理科数学2010-2019高考真题分类训练30专题十计数原理第三十讲排列与组合—附解析答案

专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一 选择题 1 2018 全国卷 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥 德巴赫猜想是 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 如30723 在不超 过 30 的素数中 随机选取两个不同的数 其和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 2 2017 新课标 安排 3 名志愿者完成 4 项工作 每人至少完成 1 项 每项工作由 1 人 完成 则不同的安排方式共有 A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36 种 3 2017 山东 从分别标有1 2 9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次 每次抽取 1 张 则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 4 2016 年全国 II 如图 小明从街道的 E 处出发 先到 F 处与小红会合 再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24 B 18 C 12 D 9 5 2016 四川 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 A 24 B 48 C 60 D 72 6 2015 四川 用数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中比 40000 大的 偶数共有 A 144 个 B 120 个 C 96 个 D 72 个 7 2014 新课标 1 4 位同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动 则周六 周 日都有同学参加公益活动的概率为 A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 8 2014 广东 设集合 12345 1 0 1 1 2 3 4 5 i Ax x x x xxi 那么集合 A 中 满足条件 12345 13xxxxx 的元素个数为 A 60 B 90 C 120 D 130 9 2014 安徽 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共 有 A 24 对 B 30 对 C 48 对 D 60 对 10 2014 福建 用a代表红球 b代表蓝球 c代表黑球 由加法原理及乘法原理 从 1 个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由 ba 11的展开式abba 1 表示出来 如 1 表示一个球都不取 a 表示取出一个红球 面 ab 用表示把 红球和篮球都取出来 以此类推 下列各式中 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红 球 从 5 个无区别的蓝球 5 个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的篮球都取出或 都不取出的所有取法的是 A 5 55432 111cbaaaaa B 5 54325 111cbbbbba C 55432 5 111cbbbbba D 5432 5 5 111cccccba 11 2013 山东 用 0 1 9 十个数学 可以组成有重复数字的三位数的个数为 A 243 B 252 C 261 D 279 12 2012 新课标 将 2 名教师 4 名学生分成 2 个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会 实践活动 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成 不同的安排方案共有 A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种 13 2012 浙江 若从 1 2 3 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其和为偶数 则不同的取法共有 A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 14 2012 山东 现有 16 张不同的卡片 其中红色 黄色 蓝色 绿色卡片各 4 张 从中 任取 3 张 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色 并且红色卡片至多 1 张 不同取法的种 数是 A 232 B 252 C 472 D 484 15 2010 天津 如图 用四种不同颜色给图中的 A B C D E F 六个点涂色 要求每个点涂 一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法用 A B C D E F A 288 种 B 264 种 C 240 种 D 168 种 16 2010 山东 某台小型晚会由 6 个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前 两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编 排方案共有 A 36 种 B 42 种 C 48 种 D 54 种 17 2010 广东 为了迎接 2010 年广州亚运会 某大楼安装 5 个彩灯 它们闪亮的顺序不 固定 每个彩灯闪亮只能是红 橙 黄 绿 蓝中的一种颜色 且这 5 个彩灯闪亮的颜 色各不相同 记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟有且只 有一个彩灯闪亮 而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒 如果要实现所有不同的闪烁 那么需要的时间至少是 A 1205 秒 B 1200 秒 C 1195 秒 D 1190 秒 18 2010 湖北 现安排甲 乙 丙 丁 戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每 人从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙不会 