2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 1 页 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 全国新课标卷全国新课标卷 II II 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 2013 课标全国 理 1 已知集合M x x 1 2 4 x R R N 1 0 1 2 3 则M N A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 2 3 D 0 1 2 3 2 2013 课标全国 理 2 设复数z满足 1 i z 2i 则z A 1 i B 1 I C 1 i D 1 i 3 2013 课标全国 理 3 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 则a1 A B C D 1 3 1 3 1 9 1 9 4 2013 课标全国 理 4 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 A 且 l B 且 l C 与 相交 且交线垂直于 l D 与 相交 且交线平行于 l 5 2013 课标全国 理 5 已知 1 ax 1 x 5的展开式中x2的系数为 5 则a A 4 B 3 C 2 D 1 6 2013 课标全国 理 6 执行下面的程序框图 如果输入的N 10 那么输出的 S A 111 1 2310 B 111 1 2 3 10 C 111 1 2311 D 111 1 2 3 11 7 2013 课标全国 理 7 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到的正视图 可以为 8 2013 课标全国 理 8 设a log36 b log510 c log714 则 A c b a B b c a C a c b D a b c 9 2013 课标全国 理 9 已知a 0 x y满足约束条件若z 2x y的最小值为 1 则 1 3 3 x xy ya x a 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 2 页 A B C 1 D 2 1 4 1 2 10 2013 课标全国 理 10 已知函数f x x3 ax2 bx c 下列结论中错误的是 A x0 R f x0 0 B 函数 y f x 的图像是中心对称图形 C 若 x0 是 f x 的极小值点 则 f x 在区间 x0 单调递减 D 若 x0 是 f x 的极值点 则 f x0 0 11 2013 课标全国 理 11 设抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 点M在C上 MF 5 若以MF 为直径的圆过点 0 2 则C的方程为 A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 12 2013 课标全国 理 12 已知点A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线y ax b a 0 将 ABC分割为 面积相等的两部分 则b的取值范围是 A 0 1 B C D 2 1 1 22 2 1 1 23 1 1 3 2 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 13 2013 课标全国 理 13 已知正方形ABCD的边长为 2 E为CD的中点 则 AE BD 14 2013 课标全国 理 14 从n个正整数 1 2 n中任意取出两个不同的数 若取出的两数之 和等于 5 的概率为 则n 1 14 15 2013 课标全国 理 15 设 为第二象限角 若 则 sin cos 1 tan 42 16 2013 课标全国 理 16 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知S10 0 S15 25 则nSn的最小 值为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2013 课标全国 理 17 本小题满分 12 分 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知 a bcos C csin B 1 求B 2 若b 2 求 ABC面积的最大值 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 3 页 18 2013 课标全国 理 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别是AB BB1 的中点 AA1 AC CB 2 2 AB 1 证明 BC1 平面A1CD 2 求二面角D A1C E的正弦值 19 2013 课标全国 理 19 本小题满分 12 分 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 1 t 该产品获利润 500 元 未售出的产品 每 1 t 亏损 300 元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经销该农产品 的利润 1 将T表示为X的函数 2 根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 并以需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105 的概率等于需 求量落入 100 110 的频率 求T的数学期望 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 4 页 20 2013 课标全国 理 20 本小题满分 12 分 平面直角坐标系xOy中 过椭圆 M a b 0 右焦点的直线交M于A B两点 P为AB的中点 且OP的斜率 22 22 1 xy ab 30 xy 为 