【志鸿优化设计】（山东专用）2014届高考数学一轮复习 第六章数列6.1数列的概念与简单表示法教学案 理新人教A版

1 第六章第六章 数列数列 6 16 1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 考纲要求考纲要求 1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公式 2 了解数列是自变量为正整数的一类函数 1 数列的概念 按照一定 排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 数列 中的每一项都和它的 有关 排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 通常也叫做 往后各项依次叫做这个数列的第 2 项 第n项 数列的一般形式可以写成a1 a2 a3 an 其中 是数列的第n项 我们 把上面的数列简记为 2 数列的分类 分类原则类型满足条件 有穷数列项数 项数 无穷数列项数 递增数列an 1 an 递减数列an 1 an 项与项间 的大小 关系常数列an 1 an 其中 n N N 其他 标准 摆动数列 从第 2 项起 有些项大于它 的前一项 有些项小于它的 前一项 3 数列的表示法 1 列举法 a1 a2 a3 an 2 图象法 数列可用一群孤立的点表示 3 解析法 公式法 通项公式或递推公式 4 数列的通项公式 如果数列 an 的 可以用一个公式 来表示 那么这个公式 叫做这个数列的通项公式 通项公式可以看成数列的函数 5 递推公式 如果已知数列 an 的首项 或前几项 且任意一项an与an 1 或其前面的项 之间的关 系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做数列的递推公式 它是数列的一种表示法 6 数列与函数的内在联系 从映射 函数的观点看 数列可以看作是一个定义域为 的函数 即当自变 量从小到大依次取值时对应的一列 而数列的 也就是相应函数的解析式 1 数列 1 的一个通项公式an是 2 3 3 5 4 7 5 9 A B C D n 2n 1 n 2n 1 n 2n 3 n 2n 3 2 在数列 an 中 已知a1 a a2 b an 1 an 1 an n 2 则a92等于 A a B b C b a D a b 3 已知数列 an 的通项an a b c都是正实数 则an与an 1的大小关系是 na nb c A an an 1 B an an 1 C an an 1 D 不能确定 4 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn n n2 则a4 2 5 数列 an 的通项公式an 则a2 011 3 是此数列的 1 n n 110 第 项 一 由数列的前几项 求数列的通项公式 例 1 写出下面各数列的一个通项公式 1 3 5 7 9 2 1 2 3 4 7 8 15 16 31 32 3 2 3 4 15 6 35 8 63 10 99 方法提炼方法提炼 1 观察法就是观察数列的特征 找出各项共同的规律 横看 各项之间的关系结构 纵看 各项与项数n的关系 从而确定数列的通项公式 2 利用观察法求数列的通项时 要抓住以下几个特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 4 各项符号特征等 并对此进行归纳 联想 3 1 根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着 从特 殊到一般 的思想 由不完全归纳得出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符 号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 2 数列的通项公式不唯一 如数列 1 1 1 1 的通项公式可以为an 1 n 或an Error 有的数列没有通项公式 请做演练巩固提升 3 二 由递推公式求数列的通项公式 例 2 2012 大纲全国高考 已知数列 an 中 a1 1 前n项和Sn an n 2 3 1 求a2 a3 2 求 an 的通项公式 方法提炼方法提炼 由a1和递推关系求通项公式 可观察其特点 一般常利用 累加法 累乘法 等 1 已知a1且an an 1 f n n 2 可以用 累加法 即an an 1 f n an 1 an 2 f n 1 a3 a2 f 3 a2 a1 f 2 所有等式左右两边分别相加 代入a1得an 2 已知a1且 f n n 2 可以用 累乘法 an an 1 即 f n f n 1 f 3 f 2 所有等式左右两边分别 an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 相乘 代入a1得an 请做演练巩固提升 1 三 已知数列的前n项和求通项公式 例 3 数列 an 的前n项和为Sn a1 1 an 1 Sn n 1 2 3 求an 1 3 方法提炼方法提炼 1 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an Error 当n 1 时 a1若适合 an Sn Sn 1 则n 1 的情况可并入n 2 时的通项an 当n 1 时 a1若不适合 Sn Sn 1 则用分段函数的形式表示 2 转化思想是数学中最基本 最常用的一种解题策略 数列中的转化更是层出不穷 3 如Sn和an的转化 请做演练巩固提升 4 忽视数列的项数n的范围而致误 典例 已 知数列 an 满足a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 