理科数学2010-2019高考真题分类训练13专题五平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算—附解析答案

专题五 平面向量 第十三讲 平面向量的概念与运算 2019 年 1 2019 全国 理 3 已知AB 2 3 AC 3 t BC 1 则AB BC A 3 B 2 C 2 D 3 2 2019 全国 理 13 已知 a b 为单位向量 且 a b 0 若 25 cab 则 cos a c 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 在ABC 中 AD为BC边上的中线 E为AD的中点 则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 2 2018 北京 设a b均为单位向量 则 33 abab 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 2018 全国卷 已知向量a b满足 1 a 1 a b 则 2 aab A 4 B 3 C 2 D 0 4 2017 北京 设m n为非零向量 则 存在负数 使得 mn 是 0 m n 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2016 年山东 已知非零向量m n满足4 3 m n 1 cos 3 m n 若 t nmn 则实数 t 的值为 A 4 B 4 C 9 4 D 9 4 6 2016 年天津 已知 ABC是边长为 1 的等边三角形 点ED 分别是边BCAB 的中点 连接DE并延长到点F 使得EFDE2 则AF BC 的值为 A 8 5 B 8 1 C 4 1 D 8 11 7 2016 年全国 II 已知向量 1 3 2 m ab 且 abb 则m A 8 B 6 C 6 D 8 8 2016 年全国 III 已知向量 13 22 BA uuv 3 1 22 BC uuu v 则ABC A 30 B 45 C 60 D 120 9 2015 重庆 若非零向量a b满足 2 2 3 ab 且 32 abab 则a与b的夹 角为 A 4 B 2 C 3 4 D 10 2015 陕西 对任意向量 a b 下列关系式中不恒成立的是 A a ba b B abab C 22 abab D 22 ab abab 11 2015 安徽 C 是边长为2的等边三角形 已知向量a b满足2 a 2 C ab 则下列结论正确的是 A 1 b B ab C 1 a b D 4 C ab 12 2014 新课标 1 设FED 分别为ABC 的三边ABCABC 的中点 则 FCEB A AD B AD 2 1 C BC 2 1 D BC 13 2014 新课标 2 设向量a b满足 10a b 6 ab 则 a b A 1 B 2 C 3 D 5 14 2014 山东 已知向量 1 3 3 m ab 若向量 a b的夹角为 6 则实数m A 2 3 B 3 C 0 D 3 15 2014 安徽 设 a b为非零向量 2 ba 两组向量 1234 x x x x和 1234 y yy y均由 2 个a和 2 个b排列而成 若 11223344 xyxyxyxy 所有可能取值中的最小值 为 2 4 a 则a与b的夹角为 A 2 3 B 3 C 6 D 0 16 2014 福建 在下列向量组中 可以把向量 3 2 a 表示出来的是 A 12 0 0 1 2 ee B 12 1 2 5 2 ee C 12 3 5 6 10 ee D 12 2 3 2 3 ee 17 2014 浙江 设 为两个非零向量a b的夹角 已知对任意实数t t ba是最小值 为 1 A 若 确定 则 a唯一确定 B 若 确定 则 b唯一确定 C 若 a确定 则 唯一确定 D 若 b确定 则 唯一确定 18 2014 重庆 已知向量 3 k a 1 4 b 2 1 c 且 23 abc 则实数k A 9 2 B 0 C 3 D 15 2 19 2013 福建 在四边形ABCD中 2 4 2 1 BDAC 则该四边形的面积为 A 5 B 52 C 5 D 10 20 2013 浙江 设ABC 0 P是边AB上一定点 满足 0 1 4 PBAB 且对于边AB上任 一点P 恒有 00 PB PCPB PC 则 A 0 90 ABC B 0 90 BAC C ACAB D BCAC 21 2013 辽宁 已知点 1 3 A 4 1 B 则与向量AB同方向的单位向量为 A 34 55 B 43 55 C 3 4 5 5 D 4 3 5 5 22 2013 湖北 已知点 1 1 A 1 2 B 2 1 C 3 4 D 则向量AB在CD方向上 的投影为 A 3 2 2 B 3 15 2 C 3 2 2 D 3 15 2 23 2013 湖南 已知 a