求解电场强度13种方法(附例题)

1 求解电场强度方法分类赏析求解电场强度方法分类赏析 一 必会的基本方法 一 必会的基本方法 1 运用电场强度定义式求解 运用电场强度定义式求解 例例 1 质量为 m 电荷量为 q 的质点 在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动 到 B 点 其速度方向改变的角度为 弧度 AB 弧长为 s 求 AB 弧中点的场强 E 解析解析 质点在静电力作用下做匀速圆周运动 则其所需的向心力由位于圆心处的点 电荷产生电场力提供 由牛顿第二定律可得电场力 F F向 m 由几何关系有 r r v2 所以 F m 根据电场强度的定义有 E 方向沿半径方向 指 s s v 2 q F qs mv 2 向由场源电荷的电性来决定 2 2 运用电场强度与电场差关系和等分法求解 运用电场强度与电场差关系和等分法求解 例例 2 2012 安徽卷 安徽卷 如图 1 1 所示 在平面直角坐标系中 有方向平行于坐标平面的匀强 电场 其中坐标原点 O 处的电势为 0V 点 A 处的电势为 6V 点 B 处的电势为 3V 则电 场强度的大小为 A A B 200 V m200 3 V m C D 100 V m100 3 V m 1 在匀强电场中两点间的电势差 U Ed d 为两点沿电场强度方向的距离 在一些 非强电场中可以通过取微元或等效的方法来进行求解 2 若已知匀强电场三点电势 则利用 等分法 找出等势点 画出等势面 确定电 场线 再由匀强电场的大小与电势差的关系求解 3 运用 运用 电场叠加原理电场叠加原理 求解求解 例例 3 2010 海南海南 如右图 2 M N 和 P 是以为直径的半圈弧上的三点 O 点为半MN 圆弧的圆心 电荷量相等 符号相反的两个点电荷分别置于 M N 两点 60MOP 这时 O 点电场强度的大小为 若将 N 点处的点电荷移至 P 1 E 则 O 点的场场强大小变为 与之比为 B 2 E 1 E 2 E A B C D 1 22 12 34 3 二 必备的特殊方法 二 必备的特殊方法 4 运用平衡转化法求解 运用平衡转化法求解 例例 4 一金属球原来不带电 现沿球的直径的延长线放置 图 3 60 P N O M 图 2 2 一均匀带电的细杆 MN 如图 3 所示 金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上 a b c 三点的场强大小分别为 Ea Eb Ec 三者相比 A Ea最大 B Eb最大 C Ec最大 D Ea Eb Ec 解析解析 导体处于静电平衡时 其内部的电场强度处处为零 故在球内任意点 感应 电荷所产生的电场强度应与带电细杆 MN 在该点产生的电场强度大小相等 方向相反 均 匀带电细杆 MN 可看成是由无数点电荷组成的 a b c 三点中 c 点到各个点电荷的距离 最近 即细杆在 c 点产生的场强最大 因此 球上感应电荷产生电场的场强 c 点最大 故 正确选项为 C 点评 点评 求解感应电荷产生的电场在导体内部的场强 转化为求解场电荷在导体内部的 场强问题 即 E感 E外 负号表示方向相反 5 运用 运用 对称法对称法 又称 又称 镜像法镜像法 求解 求解 例例 5 2013 新课标新课标 I 如图 4 一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的电荷 在垂直于圆盘且过圆心 c 的轴线上有 a b d 三个点 a 和 b b 和 c c 和 d 间的距离均 为 R 在 a 点处有一电荷量为 q q O 的固定点电荷 已知 b 点处的场强为零 则 d 点处场 强的大小为 k 为静电力常量 A k B k 3 2 10 9 2 C k D k 2 9 9 2 解析解析 点电荷 q 在 b 点场强为 E1 薄板在 b 点场强为 E2 b 点场强为零是 E1与 E2叠加引起的 且两者在此处产生的电场强度大小相等 方向相反 大小 E1 E2 2 R kq 根据对称性可知 均匀薄板在 d 处所形成的电场强度大小也为 E2 方向水平向左 点 电荷在 d 点场强 E3 方向水平向左 根据叠加原理可知 d 点场 Ed E2 E3 2 3 R kq 2 9 10 R kq 点评 点评 对称法是利用带电体电荷分布具有对称性 或带电体产生的电场具有对称性 