理科数学2010-2019高考真题分类训练20专题七 不等式第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题—附解析答案

专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 2019 年 1 2019 浙江 3 若实数 x y 满足约束条件 340 340 0 xy xy xy 则 z 3x 2y 的最大值是 A 1 B 1 C 10 D 12 2 2019 北京理 5 若x y满足1xy 且1y 则3xy 的最大值为 A 7 B 1 C 5 D 7 3 2019 天津理 2 设变量 x y满足约束条件 20 20 1 1 xy xy x y 则目标函数4zxy 的最 大值为 A 2 B 3 C 5 D 6 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 天津 设变量 x y 满足约束条件 5 24 1 0 xy xy xy y 则目标函数35zxy 的最大值为 A 6 B 19 C 21 D 45 2 2017 新课标 设x y满足约束条件 2330 2330 30 xy xy y 则2zxy 的最小值是 A B C D 3 2017 天津 设变量 x y满足约束条件 20 220 0 3 xy xy x y 则目标函数zxy 的最大值 为 A 2 3 B 1 C 3 2 D 3 4 2017 山东 已知x y满足 30 350 30 xy xy x 则2zxy 的最大值是 A 0 B 2 C 5 D 6 5 2017 北京 若x y满足 3 2 x xy yx 则2xy 的最大值为 A 1 B 3 C 5 D 9 6 2017 浙江 若x y满足约束条件 0 30 20 x xy xy 则2zxy 的取值范围是 A 0 6 B 0 4 C 6 D 4 7 2016 年山东 若变量 x y 满足 2 239 0 xy xy x 锍 则 22 xy 的最大值是 A 4 B 9 C 10 D 12 8 2016 浙江 在平面上 过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影 由 区域 20 0 340 x xy xy 中的点在直线20 xy 上的投影构成的线段记为 AB 则 AB A 22 B 4 C 32 D 6 9 2016 天津 设变量 x y 满足约束条件 20 2360 3290 xy xy xy 则目标函数25zxy 的最小值 为 A 4 B 6 C 10 D 17 10 2015 陕西 某企业生产甲 乙两种产品均需用 A B两种原料 已知生产 1 吨每种产品 需原料及每天原料的可用限额如表所示 如果生产 1 吨甲 乙产品可获利润分别为 3 万元 4 万元 则该企业每天可获得最大利润为 甲 乙 原料限额 A 吨 3 2 12 B 吨 1 2 8 A 12 万元 B 16 万元 C 17 万元 D 18 万元 11 2015 天津 设变量 x y 满足约束条件 20 30 230 x xy xy 则目标函数6zxy 的最大 值为 A 3 B 4 C 18 D 40 12 2015 福建 若变量 x y 满足约束条件 20 0 220 xy xy xy 则2zxy 的最小值等于 A 5 2 B 2 C 3 2 D 2 13 2015 山东 已知 x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y 若zaxy 的最大值为 4 则a A 3 B 2 C 2 D 3 14 2014 新课标 不等式组 1 24 xy xy 的解集记为D 有下面四个命题 1 p 22x yD xy 2 p 22x yD xy 3 p 23x yD xy 4 p 21x yD xy 其中真命题是 A 2 p 3 p B 1 p 4 p C 1 p 2 p D 1 p 3 p 15 2014 安徽 yx 满足约束条件 022 022 02 yx yx yx 若axyz 取得最大值的最优解不 唯一 则实数a的值为 A 1 2 1 或 B 2 1 2或 C 2 或 1 D 12 或 16 2014 福建 已知圆 22 1Cxayb 设平面区域 70 70 0 xy xy y 若圆 心C 且圆 C 与x轴相切 则 22 ab 的最大值为 A 5 B 29 C 37 D 49 17 2014 北京 若 x y满足 20 20 0 xy kxy y 且zyx 的最小值为 4 则k的值为 A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 18 2013 新课标 设 x y满足约束条件 10 10 3 xy xy x 则23zxy 的最小值是 A 7 B 6 C 5 D 3 19 2013 陕西 若点 x y位于曲线 y x 与 y 2 所围成的封闭区域 则 2x y 