b是单位向量 0 a b 若向量c满足1 cab 则c的最 大值为 A 21 B 2 C 21 D 22 24 2013 重庆 在平面上 12 ABAB 12 1OBOB 12 APABAB 若 1 2 OP 则OA的取值范围是 A 5 0 2 B 57 22 C 5 2 2 D 7 2 2 25 2013 广东 设a是已知的平面向量且0 a 关于向量a的分解 有如下四个命题 给定向量b 总存在向量c 使 abc 给定向量b和c 总存在实数 和 使 abc 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使 abc 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使 abc 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 26 2012 陕西 设向量a 1 cos 与b 1 2cos 垂直 则cos2 等于 A 2 2 B 1 2 C 0 D 1 27 2012 浙江 设a b是两个非零向量 A 若 abab 则 ab B 若 ab 则 abab C 若 abab 则存在实数 使得 ba D 若存在实数 使得 ba 则 abab 28 2011 广东 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 abc 则 A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 29 2011 辽宁 已知向量 2 1 a 1 k b 2 0 aab 则 k A 12 B 6 C 6 D 12 30 2010 辽宁 平面上O A B三点不共线 设OA a OB b 则 OAB的面积 等于 A 222 aba b B 222 aba b C 222 1 2 aba b D 222 1 2 aba b 31 2010 山东 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 m n a p q b 令mqnp ab 下面说法错误的是 A 若a与b共线 则0 ab B abba C 对任意的R 有 abab D 2222 aba bab 二 填空题 32 2018 全国卷 已知向量 1 2 a 2 2 b 1 c 若 2 cab 则 33 2017 新课标 已知向量a b的夹角为 60 2 a 1 b 则 2 ab 34 2017 浙江 已知向量a b满足 1 a 2 b 则 abab的最小值是 最大值是 35 2017 山东 已知 1 e 2 e是互相垂直的单位向量 若 12 3 ee与 12 ee的夹角为60 则实数 的值是 36 2017 江苏 如图 在同一个平面内 向量OA OB OC的模分别为 1 1 2 OA 与OC的夹角为 且tan7 OB与OC的夹角为45 若OC mOA nOB m n R 则mn 37 2016 全国 I 设向量 1 m a 1 2 b 且 222 abab 则m 38 2015 江苏 已知向量 2 1 a 1 2 b 若 9 8 mn ab m n R 则mn 的值为 39 2015 湖北 已知向量OAAB 3OA 则OA OB 40 2015 新课标 设向量 a b不平行 向量 ab与2 ab平行 则实数 41 2015 浙江 已知 12 e e是空间单位向量 12 1 2 e e 若空间向量b满足 1 2 b e 2 5 2 b e 且对于任意 x yR 120 10200 1 xyxyx yR beebee 则 0 x 0 y b 42 2014 新课标 已知A B C是圆O上的三点 若 1 2 AOABAC 则AB与 AC的夹角为 43 2014 山东 在ABCV中 已知tanAB ACA uu u r uuu r 当 6 A 时 ABCV的面积为 44 2014 安徽 已知两个不相等的非零向量a b 两组向量 12345 xxxxx和 12345 yyyyy均由 2 个a 和 3 个b排列而成 记 112233 Sxyxyxy 4455 xyxy min S表示S所有可能取值中的最小值 则下列命题正确的是 写 出所有正确命题的编号 S有 5 个不同的值 若 ab则 min S与 a无关 若 ab则 min S与 b无关 若 4 ba 则0 min S 若 2 ba 2 min 8 S a 则a与b的夹角为 4 45 2014 北京 已知向量a b满足1 a 2 1 b 且0 ab R 则 46 2014 陕西 设 2 0 向量 sin2cos a cos1 b 若 ab 则 tan 47 2014 四川 平面向量 1 2 a 4 2 b m cab mR 且c与a的夹角 等于c与b的夹角 则m 48 2013新课标 已知两个单位向量a b的夹角为60 1 ctat b 若0 b c 则t 