的特点来求合电场强度的方法 通常有中心对称 轴对称等 例 7 如图 6 所示 在一个接地均匀导体球的右侧 P 点距球心的距离为 d 球半径为 R 在 P 点放置一个电 荷量为 q 的点电荷 试求导体球感应电荷在 P 点的电 场强度大小 析与解 如图 6 所示 感应电荷在球上分布不均匀 靠近 P 一侧较密 关于 OP 对称 因此感应电荷的等效 分布点在 OP 连线上一点 P 设 P 距离 O 为 r 导体球接地 故球心 O 处电势为零 根 据电势叠加原理可知 导体表面感应电荷总电荷量 Q 在 O 点引起的电势与点电荷 q 在 O 点引导起的电势之和为零 即 0 即感应电荷量 Q 同理 Q 与 q 在球 d kq R kQ q d R 图 4 图 6 3 面上任意点引起的电势叠加之后也为零 即 22 cos2rRrR kQ 其中 为球面上任意一点与 O 连线和 OP 的夹角 具有任意性 22 cos2dRdR kq 将 Q 代入上式并进行数学变换后得 d2r2 R4 2Rrd2 2R3d cos 由于对于任意 角 该 式都成立 因此 r 满足的关系是 r d R 2 根据库仑定律可知感应电荷与电荷 q 间的相互作用力 F 根 2 rd kqQ 222 2 Rd kdRq 据电场强度定义可知感应电荷在 P 点所产生的电场强度 E q F 222 Rd kdRq 6 运用 运用 等效法等效法 求解求解 例例 6 2013 安徽卷 安徽卷 如图 5 所示 平面是无穷大导体的表面 该导体充满xOy 的空间 的空间为真空 将电荷为 q 的点电荷置于 z 轴上 z h 处 则在平0z 0z xOy 面上会产生感应电荷 空间任意一点处的电场皆是由点电荷 q 和导体表面上的感应电荷共 同激发的 已知静电平衡时导体内部场强处处为零 则在 z 轴上处的场强大小为 k 2 h z 为静电力常量 A B C D 2 4q k h 2 4 9 q k h 2 32 9 q k h 2 40 9 q k h 解析解析 求金属板和点电荷产生的合场强 显然用现在的公式直接求解比较困难 能 否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢 当然可以 由于平面是无穷大导体的表面 xOy 电势为 0 而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为 0 因而可以联想成图 6 中 所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场 根据电场叠加原理 容易求得 点的场强 故选项 D 正确 2 h z 22 2 2 40 3 9 2 q h qq Ekkk h h 点评 点评 1 1 等效法的实质在效果相同的情况下 利用问题中某些相似或相同效果进行 知识迁移的解决问题方法 往往是用较简单的因素代替较复杂的因素 2 2 本题也可以用排除法求解 仅点电荷 q 在处产生的场强就是 而合场 2 h z 2 4q k h 强一定大于 符合的选项只有 D 正确 2 4q k h 图 5图 6 4 例 6 如图 5 a 所示 距无限大金属板正前方 l 处 有正点电荷 q 金属板接地 求 距金属板 d 处 a 点的场强 E 点电荷 q 与 a 连线垂直于金属板 析与解 a 点场强 E 是点电荷 q 与带电金属 板产生的场强的矢量和 画出点电荷与平行金属 板间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征 会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线 分布相似 金属板位于连线中垂线上 其电势为 零 设想金属板左侧与 q 对称处放点电荷 q 其效果与 q 及金属板间的电场效果相同 因此 在 q 左侧对称地用 q 等效替代金属板 如图 5 b 所示 所以 a 点电场强度 Ea kq 22 1 1 dldl 7 运用运用 微元法微元法 求解求解 例例 7 2006 甘肃 甘肃 ab 是长为 l 的均匀带电细杆 P1 P2是位于 ab 所在直线上的两点 位置如图 7 所示 ab 上电荷产生的静电场在 P1处的场强大小为 E1 在 P2处的场强大小 为 E2 则以下说法正确的是 A 两处的电场方向相同 E1 E2 B 