的最小值 为 A 6 B 2 C 0 D 2 20 2013 四川 若变量 x y满足约束条件 8 24 0 0 xy yx x y 且5zyx 的最大值为a 最小 值为b 则ab 的值是 A 48 B 30 C 24 D 16 21 2012 广东 已知变量 x y满足约束条件 2 1 1 y xy xy 则3zxy 的最大值为 A 12 B 11 C 3 D 1 22 2012 广东 已知变量 x y满足约束条件 1 10 1 xy x xy 则2zxy 的最小值为 A 3 B 1 C 5 D 6 23 2012 山东 设变量yx 满足约束条件 22 24 41 xy xy xy 则目标函数yxz 3的取值范 围是 A 6 2 3 B 1 2 3 C 6 1 D 2 3 6 24 2012 福建 若直线2yx 上存在点 x y满足约束条件 30 230 xy xy xm 则实数m的 最大值为 A 1 B 1 C 3 2 D 2 25 2012 天津 设变量 x y满足约束条件 220 240 10 xy xy x 则目标函数32zxy 的最 小值为 A 5 B 4 C 2 D 3 26 2012 辽宁 设变量 x y满足 10 0 20 015 x y x y y 则2 3xy的最大值为 A 20 B 35 C 45 D 55 27 2011 广东 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式 02 2 2 x y xy 给定 若 M x y为D上的动点 点A的坐标为 2 1 则z OM OA的最大值为 A 3 B 4 C 32 D 42 28 2011 安徽 设变量yxyxyx2 1 则满足的最大值和最小值分别为 A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 29 2011 湖南 设m 1 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数zxmy 的最大值小于 2 则m的取值范围为 A 1 12 B 12 C 1 3 D 3 30 2010 新课标 已知ABCD的三个顶点为 A 1 2 B 3 4 C 4 2 点 x y 在ABCD的内部 则 z 2x 5y 的取值范围是 A 14 16 B 14 20 C 12 18 D 12 20 31 2010 山东 设变量 x y满足约束条件 20 5100 80 xy xy xy 则目标函数34zxy 的最 大值和最小值分别为 A 3 11 B 3 11 C 11 3 D 11 3 二 填空题 32 2018 北京 若x y满足12xyx 则2yx 的最小值是 33 2018 全国卷 若x y满足约束条件 220 10 0 xy xy y 则32zxy 的最大值为 34 2018 全国卷 若 x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x 则 zxy的最大值为 35 2018 浙江 若x y满足约束条件 0 26 2 xy xy xy 则3zxy 的最小值是 最大值 是 36 2017 新课标 设x y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy 则32zxy 的最小值为 37 2017 新课标 若x y满足约束条件 0 20 0 xy xy y 则34zxy 的最小值为 38 2016 年全国 I 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲 乙两种新型材料 生产一件产 品 A 需要甲材料 1 5 kg 乙材料 1 kg 用 5 个工时 生产一件产品 B 需要甲材料 0 5 kg 乙材料 0 3 kg 用 3 个工时 生产一件产品 A 的利润为 2100 元 生产一件产品 B 的利润 为 900 元 该企业现有甲材料 150 kg 乙材料 90 kg 则在不超过 600 个工时的条件下 生产产品 A 产品 B 的利润之和的最大值为 元 39 2016 全国 III 若x y 满足约束条件 10 20 220 xy xy xy 则zxy 的最大值为 40 2016 江苏 已知实数 x y 满足 240 220 330 xy xy xy 则 22 xy 的取值范围是 41 2015 新课标 若 x y满足约束条件 10 0 40 x xy xy 则 y x 的最大值为 42 2015 新课标 若 x y满足约束条件 10 20 220 xy xy xy 则zxy 的最大值为 43 2014 安徽 不等式组 20 240 320 xy xy xy 表示的平面区域的面积为 44 2014 浙江 当实数x y满足 240 10 1 xy xy x 时 14axy 恒成立 则实数a的 取值范围是 45 2014 湖南 若变量 x y满足约束条件4 yx xy yk 且2zxy 的最小值为 