开车但能从事其他三项工作 丙丁戌都能胜任四项工作 则不同安排方案的种数是 A 152 B 126 C 90 D 54 二 填空题 19 2018 全国卷 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 20 2018 浙江 从 1 3 5 7 9 中任取 2 个数字 从 0 2 4 6 中任取 2 个数字 一共 可以组成 个没有重复数字的四位数 用数字作答 21 2017 浙江 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人 副队长 1 人 普通队员 2 人组成 4 人服务队 要求服务队中至少有 1 名女生 共有 种不同的选法 用数字作 答 22 2017 天津 用数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组成没有重复数字 且至多有一个数 字是偶数的四位数 这样的四位数一共有 个 用数字作答 23 2015 广东 某高三毕业班有40人 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 那 么全班共写了 条毕业留言 用数字作答 24 2014 浙江 在 8 张奖券中有一 二 三等奖各 1 张 其余 5 张无奖 将这 8 张奖券分 配给 4 个人 每人 2 张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 25 2014 北京 把 5 件不同产品摆成一排 若产品A与产品B相邻 且产品A与产品C不 相邻 则不同的摆法有 种 26 2014 广东 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中任取七个不同的数 则这七个数的中位数是 6 的 概率为 27 2014 江西 10 件产品中有 7 件正品 3 件次品 从中任取 4 件 则恰好取到 1 件次品 的概率是 28 2013 北京 将序号分别为 1 2 3 4 5 的 5 张参观券全部分给 4 人 每人至少一张 如果分给同一人的两张参观券连号 那么不同的分法种数是 29 2012 湖北 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数 如 22 121 3443 94249 等 显然2 位回文数有9 个 11 22 33 99 3 位回文数有90 个 101 111 121 191 202 999 则 4 位回文数有 个 21 nn N位回文数有 个 30 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当4n 时 在所有不同的着色方案中 黑色正方形互不相邻 的着色方案如下图所示 由此推断 当6n 时 黑色正方形互不相邻 的着色方案共有 种 至少有两个 黑色正方形相邻 的着色方案共有 种 结果用数值表示 31 2013 新课标 2 从n个正整数 1 2 n中任意取出两个不同的数 若取出的两数 之和等于 5 的概率为 1 14 则n 32 2013 浙江 将FEDCBA 六个字母排成一排 且BA 均在C的同侧 则不同的 排法共有 种 用数字作答 33 2010 浙江 有 4 位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上 午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测试一人 则不同的 安排方式共有 种 用数字作答 专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 答案部分 1 C 解析 不超过 30 的素数有 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 共 10 个 从中 随机选取两个不同的数有 2 10 C种不同的取法 这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的 有 3 对 所以所求概率 2 10 31 C15 P 故选 C 2 D 解析 由题意可得 一人完成两项工作 其余两人每人完成一项工作 据此可得 只要把工作分成三份 有 2 4 C种方法 然后进行全排列 由乘法原理 不同的安排方式 共有 23 43 CA36 种 故选 D 3 C 解析 不放回的抽取 2 次有 11 98 C C9 872 如图 2 1 3 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8 9 1 可知 1 2 与 2 1 是不同 所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 11 54 2C C 40 所求 概率为 405 728 4 B 解析 由题意可知EF 有 6 种走法 FG 有 3 种走法 由乘法计数原理知 共 有6 3 18 种走法 故选 B 5 D 解析 由题意 要组成没有重复的五位奇数 则个位数应该为 1 3 5 中任选一个 有 1 3 A 种方法 其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选 进行全排列 有 4 4 A种方 法 所以其中奇数的个数为 14 34 A A72 故选 D 6 B 解析 据题意 万位上只能排 4 5 若万位上排 4 则有 3 4 2A 个 若万位上排 5 则有 3 4 3A 个 所以共有 3 4 2A 3 4 35 24120A 个 选 B 7 D 解析 4 4 227 28 P 8 D 解析 易知 12345 xxxxx 1 或 2 或 3 下面分三种情况讨论 其一 12345 xxxxx 1 此时 从 12345 x x x x x中任取一个让其等于 1 或 1 其余等于0 于是有 11 52 10C C 种情况 其二 12345 xxxxx 2 此时 从 12345 x x x x x中任取两个让其都等于 1 或都等于 1 或一个等于 1 另一个 等于 1 其余等于 0 于是有 221 552 240CC C 种情况 其三 12345 xxxxx 3 此时 从 12345 x x x x x中任取三个让其都等于 1 或都等于 1 或两个等于 1 另一个等于 1 或两个等于 1 另一个等于 1 其余等于 0 于是有 33132 55353 280CC CC C 种情况 由于1040 80130 9 C 解析 直接法 如图 在上底面中选 11 B D 四个侧面中的面对角线都与它成60 共 8 对 同样 11 AC对应的也有 8 对 下底面也有 16 对 这共 有 32 对 左右侧面与前后侧面中共有 16 对 所以全部共有 48 对 间接法 正方体的 12 条面对角线中 任意两条垂直 