【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第三章 第1节正整数指数函数目标导学 北师大版必修1

1 1 1 正整数指数函数正整数指数函数 1 理解正整数指数函数的概念 会求正整数指数函数的值域 2 掌握正整数指数函数的性质及应用 正整数指数函数 1 定义 一般地 函数y a 0 a 1 x N N 叫作正整数指数函数 其中 x是 x在指数位置上 底数a是常数 2 定义域 3 正整数指数函数的图像是一群 的点 且都位于x轴的 做一做 1 1 下列函数是正整数指数函数的为 A y 2x x N N B y 2x x R R C y x2 x N N D y x x N N 1 2 做一做 1 2 函数f x x x N N 则f 2 2 3 答案 答案 1 1 ax 自变量 2 N N 3 孤立 上方 做一做 1 1 D 做一做 1 2 4 9 1 在正整数指数函数的定义中 为什么限定底数的范围为a 0 且a 1 剖析 剖析 1 若a 0 则由于x N N 则ax 0 即ax是一个常量 没有研究的必要 2 若a 0 则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x的某些 取值 ax无意义 即不利于定义的扩充 这是因为 正整数指数函数 指数函数 即正 整数指数函数是指数函数的特例 3 若a 1 则对于任意x N N ax 1 即ax是一个常 量 没有研究的必要 为了避免出现上述各种情况 所以规定a 0 且a 1 在规定以后 对于任意 x N N ax都有意义 且ax 0 2 为什么正整数指数函数的图像不是曲线 剖析 剖析 由于正整数指数函数的定义域是正整数集 N N 而正整数集是不连续的 所以用 描点法画正整数指数函数的图像时 不能用平滑的曲线连起来 也就是说 正整数指数函 数的图像是由一系列孤立的点组成的 例如 正整数指数函数y x x N N 的图像如图 1 2 所示 2 题型一 判断正整数指数函数 例 1 若x N N 下列哪个函数是正整数指数函数 1 y 2 x 2 y x3 3 y 7 2x 4 y x 5 y 1 x 13 分析 分析 只需判断函数的解析式是否符合形式y ax a 0 a 1 x N N 即可 反思 反思 根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时 关键是抓住正整数指数函数 解析式的基本特征 ax前的系数必须是 1 自变量x N N 且x在指数的位置上 底数 a 0 a 1 要注意正整数指数函数与幂函数y x 是常数 的区别 题型二 正整数指数函数的性质 例 2 画出正整数指数函数y 3x x N N 的图像 并指出其单调性和值域 反思 反思 正整数指数函数y ax a 0 a 1 x N N 的值域是 a a2 a3 当 a 1 时 为增函数 当 0 a 1 时 为减函数 题型三 实际应用中的正整数指数函数 例 3 已知镭每经过 100 年后剩留原来质量的 95 76 设质量为 20 克的镭经过x 百年后剩留量为y克 其中x N N 求y与x之间的函数关系式 并求出经过 1 000 年后 镭的质量 可以用计算器 分析 分析 把 100 年看成一个基数 然后看每经过 100 年镭的质量的变化 归纳出函数关 系式 反思 反思 通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式 答案 答案 例 1 解 解 1 y 2 x的底数小于 0 不是正整数指数函数 2 y x3中自变量x在底数的位置上 是幂函数 不是正整数指数函数 3 y 7 2x中 2x的系数等于 7 是正整数指数型函数 不是正整数指数函数 4 5 是正整数指数函数 例 2 解 解 列表 描点作图 如图所示 x123 y3927 单调性 函数y 3x x N N 是增函数 值域是 3 32 33 3 例 3 解 解 镭原来质量为 20 克 100 年后镭的质量为 20 95 76 克 200 年后镭的质量为 20 95 76 2 克 300 年后镭的质量为 20 95 76 3 克 x百年后镭的质量为 20 95 76 x 克 y与x之间的函数关系式为 y 20 95 76 x x N N 经过 1 000 年 即x 10 后镭的质量为 y 20 95 76 10 12 97 克 1 若x N N 下面几个函数中 是正整数指数函数的是 A y x4 B y 2x C y 2 x D y x 2 函数y x N N 的值域是 1 2 x A R R B R R C N N D 23 111 2 22 3 函数y x N N 是 4 3 x A 增函数 B 减函数 C 奇函数 D 偶函数 4 已知f x ax a 0 a 1 x N N 的图像过点 3 64 则f 2 5 一种产品的成本原来是 220 元 在今后 10 年内 计划使成本每年比上一年降低 20 写出成本y随经过年数x变化的函数关系式 答案 答案 1 D 2 D 3 A 4 16 由题意 得a3 64 a 4 f x 4x f 2 42 16 5 分析 分析 归纳出函数关系式 解 解 每年的成本是上一年的 1 20 80 0 8 当x 1 时