6 则k 46 2013 新课标 设 x y满足约束条件 13 10 x xy 则2zxy 的最大值为 47 2013 浙江 设zkxy 其中实数 x y满足 2 242 240 x xy xy 若 z 的最大值为 12 则实数k 48 2013 湖南 若变量 x y 满足约束条件 28 04 03 xy x y 则 x y 的最大值为 49 2012 新课标 设x y满足约束条件 1 3 0 0 xy xy x y 则yxz2 得取值范围 为 50 2011 湖南 设1 m 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数5zxy 的最大值为 4 则 m的值为 51 2011 陕西 如图 点 x y在四边形 ABCD 内部和边界上运动 那么2xy 的最小值 为 y x 5 1 3 2 B C A 1 1 O D 1 0 52 2011 新课标 若变量 x y 满足约束条件 329 69 xy xy 则2zxy 的最小值 是 53 2010 安徽 设x y满足约束条件 220 840 0 0 xy xy xy 若目标函数 0 0 zabxy ab 的最大值为 8 则ab 的最小值为 54 2010 陕西 铁矿石 A 和 B 的含铁率a 冶炼每万吨铁矿石的的 2 CO排放量b及每万 吨铁矿石的价格c如下表 a b 万吨 c 百万元 A 50 1 3 B 70 0 5 6 某冶炼厂至少要生产 1 9 万吨 铁 若要求 2 CO的排放量不超过 2 万吨 则购买铁 矿石的最少费用为 万元 三 解答题 55 2010 广东 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单 位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素C 一个单位的晚餐含 8 个单 位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需 要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要 求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 答案部分 1 C 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 x y C x y 1 2x y 4 y 3 5x x y 5 1 212345 1 2 1 2 3 4 5 O 作出直线 3 5 yx 平移该直线 当经过点C时 z取得最大值 由 1 5 xy xy 得 2 3 x y 即 2 3 C 所以 max 3 25 321a 故选 C 2 A 解析 如图为可行域 x y CB A 1 2 3 4 5 61234567 1 2 3 4 1 2 3 O 结合目标函数的几何意义可得函数在点 6 3B 处取得最小值 最小值为 min 12 315z 故选 A 3 D 解析 目标函数为四边形ABCD及其内部 其中 3 0 1 0 3 3 2 ABC 2 4 3 3 D 所以直线zxy 过点B时取最大值 3 选 D x y 1 2 3 4123 1 1 2 3 2x y 0 x 2y 2 0 y 3 A BC D O 4 C 解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分 x y 1 2 31 1 1 2 3 O 当目标函数过 3 4 时取得最大值 即 max 32 45z 选 C 5 D 解析 不等式组可行域如图阴影部分 x y C B A 1123 1 1 2 O 目标函数2zxy 过点 3 3 C时 取得最大值 max 32 39z 故选 D 6 D 解析 如图阴影为可行域 可知在 2 1 A时 min 4z 无最大值 x y A 12345 1 2 3 4 0 O 所以2zxy 的取值范围是 4 选 D 7 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 设 P x y为平面区域 内任意一点 则 22 xy 表示 2 OP 显然 当点P与点A合时 2 OP 即 22 xy 取 得最大值 由 2 239 xy xy 解得 3 1 x y 故 3 1 A 所以 22 xy 的最大值为 22 3 1 10 故选 C x y 2 2x 3y 9 y x C B A 8 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 过点 C D分别作直线 20 xy 的垂线 垂足分别为 A B 则四边形ABDC为矩形 又 2 2 C 1 1 D 所以 22 21 2 1 3 2ABCD 故选 C 9 B 解析 如图 已知约束条件 20 2360 3290 xy xy xy 所表示的平面区域为图中所示的三角形 区域 ABC 包含边界 