平行或 成角为60 所以成角为60 的共有 2 12 12648C 10 A 解析 分三步 第一步 5 个无区别的红球可能取出 0 个 1 个 5 个 则有 2345 1 aaaaa 种不同的取法 第二步 5 个无区别的篮球都取出或都不取 出 则有 5 1 b 种不同的取法 第三步 5 个有区别的黑球看作 5 个不同色 从 5 个 不同色的黑球任取 0 个 1 个 5 个 有 5 1 c 种不同的取法 所以所求的取法种 数为 2345 1 aaaaa 5 1 b 5 1 c 11 B 解析 能够组成三位数的个数是 9 10 10 900 能够组成无重复数字的三位数的 个数是 9 9 8 648 故能够组成有重复数字的三位数的个数为900648252 12 A 解析 先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地 再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到 乙地 共有 12 24 12C C 种 13 D 解析 和为偶数 则 4 个数都是偶数 都是奇数或者两个奇数两个偶数 则有 4422 4545 1 56066CCCC 种取法 14 C 解析 若没有红色卡片 则需从黄 蓝 绿三色卡片中选 3 张 若都不同色则有 1 4 C 1 4 C 1 4 C 64 若 2 张同色 则有 2121 3244 144CCCC 若红色 1 张 其余 2 D1 A1 A B C C1 B1 D 张不同色 则有 1211 4344 192CCCC 其余 2 张同色则有 112 434 72CCC 所以 共有 64 144 192 72 472 另解 1 472885607216 6 141516 4 1 12 2 4 3 4 3 16 CCCC 答案应选 C 另解 2 47212264220 2 1112 412 6 101112 3 2 12 1 4 3 4 3 12 0 4 CCCCC 15 B 解析 B D E F 用四种颜色 则有 4 4 1 124A 种涂色方法 B D E F 用 三种颜色 则有 33 44 2 22 1 2192AA 种涂色方法 B D E F 用两种颜色 则有 2 4 2 248A 种涂色方法 所以共有 24 192 48 264 种不同的涂色方法 16 B 解析 分两类 一类为甲排在第一位共有 4 4 24A 种 另一类甲排在第二位共有 13 33 18A A 种 故编排方案共有24 1842 种 故选 B 17 C 解析 共有 5 120 个不同的闪烁 每个闪烁要完成 5 次闪亮需用时间为 5 秒 共 5 120 600 秒 每两个闪烁之间的间隔为 5 秒 共 5 120 1 595 秒 那么需要的 时间至少是 600 595 1195 秒 18 C 解析 由于五个人从事四项工作 而每项工作至少一人 那么每项工作至多两人 因为甲 乙不会开车 所以只能先安排司机 分两类 1 先从丙 丁 戊三人中任选 一人开车 再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作 共 有 123 343 C C A种 2 先从丙 丁 戊三人中任选两人开车 其余三人从事其他三项工作 共有 23 33 C A种 所以 不同安排方案的种数是 123 343 C C A 23 33 C A 126 种 故选 C 19 16 解析 通解 可分两种情况 第一种情况 只有 1 位女生入选 不同的选法有 12 24 C C12 种 第二种情况 有 2 位女生入选 不同的选法有 21 24 C C4 种 根据分类加法计数原理知 至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种 优解 从 6 人中任选 3 人 不同的选法有 3 6 C20 种 从 6 人中任选 3 人都是男生 不同的选法有 3 4 C4 种 所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20 4 16 种 20 1260 解析 若取的 4 个数字不包括 0 则可以组成的四位数的个数为 224 534 C C A 若取 的 4 个数字包括 0 则可以组成的四位数的个数为 2113 5333 C C C A 综上 一共可以组成的 没有重复数字的四位数的个数为 224 534 C C A 2113 5333 C C C A 720 540 1 260 21 660 解析 分两步 第一步 选出 4 人 由于至少 1 名女生 故有 44 86 CC55 种不 同的选法 第二步 从 4 人中选出队长 副队长各一人 有 2 4 A12 种不同的选法 根 据分步乘法计数原理共有55 12660 种不同的选法 22 1080 解析 分两种情况 只有一个数字为偶数有 134 454 C C A个 没有偶数有 4 5 A个 所 以共有 4134 5454 1080AC C A 个 23 1560 解析 由题意 2 40 1560A 故全班共写了 1560 条毕业留言 24 60 解析 分情况 一种情况将有奖的奖券按 2 张 1 张分给 4 个人中的 2 个人 种数 为 212 314 C C A36 另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人 种数为 3 4 A24 则获奖情况总共有 36 24 60 种 25 36 解析 将 A B 捆绑在一起 有 2 2 A种摆法 再将它们与其他 3 件产品全排列 有 4 4 A 种摆法 共有 2 2 A 4 4 A 48 种摆法 而 A B C 3 件在一起 且 A B 相邻 A C 相邻 有 CAB BAC 两种情况 将这 3 件与剩下 2 件全排列 有 3 3 212A 种摆法 故 A B 相邻 A C 不相邻的摆法由 48 12 36 26 1 6 解析 6 之前 6 个数中取 3 个 6 之后 3 个数中取 3 个 33 63 3 10 1 6 CC P C 27 1 2 解析 从 10 件产品中任取 4 件共有 4 10 C 210 种不同取法 因为 10 件产品中有 7 件正品 3 件次品 所以从中任取 4 件恰好取到 1 件次品共有 13 37 C C105 种不同的取 法 故所求的概率为 1051 2102 P 28 96 解析 5 张参观券分成 4 堆 有 2 个联号有 4 种分法 每种分法分给 4 个人有 4 4 A种 方法 总共有 4 4 496A 29 解析 4 位回文数只用排列前面两位数字 后面数字就可以确定 但是第一位不 能为 0 有 9 1 9 种情况 第二位有 10 0 9 种情况 所以 4 位回文数有90109 种 答案 90 法一 由上面多组数据研究发现 21n 位回文数和22n 位回文数的个数相 同 所以可以算出22n 位回文数的个数 22n