an n 解析 解析 an 1 an 2n an an 1 2 n 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33 适合上式 an n2 n 33 n 1 an n 33 n 令f x x 1 x 0 则f x 1 33 x 33 x2 令f x 0 得x 33 当 0 x 时 f x 0 33 当x 时 f x 0 33 即f x 在区间 0 上递减 在区间 上递增 3333 又 5 6 33 且f 5 5 1 f 6 6 1 33 5 53 5 11 2 21 2 f 5 f 6 当n 6 时 有最小值 an n 21 2 答案 答案 21 2 答题指导 1 在解答本题时 以下几点容易出错 1 an求错 2 求的最小值时 直接 使用基本不等式 忽视了等号成立的条件 an n 3 求的最小值时 误认为是n 5 时的值最小 an n 2 解决此类数列问题时 以下几点在备考时要高度关注 1 用 累加法 求an时 不要忘记加上a1 2 在用基本不等式求的最小值时 由于等号成立的条件 n N N 不满足 故不 an n33 能使用基本不等式求最小值 而应借助函数的单调性求解 1 在数列 an 中 若a1 an n 2 n N N 则a2 012 1 2 1 1 an 1 A B 2 C D 2 1 2 1 2 2 将石子摆成如图的梯形形状 称数列 5 9 14 20 为梯形数 根据图形的构成 此数列的第 2 012 项与 5 的差即a2 012 5 A 2 018 2 012 B 2 018 2 011 C 1 009 2 012 D 1 009 2 011 4 3 写出下面各数列的一个通项公式 1 1 3 2 1 3 3 4 1 5 3 6 2 3 33 333 3 333 4 已知数列 an 的前n项和为Sn 求下列条件下数列的通项公式an 1 Sn 2 5n 2 2 若S1 1 Sn 1 3Sn 2 5 已知在数列 an 中 an n2 kn n N N 且 an 单调递增 求k的取值范围 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理 1 顺序 项 序号 首项 an an 2 有限 无限 4 第n项与序号n之间的关系 an f n 解析式 6 正整数集 N N 函数值 通项公式 基础自测 1 B 解析 解析 由已知得 数列可写成 故通项为 1 1 2 3 3 5 n 2n 1 2 B 3 B 解析 解析 an na nb c a b c n y 是减函数 c n y 是增函数 a b c n an an 1 故选 B 4 6 解析 解析 a4 S4 S3 4 42 3 32 6 5 2 9 解析 解析 a2 011 5032 011 1 2 011 2 012 2 0122 011 2 5032 011 又 3 10109 1 10 9 n 9 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 解 1 各项减去 1 后为正偶数 所以an 2n 1 2 每一项的分子比分母少 1 而分母组成数列 21 22 23 24 所以an 2n 1 2n 3 注意到分母分别是 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 为两个连续奇数的积 故所 求数列的通项公式为an 2n 2n 1 2n 1 例 2 解 解 1 由S2 a2得 3 a1 a2 4a2 解得a2 3a1 3 4 3 由S3 a3得 3 a1 a2 a3 5a3 解得a3 a1 a2 6 5 3 3 2 2 由题设知a1 1 当n 1 时有an Sn Sn 1 an an 1 n 2 3 n 1 3 整理得an an 1 n 1 n 1 于是a1 1 6 a2 a1 3 1 a3 a2 4 2 an 1 an 2 n n 2 an an 1 n 1 n 1 将以上n个等式两端分别相乘 整理得an n n 1 2 综上 an 的通项公式an n n 1 2 例 3 解 解 an 1 Sn 1 3 an Sn 1 n 2 1 3 an 1 an Sn Sn 1 an n 2 1 3 1 3 an 1 an n 2 4 3 又a1 1 a2 S1 a1 1 3 1 3 1 3 an 是从第二项起 公比为 的等比数列 4 3 an n 2 1 3 4 3 an Error 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 解析 解析 a1 an n 2 n N N 1 2 1 1 an 1 a2 2 a3 1 a4 1 2 an 是以 3 为周期的数列 a2 012 a670 3 2 a2 2 故选 B 2 D 解析 解析 结合图形可知 该数列的第n项an 2 3 4 n 2 所以a2 012 5 4 5 2 014 4 2 011 2 011 1 009 故选 2 011 2 010 2 D 3 解 解 1 奇数项为负 偶数项为正 故通项公式中含有因子 1 n 各项绝对值的 分母组成数列 1 2 3 4 而各项绝对值的分子组成的数列中 奇数项为 1 偶数项为 3 即奇数项为 2 1 偶数项为 2 1 所以an 1 n 2 1 n n 也可写为an Error 2 数列各项改写为 分母都是 3 而分子是 9 3 99 3 999 3 9 999 3 10 1 102 1 103 1 104 1 an 10n 1 1 3 7 4 解 解 1 当n 1 时 a1 S1 2 5 2 8 当n 2 时 an Sn Sn 1 2 5n 2 2 5n 1 2 8 5n 1 当n 1时也适合an 故an 8 5