其中 A 0 2 B 3 0 C l 3 根据目标函数的几何意义 可知当直线 2 55 z yx 过点 B 3 0 时 z 取得最小值2 35 06 10 D 解析 设该企业每天生产甲 乙两种产品分别为x y吨 则利润34zxy 由题意可列 3212 28 0 0 xy xy x y 其表示如图阴影部分区域 当直线340 xyz 过点 2 3 A时 z取得最大值 所以 max 3 24 318z 故选 D 11 C 解析 作出可行域 图略 可知目标函数过点 0 3 时 z取得最大值 18 12 A 解析 画出可行域 如图所示 目标函数变形为2yxz 当z最小时 直线2yxz 的纵截距最大 故将直线2yx 经过可行域 尽可能向上移 到过点 1 1 2 B 时 z取到最小值 最小值为 15 2 1 22 z 故选 A 13 B 解析 由zaxy 得yaxz 借助图形可知 当1a 即1a 时在0 xy 时有最大值 0 不符合题意 当01a 即10a 时在1xy 时有最大值14 3aa 不满足10a 当10a 即01a 时在1xy 时有最大值 14 3aa 不满足01a 当1a 即1a 时在2 0 xy 时有最大值24 2aa 满足1a 14 C 解析 画出可行域如图中阴影部分所示 由图可知 x y A 1 2 1 2 3 4 11 2 3 4 O 当目标函数2zxy 经过可行域内的点 A 2 1 时 取得最小值 0 故20 xy 因此 12 p p是真命题 选 C 15 D 解析 解法一 由题中条件画出可行域 x y x y 2 0 x 2y 2 0 2x y 2 0 2 2 1 1O 可知三交点 0 2 A 2 0 B 2 2 C 则2 A z 2 B za 22 C za 要 使目标函数取得最大值的最优解不唯一 只要 ABC zzz 或 ACB zzz 或 BCA zzz 解得1a 或2a 解法二 目标函数zyax 可化为yaxz 令 0 l yax 平移 0 l 则当 0 lAB 或 0 lAC 时符合题意 故1a 或2a 16 C 解析 平面区域 为如图所示的阴影部分的 ABD y x D NM y x 7 y x 3 1 2 3 4 5 1 2 31234567 O A B 因圆心 C a b 且圆C与x轴相切 所以点C在如图所示的线段MN上 线段 MN的方程为1y 2 x 6 由图形得 当点C在点 6 1 N处时 22 ab 取 得最大值 22 6137 故选 C 17 D 解析 作出线性约束条件 20 20 0 xy kxy y 的可行域 当0k 时 如图 1 所示 此时可行域为y轴上方 直线20 xy 的右上方 直线20kxy 的右下方的 区域 显然此时zyx 无最小值 当1k 时 zyx 取得最小值 2 当1k 时 zyx 取得最小值 2 均不符合题意 当10k 时 如图 2 所示 此时可行域为点 A 2 0 B 2 k 0 C 0 2 所围 成的三角形区域 当直线zyx 经过点 B 2 k 0 时 有最小值 即 2 4 k 所以得 1 2 k 故选 D 18 B 解析 由23zxy 得32yxz 即 2 33 z yx 作出可行域如图 平移直线 2 33 z yx 由图象可知当直线 2 33 z yx 经过点 B 时 直线 2 33 z yx 的截距最 大 此时z取得最小值 由 10 3 xy x 得 3 4 x y 即 3 4 B 代入直线23zxy 得3 2 3 46z 选 B y x 1 21234 1 2 3 4 C B O 19 A 解析 2 yxy与的图像围成一个三角形区域 3 个顶点的坐标分别是 0 0 2 2 2 2 且当取点 2 2 时 2x y 6 取最小值 所以选 A 20 C 解析 作出可行域 如图 则在 A 点取得最大值16 在 B 点取得最小值8 则24ab 选 C 2y x 4 x y 8 x 5y 0 A 4 4 B 8 0 21 B 解析 约束条件对应ABC 边际及内的区域 5 3 2 2 3 2 2 2 ABC 则3 8 11 zxy 22 C 解析 约束条件对应ABC 边际及内的区域 1 0 1 2 1 2 ABC 则2 5 3 zxy 23 A 解析 作出可行域 直线03 yx 将直线平移至点 0 2 处有最大值 点 3 2 1 处有最小值 即 3 6 2 z 剟 应选 A 24 B 解析 由题意 2 30 yx xy 可求得交点坐标为 1 2 要使直线y 2x上存在 点 x y 满足约束条件 30 230 xy xy xm 如图所示 22 yx 14 yx 42 yx O 则mm23 可得m 1 实数m的最大值为 1 故选 B 25 B 解析 做出不等式对应的可行域如图 由yxz23 得 22 3z xy 由图象可知 当直线 22 3z xy 经过点 2 0 C时 直线 22 3z xy 的截距最大 而此时 yxz23 最小为423 yxz 选 B x y C B A 1 2 3 4 512 1 2 1 2 3 O 26 D 解析 