两处的电场方向相反 E1 E2 C 两处的电场方向相同 E1 E2 D 两处的电场方向相反 E1 E2 解析解析 将均匀带电细杆等分为很多段 每段可看作点电荷 由于细杆均匀带电 我们 取 a 关于 P1的对称点 a 则 a 与 a 关于 P1点的电场互相抵消 整个杆对于 P1点的电场 仅仅相对于 a b 部分对于 P1的产生电场 而对于 P2 却是整个杆都对其有作用 所以 P2点的场强大 设细杆带正电 根据场的叠加 这些点电荷在 P1的合场强方向向左 在 P2 的合场强方向向右 且 E1 E2 故选 D 点评 点评 1 因为只学过点电荷的电场或者匀强电场 而对于杆产生的电场却没有学过 因而需要将杆看成是由若干个点构成 再进行矢量合成 2 微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位 或从研究对象上选取某一 微元 加 图 7 a q d a l 图 5 q q a b 5 以分析 找出每一个微元的性质与规律 然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律 严格的说 微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法 例 8 如图 7 a 所示 一个半径为 R 的均 匀带电细圆环 总量为 Q 求圆环在其轴线上与 环心 O 距离为 r 处的 P 产生的场强 析与解 圆环上的每一部分电荷在 P 点都产 生电场 整个圆环在 P 所建立电场的场强等于各 部分电荷所产生场强的叠加 如图 7 b 在圆环 上取微元 l 其所带电荷量 q l 在 P 点产生的场强 R Q 2 E 22 Rr qk 2 22 RrR lkQ 整个圆环在 P 点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和 根据对称性原理可 所有微元在 P 点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消 所以整个圆环在 P 点产生场 中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和 即 EP Ecos 22 22 2 Rr r RrR lkQ 322 Rr kQr 8 运用 运用 割补法割补法 求解求解 例例 8 8 如图 8 所示 用长为 L 的金属丝弯成半径为 r 的圆弧 但在 A B 之间留有宽度 为 d 的间隙 且 d 远远小于 r 将电量为 Q 的正电荷均为分布于金属丝上 求圆心处的电 场强度 解析解析 假设将这个圆环缺口补上 并且已补缺部分的电荷密度 与原有缺口的环体上的电荷密度一样 这样就形成一个电荷均匀 分布的完整带电环 环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷 可视为两个相应点的点电荷 它们在圆心 O 处产生的电场叠加后合场强为零 根据对称性可知 带电小段 由题给条件可视为点电荷 它在圆心 O 处的场强 E1 是可求的 若题中待求场强为 E2 则 E1 E2 0 设原缺口环所带电荷的线密度为 则补上的那一小段金属丝带电Q 2 r d 量 Q 在 0 处的场强 E1 K Q r2 由 E1 E2 0 可得 E2 E1 负号表示 E2与 E1d 反向 背向圆心向左 例 9 如图 8 a 所示 将表面均匀带正电的半球 沿线分成两部分 然后将这两部分 移开很远的距离 设分开后的球表面仍均匀带电 试比较 A 点与 A 点电场强度的大小 析与解 如图 8 b 所示 球冠上正电荷在 A 点产生的电场强度为 E1 球层面上正 电荷在 A 点产生电场强度为 E2 球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度 无法用 所学公式直接进行计算或比较 于是 需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比 较的条件 r 图 8 图 7 b a a b c 图 8 6 在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体 如图 8 c 所示 显然由叠加 原理可知 在 A 点产生电场强度 E3 E2 