49 2013 新课标 已知正方形ABCD的边长为2 E为CD的中点 则AE BD 50 2013 山东 已知向量AB与AC的夹角120 且 AB 3 AC 2 若 APABAC 且APBC 则实数 的值为 51 2013浙江 设 1 e 2 e为单位向量 非零向量 12 xy bee x y R 若 1 e 2 e的 夹角为 6 则 x b 的最大值等于 52 2013天津 在平行四边形ABCD中 AD 1 60BAD E为CD的中点 若 1AC BE 则 AB 的长为 53 2013 北京 向量 a b c 在正方形网格中的位置如图所示 若 cab R 则 54 2013 北京 已知向量a b夹角为 o 45 且 1 a 2 10 ab 则 b 55 2012 湖北 已知向量a 1 0 b 1 1 则 与2 ab同向的单位向量的坐标表示为 向量3 ba与向量a夹角的余弦值为 56 2012 安徽 若平面向量a b满足 23 ab 则 a b的最小值是 57 2011 浙江 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 则 与 的夹角 的取值范围是 58 2011 江苏 已知 1 e 2 e是夹角为 3 2 的两个单位向量 12 2 aee 12 k bee 若0 a b 则k的值为 59 2011 新课标 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量 ka b垂直 则k 60 2011 安徽 已知向量 a b满足 abab 且1 a 2 b 则a与b的 夹角为 61 2010 陕西 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 三 解答题 62 2017 江苏 已知向量 cos sin xx a 3 3 b 0 x 1 若 ab 求x的值 2 记 f x a b 求 f x的最大值和最小值以及对应的x的值 专题五 平面向量 第十三讲 平面向量的概念与运算 答案部分 2019 年 1 解析 解析 1 3 BCACABt 则 2 1 3 1t 得3t 即 1 0 BC 所以 2 3 1 0 2AB BC 故选 C 2 解析解析 2 25 252 a caabaa b 因为 2222 25 44 559 cabaa bb 所以 3 c 所以 2 cos 3 a c a c a c 2010 2018 年 1 A 解析 通解 如图所示 E D C B A 11111 22222 EBEDDBADCBABACABAC 31 44 ABAC 故选 A 优解 111 222 EBABAEABADABABAC 31 44 ABAC 故选 A 2 C 解析 33 abab 22 3 3 abab 22 69 aa bb 22 96 aa bb 又 1 ab 0 a b ab 反之也成立 故选 C 3 B 解析 2 2 22 1 3 aabaa b 故选 B 4 A 解析 因为 m n为非零向量 所以 cos 0 m nm nm n的充要条件是 cos 0 m n 因为0 则由 mn可知 m n的方向相反 180 m n 所以cos 0 m n 所以 存在负数 使得 mn 可推出 0 m n 而 0 m n可推出cos 0 m n 但不一定推出 m n的方向相反 从而不一定推得 存在负数 使得 mn 所以 存在负数 使得 mn 是 0 m n 的充分而不必要条件 5 B 解析 由 t nmn可得 0t nmn 即 2 0t m nn 所以 222 1 cos 3 t nnn m nmnm n mn 4 334 3 n m 故选 B 6 B 解析 设BAa BCb 11 22 DEACba 33 24 DFDEba 1353 2444 AFADDFabaab 253531 44848 AF BCa bb 故选 B 7 D 解析 由向量的坐标运算得 42m ab abb 122 2 0m abb 解得8m 故选 D 8 A 解析 由题意得 1331 3 2222 cos 1 12 BA BC ABC BABC 所以30ABC 故选 A 9 A 解析 由题意 22 32 320ababaa bb 即 22 3cos20aa bb 所以 2 2 22 2 3 cos20 33 2 cos 2 4 选 A 10 B 解析 对于 A 选项 设向量a b的夹角为 cos a ba ba b A 选项正确 对于 B 选项 当向量a b反向时 abab B 选项 错误 对于 C 选项 由向量的平方等于向量模的平方可知 C 选项正确 对于 D 选项 根据向量的运算法则 可推导出 22 ababab 故 D 选项正确 综上选 B 11 D 解析 如图由题意 2a b 2a A B C D 2 2BCACABabab 故 2b 故A错误 2 2 2aa 所以 1a 又 2 2 2 4 22 