMONQABA 16 解 1 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab a b 0 准线方程 4 3 3 y 3 2 e c a 2 a c 2 a3 2 c 椭圆方程为 2 2 1 4 y x 所以 C D 是椭圆 2 2 1 4 y x 的两个焦点 4 1 b MC MD MC 当且仅当 即点 M 的坐标为 1 0 时上式取等号 MD4 2 2 MDMC MC MD MC 的最大值为 4 MD 2 设M mmBB xyB xy QQ Q xy N 0 m x 44 22 mm yx1 22 BB yx 由 OQOMON mQ xx2 mQ yy 4 2 2222 mmQQ yxyx 由 0QABA 0 QQ yx 1 BB yx 1 Q x 1 B x 1 BQy y BQBQ yyxx1 BQ xx 记 P 点的坐标为 因为 P 是的中点 P x P yBQ BQP xxx 2 BQP yyy 2 2222 2 2 BQBQ PP yyxx yx 22 4 1 2222 BQBQBQBQ yyxxyyxx 1 25 4 1 BQ xx 245 4 1 P x PPP xyx 4 3 22 动点 P 的方程为 1 2 1 22 yx 17 5 09 安徽 安徽 已知椭圆已知椭圆 1 a a b b 0 0 的离心率为 的离心率为 以原点为圆心 以椭圆短半轴长为半径的圆 以原点为圆心 以椭圆短半轴长为半径的圆 2 2 a x 2 2 b y 3 3 与直线与直线 y y x x 2 2 相切 相切 1 1 求 求 a a 与与 b b 的值 的值 2 2 设该椭圆的左 右焦点分别为 设该椭圆的左 右焦点分别为和和 直线 直线过过且与且与 x x 轴垂直 动直线轴垂直 动直线与与 y y 轴垂直 轴垂直 交交于点于点 p p 1 F 2 F 1 L 2 F 2 L 2 L 1 L 求线段求线段的垂直平分线与直线的垂直平分线与直线的交点的交点 M M 的轨迹方程 并指明曲线类型的轨迹方程 并指明曲线类型 1 PF 2 L 18 解 1 e 又圆心 0 0 到直线 y x 2 的距离 d 半径 b 3 3 2 2 a b 3 2 22 11 2 2 3 2 b 2 a1 23 22 yx 2 1 0 1 0 由题意可设 P 1 t t 0 那么线段的中点为 N 0 1 F 2 F 1 PF 2 t 的方程为 y t 设 M 是所求轨迹上的任意点 2 L MM yx 下面求直线 MN 的方程 然后与直线的方程联立 求交点 M 的轨迹方程 2 L 直线的斜率 k 线段的中垂线 MN 的斜率 1 PF 2 t 1 PF t 2 所以 直线 MN 的方程为 y x 由 2 t t 2 2 2t x t y ty ty t x M M 4 2 消去参数 t 得 即 MM xy4 2 其轨迹为抛物线 除原点 xy4 2 又解 由于 x y x y 0 MN 2 t 1 PF 2 t MN 1 PF 消参数 t 得 x 0 其轨迹为抛物线 除原点 ty y t x t x0 2 2 xy4 2 6 07 湖南理湖南理 20 已知双曲线 已知双曲线的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为 过点 过点的动直线与双曲线相交于的动直线与双曲线相交于 22 2xy 1 F 2 F 2 F 两点 两点 直接法求轨迹直接法求轨迹 AB 1 若动点 若动点满足满足 其中 其中为坐标原点 为坐标原点 求点 求点的轨迹方程 的轨迹方程 M 1111 FMF AFBFO OM 2 在在轴上是否存在定点轴上是否存在定点 使 使 为常数 若存在 求出点为常数 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 的坐标