若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体 则 则均匀带电球体内电场强度处处为零可知 E1与 E3大小相等 方向相反 由此可以判断 球冠面电荷在 A 点产生的电场强度为 E1大于球层面电荷在 A 点产生电场强度 E2 9 9 运用运用 极值法极值法 求解求解 例例 9 9 如图 9 所示 两带电量增色为 Q 的点电荷相距 2L MN 是两电荷连线的中垂线 求 MN 上场强的最大值 解析解析 用极限分析法可知 两电荷间的中点 O 处的场强为零 在中垂线 MN 处的无 穷远处电场也为零 所以 MN 上必有场强的最大值 最常规方法找出所求量的函数表达式 再求极值 点评 点评 物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类 物理型主要依据物理概念 定理 定律求解 数学型则是在根据物理规律列方程后 依靠数学中求极值的知识求解 本题属 于数学型极值法 对数学能力要求较高 求极值时要巧妙采用数学方法才能解得 10 运用运用 极限法极限法 求解求解 例例 10 2012 安徽卷 安徽卷 如图 11 1 所示 半径为 R 的均匀带电圆形平板 单位面积带电量 为 其轴线上任意一点 P 坐标为 x 的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原 理求出 方向沿 x 轴 现考虑单位面积带电量为的无限 22 1 2 2 1 x Ek Rx 0 大均匀带电平板 从其中间挖去一半径为 r 圆板 在 Q 处形成的场强为 的圆 0 2Ek 版 如图 11 2 所示 则圆孔轴线上任意一点 Q 坐标为 x 的电场强度为 A B 0 22 1 2 2 x k rx 0 22 1 2 2 r k rx C 0 2 x k r D 0 2 r k x 解析解析 1 由题中信息可得单位面积带电量 为无限大均匀带电平板 可看成是 R 0 的圆板 在 Q 处形成的场强为 而挖去的半径为 r 的圆板在 Q 点形成的场强 0 2Ek 为 则带电圆板剩余部分在 Q 点形成的场强为 0 22 1 2 2 1 x Ek rx 正确选项 A 0 22 1 2 2 x EEk rx 解析解析 2 R 的圆板 在 Q 处形成的场强为 当挖去圆板 r 0 时 坐标 0 2Ek 图 11 1图 11 2 7 x 处的场强应为 将 r 0 代入选项 只有 A 符合 0 2Ek 点评 点评 极限思维法是一种科学的思维方法 在物理学研究中有广泛的应用 我们可以将该 物理量或它的变化过程和现象外推到该区域内的极限情况 或极端值 使物理问题的本质 迅速暴露出来 再根据己知的经验事实很快得出规律性的认识或正确的判断 11 运用运用 图像法图像法 求解求解 例例11 2011北京理综北京理综 静电场方向平行于x轴 其电势 随x的分布可简化为如图12所示的 折线 图中 0和d为已知量 一个带负电的粒子在电场中以x 0为中心 沿x轴方向做周期性 运动 已知该粒子质量为m 电量为 q 其动能与电势能之和为 A 0 A q 0 忽略重力 求 1 粒子所受电场力的大小 解析解析 1 由图可知 0与d 或 d 两点间的电势差为 0 电场强度的大小 0 E d 电场力的大小 0 q FqE d 点评 点评 物理图线的斜率 其大小为 k 纵轴量的变化量 横轴量的变化量 但对于不同的 具体问题 k 的物理意义并不相同 描述电荷在电场中受到的电场力 F 与电量 q 关系的 F q 图像的斜率表示电场强度 同样 电势对电场方向位移图像的斜率也表示场强 12 运用 运用 类比法类比法 求解求解 例 10 如图 9 a 所示 ab 是半径为 r 的圆的一条直径 该圆处于匀强电场中 电 场强度为 E 在圆周平面内 将一电荷量为 q 的带正电小球从 a 点以相同的动能抛出 抛出 方向不同时 小球会经过圆周上不同的点 在 这些点中 到达 c 点时小球的动能最大 已知 cab 30 若不计重力和空气阻力 试求 电场的方向与弦 ab 间的夹角 若小球在 a 点时初速度方向与电场方 向垂直 则小球恰好落在 c 点时的动能为多大 析与解 求解电场强度方向问题看起来简单但有时是比较复杂而困难的 本题中 在匀强电场中 仅电场力做功 不计重力 则电势能与动能之和保持不变 在两个等势面 间电势差最大 则