2cos602AB ACaabaab 所以1a b 故 B C错误 设 B C中点为D 则2ABACAD 且ADBC 所以 4Cab 故选 D 12 A 解析 111 222 EBFCBABCCACBABACAD 13 A 解析 由 2 10 ab 2 6 ab 得1 a b 14 B 解析 由题意得 2 31 33 cos 26 29 m m 两边平方化简得6 318m 解得3m 经检验符合题意 15 B 解析 设 11223344 Sxyxyxyxy 若S的表达式中有 0 个a b 则 22 22Sab 记为 1 S 若S的表达式中有 2 个a b 则 22 222Saba b 记为 2 S 若S的表达式中有 4 个a b 则4Sa b 记为 3 S 又 2 ba 所以 22 2 13 2242 0SSaba bab 22 2 12 2 0SSaba bab 2 23 0SSab 321 SSS 故 min3 4SSa b 设 a b的夹角为 则 22 min 48 cos4 Sa baa 即 1 cos 2 又 0 所以 3 16 B 解析 对于 A C D 都有 1 e 2 e 所以只有 B 成立 17 B 解析 由于 222 2 2ttt baba ba 令 22 2 2f ttt ba ba 而t是任意实数 所以可得 f t的最小值为 2222222222 22 4 2 44cos4sin 1 444 a baba ba bb aa 即 22 sin1 b 则知若 确定 则 b唯一确定 18 C 解析 23 23 6 k ab 23 abc 所以 23 ab c 2 23 60k 解得3k 选 C 19 C 解析 因为022 4 1 BDAC 所以BCAC 所以四边形的面积 为5 2 2 4 21 2 2222 BDAC 故选 C 20 D 解析 由题意 设 4AB 则 0 1PB 过点C作AB的垂线 垂足为H 在AB上任取一点P 设 0 HPa 则由数量积的几何意义可得 1 PB PCPHPBPBaPB 0000 PB PCPHPBa 于是 00 PB PCPB PC 恒成立 相当于 1 PBaPBa 恒成立 整理得 2 1 PBaPBa 0恒成立 只需 22 1 4 1 0aaa 即可 于是1a 因此我们得到2HB 即H是AB的中点 故 ABC是等腰三角形 所以ACBC P0PH C B A 21 A 解析 3 4 AB 所以 5AB 这样同方向的单位向量是 134 555 AB 22 A 解析 AB 2 1 CD 5 5 则向量AB在向量CD方向上的射影为 2 23 25 5152 55 5 5 1 2 cos 22 CD CDAB AB 23 C 解析 建立平面直角坐标系 令向量 a b的坐标 1 0 0 1 ab 又设 x y c 代入1 cab得 22 111xy 又c的最大值为圆 22 111xy 上的动点到原点的距离的最大值 即圆心 1 1 到原点的距离加圆的半径 即21 24 D 解析 因为 1 AB 2 AB 所以可以 A 为原点 分别以 1 AB 2 AB所在直线 为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 设 B1 a 0 B2 0 b O x y 则AP 1 AB 2 AB a b 即 P a b 由 1 OB 2 OB 1 得 x a 2 y2 x2 y b 2 1 所以 x a 2 1 y2 0 y b 2 1 x2 0 由 OP 1 2 得 x a 2 y b 2 1 4 即 0 1 x2 1 y2 1 4 所以 7 4 x2 y2 2 即 22 7 2 2 xy 所以 OA 的取值范围是 7 2 2 故选 D 25 B 解析 利用向量加法的三角形法则 易的 是对的 利用平面向量的基本定理 易 的 是对的 以a的终点作长度为 的圆 这个圆必须和向量 b有交点 这个不一定 能满足 是错的 利用向量加法的三角形法则 结合三角形两边的和大于第三边 即 必须 bca 所以 是假命题 综上 本题选 B 平面向量的基本定理考前 还强调过 不懂学生做得如何 26 C 解析 22 0 1 2cos0 cos22cos10 aba b 正确的是 C 27 C 解析 2222 2 2 ababaabbaa bb 则 0 aba b 所以 a b不垂直 A 不正确 同理 B 也不正确 aba b 则cos 1 a b 所以 a b共线 故存在实数 使得 ba C 正确 若 ba 则1 此时 2 0 aba ab 所以 D 不正确 28 B 解析 1 2 ab 由 ab c 得64 1 0 解得 1 2 29 D 解析 2 5 2 k ab 由 2 0 aab 得 2 1 5 2 0k 1020k 解得12k 30 C 解析 三角形的面积 S 1 2 sin a ba b 而 2222222 11 cos 22 ababababa b 2 11 1 cos sin 