高中数学 2.3平面向量基本定理及坐标表示（一）教案 新人教A版必修4

用心 爱心 专心1 平面向量基本定理 平面向量的正交分解和坐标表示及运算平面向量基本定理 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的 1 了解平面向量基本定理 理解平面向量的坐标的概念 2 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 初步掌握应用向量解决实际 问题的重要思想方法 3 能够在具体问题中适当地选取基底 使其他向量都能够用基底来表达 教学重点 平面向量基本定理 教学难点 平面向量基本定理的理解与应用 向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程 一 复习引入 1 实数与向量的积 实数 与向量a 的积是一个向量 记作 a 1 a a 2 0 时 a 与a 方向相同 0 时 a 与a 方向相反 0 时 a 0 2 运算定律 结合律 a a 分配律 a a a a b a b 3 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则 有且只有一个非零实数 使b a 二 讲解新课 1 思考 1 给定平面内两个向量 1 e 2 e 请你作出向量 3 1 e 2 2 e 1 e 2 2 e 2 同一平面内的任一向量是否都可以用形如 1 1 e 2 2 e的向量表示 平面向量基本定理 如果 1 e 2 e是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任 一向量a 有且只有一对实数 1 2使a 1 1 e 2 2 e 2 探究 1 我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 基底不惟一 关键是不共线 3 由定理可将任一向量a在给出基底 的条件下进行分解 4 基底给定时 分解形式惟一 1 2是被a 1 e 2 e唯一确定的数量 3 讲解范例 用心 爱心 专心2 例 1 已知向量 1 e 2 e 求作向量 2 5 1 e 3 2 e 例 2 本题实质是 4 练习 1 1 设e1 e2是同一平面内的两个向量 则有 D A e1 e2一定平行 B e1 e2的模相等 C 同一平面内的任一向量a都有a e1 e2 R D 若e1 e2不共线 则同一平面内的任一向量a都有a e1 ue2 u R 2 已知向量a e1 2e2 b 2e1 e2 其中e1 e2不共线 则a b与c 6e1 2e2的关系 A 不共线 B 共线 C 相等 D 无法确定 已知 1 0 2 0 e1 e2是一组基底 且a 1e1 2e2 则a与e1不共线 a与e2不共 线 填共线或不共线 5 向量的夹角 已知两个非零向量a b 作aAO bBO 则 AOB 叫向量a b 的 夹角 当 0 a b 同向 当 180 a b 反向 当 90 a 与b 垂直 记作a b 6 平面向量的坐标表示 1 正交分解 把向量分解为两个互相垂直的向量 2 思考 在平面直角坐标系中 每一个点都可以用一对有序实数表示 平面内的每一个向量 如何表示呢 如图 在直角坐标系内 我们分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 任作 一个向量a 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数x y 使得yjxia 1 我们把 yx叫做向量a的 直角 坐标 记作 yxa 2 R OPOBOAtABtAP OBOA 表示 用 且不共线 如图 O A B P 1 nmOBnOAmOPABP BAO 且上 则在直线若点 三点不共线 已知 用心 爱心 专心3 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 式叫做向量的坐标表示 与a相等的 2 向量的坐标也为 yx 特别地 0 1 i 1 0 j 0 0 0 如图 在直角坐标平面内 以原点 O 为起点作aOA 则点A的位置由a唯一确定 设yjxiOA 则向量OA的坐标 yx就是点A的坐标 反过来 点A的坐标 yx也就是向 量OA的坐标 因此 在平面直角坐标系内 每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 7 讲解