1 2 1 求M的方程 2 C D为M上两点 若四边形ACBD的对角线CD AB 求四边形ACBD面积的最大值 21 2013 课标全国 理 21 本小题满分 12 分 已知函数f x ex ln x m 1 设x 0 是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2 时 证明f x 0 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 5 页 请考生在第 22 23 24 题中任选择一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写清题号 22 2013 课标全国 理 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点D E F分别为弦AB与弦AC上的点 且 BC AE DC AF B E F C四点共圆 1 证明 CA是 ABC外接圆的直径 2 若DB BE EA 求过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值 23 2013 课标全国 理 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知动点P Q都在曲线C t为参数 上 对应参数分别为t 与t 2 0 2 2cos 2sin xt yt M为PQ的中点 1 求M的轨迹的参数方程 2 将M到坐标原点的距离d表示为 的函数 并判断M的轨迹是否过坐标原点 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 6 页 24 2013 课标全国 理 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ac 1 3 2 222 1 abc bca 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 7 页 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 全国新课标卷全国新课标卷 II II 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 答案 答案 A 解析 解析 解不等式 x 1 2 4 得 1 x 3 即M x 1 x 3 而N 1 0 1 2 3 所以 M N 0 1 2 故选 A 2 答案 答案 A 解析 解析 1 i 2i2i 1 i 1 i1 i 1 i z 22i 2 3 答案 答案 C 解析 解析 设数列 an 的公比为q 若q 1 则由a5 9 得a1 9 此时S3 27 而a2 10a1 99 不满足 题意 因此q 1 q 1 时 S3 a1 q 10a1 3 1 1 1 aq q q 10 整理得q2 9 3 1 1 q q a5 a1 q4 9 即 81a1 9 a1 1 9 4 答案 答案 D 解析 解析 因为m l m l 所以l 同理可得l 又因为m n为异面直线 所以 与 相交 且l平行于它们的交线 故选 D 5 答案 答案 D 解析 解析 因为 1 x 5的二项展开式的通项为 0 r 5 r Z Z 则含x2的项为 5 Cr r x ax 10 5a x2 所以 10 5a 5 a 1 22 5 C x 1 5 C x 6 答案 答案 B 解析 解析 由程序框图知 当k 1 S 0 T 1 时 T 1 S 1 当k 2 时 1 2 T 1 1 2 S 当k 3 时 1 2 3 T 11 1 22 3 S 当k 4 时 1 2 3 4 T 111 1 22 32 3 4 S 当k 10 时 k增加 1 变为 11 满足k N 输出S 1 2 3 410 T 111 1 2 3 10 S 所以 B 正确 7 答案 答案 A 解析 解析 如图所示 该四面体在空间直角坐标系O xyz的图像为下图 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 8 页 则它在平面zOx上的投影即正视图为 故选 A 8 答案 答案 D 解析 解析 根据公式变形 因为 lg 7 lg lg6lg2 1 lg3lg3 a lg10lg2 1 lg5lg5 b lg14lg2 1 lg7lg7 c 5 lg 3 所以 即c b a 故选 D lg2lg2lg2 lg7lg5lg3 9 答案 答案 B 解析 解析 由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示 1 3 x xy 作直线 2x y 1 因为直线 2x y 1 与直线x 1 的交点坐标为 1 1 结合题意知直线y a x 3 过点 1 1 代入得 所以 1 2 a 1 2 a 10 答案 答案 C 解析 解析 x0是f x 的极小值点 则y f x 的图像大致如下图所示 则 在 x0 上不单调 故 C 不正确 11 答案 答案 C 解析 解析 设点M的坐标为 x0 y0 由抛物线的定义 得 MF x0 5 则x0 5 2 p 2 p 又点F的坐标为 所以以MF为直径的圆的方程为 x x0 y y0 y 0 0 2 p 2 p x 将x 0 y 2 代入得px0 8 4y0 0 即 4y0 8 0 所以y0 4 2 0 2 y 由 2px0 得 解之得p 2 或p 8 2 0 y1625 2 p p 所以C的方程为y2 4x或y2 16x 故选 C 12 答案 答案 B 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 9 页 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 答案 答案 2 解析 解析 以AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系 如图所示 则点A的坐标为 0 0 点B的坐标为 2 0 点D的坐标为 0 2 点E的坐标为 1 2 则 1 2 2 2 所以AE BD 2AE BD 14 答案 答案 8 解析 解析 从 1 2 