22 a ba ba ba b 31 B 解析 若a与b共线 则有 0mqnp ab 故 A 正确 因为pnqm ba 而 mqnp ab 所以有 abba 故选项 B 错误 故选 B 32 1 2 解析 2 4 2 ab 因为 1 c 且 2 cab 所以1 24 即 1 2 33 2 3 解析 222 2 4 444 1 4 2 1 cos6012 ababab 2 2 3 ab 34 4 2 5 解析 设向量 a b的夹角为 由余弦定理有 22 122 1 2 cos54cosab 22 122 1 2 cos54cosab 则 54cos54cosabab 令54cos54cosyxx 则 22 102 25 16cos16 20y 据此可得 maxmin 202 5 164abababab 即abab 的最小值是 4 最大值是2 5 35 3 3 解析 22 1212112122 3 333 eeeeee ee ee 222 12121122 3 3 32 32 eeeeee ee 22222 12121122 21 eeeeee ee 22 321cos601 解得 3 3 36 3 解析 由tan7 可得 7 2 sin 10 2 cos 10 由OC m OA nOB 得 2 2 OC OAmOAnOB OA OC OBmOB OAnOB 即 2coscos 45 2cos45cos 45 mn mn 两式相加得 2 coscos45 1 cos 45 mn 所以 22 22 2cos2cos45 102 3 1 cos 45 227 22 1 102102 mn 所以3mn 37 3 解析 由题意得 29 282 5 3 mnmnmnmn 38 9 解析 因为OAAB 3OA 所以OA OB 93 222 OAOBOAOAABOAOA 39 1 解析 由题意 22 ln ln f xxxaxfxxaxx 所以 2 2 1 axx axx 解得1a 40 1 2 2 2 解析 由题意可令 0 1023 xy beee 其中 3 1 2 i i ee 由 1 2 b e得 0 0 2 2 y x 由 2 5 2 b e 得 0 0 5 22 x y 解得 0 1x 0 2y 2 123 2 2 2e bee 41 2 解析 由 222 abab得 ab 则20m 所以2m 42 90 解析 由 1 2 AOABAC 得O为BC的中点 故BC为圆O的直径 所以AB与AC 的夹角为90 43 1 6 解析 cosAB ACABACA uu u r uuu ruu u ruuu r 由costanABACAA uu u ruuu r 得 2 3 ABAC uu u ruuu r 故ABCV的面积为 11 sin 266 ABAC 44 解析 S 有下列三种情况 22222 1 Saabbb 222 2 Saa ba bbb 2 3 Sa ba ba ba bb 22 22 1223 2 0SSSSaba babab min3 SS 若ab 则 2 min3 SSb 与 a无关 正确 若a b 则 2 min3 4SSa bb 与 b有关 错误 若 4 ba 则 2222 min3 4 cos 4 0SSabbabbbb 正确 若 2 min 2 8 baSa 则 2 222 min3 48 cos4 8 SSa bbaaa 1 cos 2 3 错误 45 5 解析 1 a 可令 cos sin a 0 ab cos20 sin10 即 2 cos 1 sin 解得 2 5 得 5 46 1 2 解析 ab 2 sin2cos 2 2sin coscos 0 2 1 tan 2 47 2 解析 1 4 22 cmm 因为cos c a c a ca cos c b c b cb 所以 c ac b cacb 又 2 ba 所以2c ac b 即2 4 2 22 4 4 2 22 mmmm 2m 解析 2 由几何意义知c为以ma b为邻边的菱形的对角线向量 又 2 ba 故2m 48 2 解析 b c 1 tt bab 2 1 tt a bb 1 1 2 tt 1 1 2 t 0 解得t 2 49 2 解析 在正方形中 1 2 AEADDC BDBAADADDC 所以 22 22 111 222 222 AE BDADDCADDCADDC 50 7 12 解析 向量AB与AC的夹角为120 且 3 2 ABAC 所以 1 cos1203 23 2 AB ACABAC 由APBC 得 0AP BC 即 0AP BCABACACAB 所以 22 1 0ACABAB AC 即493 1 0 解得 7 12 51 2 解析 2 2222 12 2 1 33 xxx xyxyxyxyxy x b ee 22 11 331 1 24 yyy xxx 所以 x b 的最大值为 2 52 1 2 解析 因为 E 为 CD 的中点 所以 11 22 BEBCCE