作出可行域如图中阴影部分所示 由图知目标函数 过点 5 15A时 2 3xy的最大值为 55 故选 D 27 B 解析 画出区域 D 如图所示 而 z OM OA 2xy 所以2yxz 令 0 l 2yx 平移直线 0 l过点 2 2 时 z取得最大值 故 max 2224z x y O y 2 x 2y x 2 28 B 解析 如图先画出不等式 1xy 表示的平面区域 易知当0 x 1y 时 2xy 取得最大值 2 当0 1xy 时 2xy 取得最小值 2 选 B x y 2 2 O 29 A 解析 画出可行域 可知5zxy 在点 1 11 m mm 取最大值 由 2 1 2 11 m mm 解得121m 30 B 解析 当直线 z 2x 5y 过点 B 时 min 14z 当直线 z 2x 5y 过点 D 0 4 时 max 20z 所以 z 2x 5y 的取值范围为 14 20 点 D 的坐标亦可利用ABDC 求得 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 11234 O A C B D 31 A 解析 作出满足约束条件的可行域 如图所示 可知当直线34zxy 平移到点 5 3 时 目标函数34zxy 取得最大值 3 当直线34zxy 平移到点 3 5 时 目标函数34zxy 取得最小值 11 故选 A 32 3 解析 作出不等式组 2 1 yx xy 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 y xO y 1 2x y x 1y 2x A 令2zyx 作出直线20yx 平移该直线 当直线过点 1 2 A时 2yx 取 得最小值 最小值为2 2 13 33 6 解析 作出可行域为如图所示的 ABC所表示的阴影区域 作出直线320 xy 并平移该直线 当直线过点 2 0 A时 目标函数32zxy 取得最大值 且 max 3 22 06 z 8xy 510 xy 340 xy 20 xy y x O x y C BA x y 1 0 3x 2y 0 x 2y 2 0 1 2 3 4123 1 2 3 1 2 O 34 9 解析 画出不等式组所表示的平面区域 如图中阴影部分所示 作出直线0 xy 平移该直线 当直线过点 5 4 B时 z取得最大值 max 549z x 5 x 2y 3 0 x 2y 5 0 x y 0 y x A B C O 35 2 8 解析 由题可得 该约束条件表示的平面区域是以 2 2 1 1 4 2 为顶 点的三角形及其内部区域 图略 由线性规划的知识可知 目标函数3zxy 在点 2 2 处取得最大值 在点 4 2 处取得最小值 则最小值 min 462z 最大 值 max 268z 36 5 解析 不等式组的可行域如图阴影部分 易得 1 1 A 11 33 B 1 1 3 3 C 代入32zxy 可求得在 1 1 A 时目标函数取得最小值5 x y C B A x y 0 2x y 1 x 2y 1 O 37 1 解析 不等式组的可行域如图阴影部分 x y B A 112 1 1 2 O 目标函数34zxy 在点 1 1 A取得最小值3 1 4 11z 38 216 000 解析 由题意 设产品 A 生产x件 产品 B 生产y件 利润2100900zxy 线性约束条件为 1 50 5150 0 390 53600 0 0 xy xy xy xy 厖 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 所示 又由xN yN 可知取得最大值时的最优解为 60 100 所以 max 2100 60900 100216000z 元 39 3 2 解析 约束条件对应的平面区域是以点 1 1 2 0 1 和 2 1 为顶点的三角形 当目标函数yxz 经过点 1 1 2 时 z取得最大值 3 2 40 4 13 5 解析 不等式组所表示的平面区域是以点 0 2 1 0 2 3 为顶点的三角 形及其内部 如图所示 因为原点到直线220 xy 的距离为 2 5 所以 22 min 4 5 xy 又当 x y取点 2 3 时 22 xy 取得最大值 13 故 22 xy 的取值范围是 4 13 5 41 3 解析 作出可行域 图略 可知在点 1 3 处 y x 取得最大值 3 42 3 2 解析 作出可行域 图略 可知在点 1 1 2 处 z取得最大值 且 max 3 2 z 43 4 解析 如图阴影部分 可知 1 2 22 4 2 ABC S x y 2 1 1 2 12345678 O 44 3 1 2 解析 由线性规划的可行域 求出三个交点坐标分别为 3 1 0 1 2 1 2 都 代入14axy 可得 3 1 2 a 45 2 解析 画出可行域 图略 由题意可知不等式组表示的区域为一三角形 平移参 照直线20 xy 可知在点 k k处2zxy 取得最小值 故26zkk 解 得2k 46 3 解析 做出