n中任取两个不同的数共有种取法 两数之和为 2 Cn 5 的有 1 4 2 3 2 种 所以 即 2 21 C14 n 241 1 114 2 n n n n 解得n 8 15 答案 答案 10 5 解析 解析 由 得 tan 即 sin cos 1tan1 tan 41tan2 1 3 1 3 将其代入 sin2 cos2 1 得 2 10 cos1 9 因为 为第二象限角 所以 cos sin sin cos 3 10 10 10 10 10 5 16 答案 答案 49 解析 解析 设数列 an 的首项为a1 公差为d 则S10 10a1 45d 0 1 10 9 10 2 ad S15 15a1 105d 25 1 15 14 15 2 ad 联立 得a1 3 2 3 d 所以Sn 2 1 2110 3 2333 n n nnn 令f n nSn 则 32 110 33 f nnn 2 20 3 fnnn 令f n 0 得n 0 或 20 3 n 当时 f n 0 时 f n 0 所以当时 f n 取最小值 而n N N 则 20 3 n 20 0 3 n 20 3 n f 6 48 f 7 49 所以当n 7 时 f n 取最小值 49 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 由已知及正弦定理得 sin A sin Bcos C sin Csin B 又A B C 故 sin A sin B C sin Bcos C cos Bsin C 由 和C 0 得 sin B cos B 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 10 页 又B 0 所以 4 B 2 ABC的面积 12 sin 24 SacBac 由已知及余弦定理得 4 a2 c2 2cos 4 ac 又a2 c2 2ac 故 当且仅当a c时 等号成立 4 22 ac 因此 ABC面积的最大值为 2 1 18 解 1 连结AC1交A1C于点F 则F为AC1中点 又D是AB中点 连结DF 则BC1 DF 因为DF 平面A1CD BC1平面A1CD 所以BC1 平面A1CD 2 由AC CB 得 AC BC 2 2 AB 以C为坐标原点 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz CA 设CA 2 则D 1 1 0 E 0 2 1 A1 2 0 2 1 1 0 0 2 1 2 0 2 CD CE 1 CA 设n n x1 y1 z1 是平面A1CD的法向量 则即 1 0 0 CD CA n n 11 11 0 220 xy xz 可取n n 1 1 1 同理 设m m是平面A1CE的法向量 则可取m m 2 1 2 1 0 0 CE CA m m 从而 cos n n m m 3 3 n m n m 故 sin n n m m 6 3 即二面角D A1C E的正弦值为 6 3 19 解 1 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39 000 当X 130 150 时 T 500 130 65 000 所以 80039000 100130 65000 130150 XX T X 2 由 1 知利润T不少于 57 000 元当且仅当 120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为 0 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0 7 3 依题意可得T的分布列为 T45 00053 00061 00065 000 P0 10 20 30 4 所以ET 45 000 0 1 53 000 0 2 61 000 0 3 65 000 0 4 59 400 20 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 11 页 解 1 设A x1 y1 B x2 y2 P x0 y0 则 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 21 21 1 yy xx 由此可得 2 2121 2 2121 1 bxxyy ayyxx 因为x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 0 0 1 2 y x 所以a2 2b2 又由题意知 M的右焦点为 0 故a2 b2 3 3 因此a2 6 b2 3 所以M的方程为 22 1 63 xy 2 由 22 30 1 63 xy xy 解得或 4 3 3 3 3 x y 0 3 x y 因此 AB 4 6 3 由题意可设直线CD的方程为 y 5 3 3 3 xnn 设C x3 y3 D x4 y4 由得 3x2 4nx 2n2 6 0 22 1 63 yxn xy 于是x3 4 2 22 9 3 nn 因为直线CD的斜率为 1 所以 CD 2 43 4 2 9 3 xxn 由已知 四边形ACBD的面积 2 18 6 9 29 SCDABn 当n 0 时 S取得最大值 最大值为 8 6 3 所以四边形ACBD面积的最大值为 8 6 3 21 解 1 f x 1 ex xm 由x 0 是f x 的极值点得f 0 0 所以m 1 2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 12 页 于是f x ex ln x 1 定义域为 1 f x 1 e 1 x x 函数f x 在 1 单调递增 且f 0 0 1 e 1 x x 因此当x 1 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 所以f x 在 1 0 单调递减 在 0 单调递增 2 当m 2 x m 时 ln x m ln x 2 故只需证明当m 2 时 f x 0 当m 2 时 函数f x 在 2 单调递增 1 e 2 x x 又f 1 0 f 0 0 故f x 0 在 2 有唯一实根x0 且x0 1 0 当x 2 x0 时 f x 0 当x x0 时 f x 0