理科数学2010-2019高考真题分类训练36专题十一概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布—附解析答案

专题十一 概率与统计 第三十六讲二项分布及其应用 正态分布 一 选择题 1 2015 湖北 设 2 11 XN 2 22 YN 这两个正态分布密度曲线如图所 示 下列结论中正确的是 A 21 P YP Y B 21 P XP X C 对任意正数t P XtP Yt D 对任意正数t P XtP Yt 2 2015 山东 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布 2 0 3 N 从中随 机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布 2 N 则 68 26 P 22 95 44 P A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 3 2014 新课标 2 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是 0 75 连续两天为优良的概率是 0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量为 优良的概率是 A 0 8 B 0 75 C 0 6 D 0 45 4 2011 湖北 已知随机变量 服从正态分布 2 2 N 且 8 04 P 则 20 P A 6 0 B 4 0 C 3 0 D 2 0 二 填空题 5 2017 新课标 一批产品的二等品率为0 02 从这批产品中每次随机取一件 有放回 地抽取100次 表示抽到的二等品件数 则DX 6 2016 四川 同时抛掷两枚质地均匀的硬币 当至少有一枚硬币正面向上时 就说这次 试验成功 则在 2 次试验中成功次数X的均值是 7 2015 广东 已知随机变量 服从二项分布 n p 若 30 20D 则p 8 2012 新课标 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成 元件 1 或元件 2 正常工 作 且元件 3 正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布 50 1000 2 N 且各个元件能否正常工作相互独立 那么该部件的使 用寿命超过 1000 小时的概率为 三 解答题 9 2017 新课标 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线 上随机抽取 16 个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期生产经验 可以认为这条 生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 N 1 假设生产状态正常 记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求 1 P X 及X的数学期望 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸 9 95 10 12 9 96 9 96 10 01 9 92 9 98 10 04 10 26 9 91 10 13 10 02 9 22 10 04 10 05 9 95 经计算得 16 1 1 9 97 16 i i xx 1616 222 11 11 16 1616 ii ii sxxxx 1元件 2元件 3元件 0 212 其中 i x为抽取的第i个零件的尺寸 i 1 2 16 用样本平均数x作为 的估计值 用样本标准差s作为 的估计值 利用 估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查 剔除之外的数据 用剩下的数据估计 和 精确到 0 01 附 若随机变量Z服从正态分布 2 N 则 33 PZ 0 997 4 16 0 99740 9592 0 0080 09 10 2016 新课标 某险种的基本保费为 a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续 保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保 费 0 85a a 1 25a 1 5a 1 75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概 率 0 30 0 15 0 20 0 20 0 10 0 05 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 11 2015 湖南 某商场举行有奖促销活动 顾客购买一定金额商品后即可抽奖 每次抽奖 都从装有 4 个红球 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球 5 个白球的乙箱中 各随机摸出 1 个球 在摸出的 2 个球中 若都是红球 则获一等奖 若只有 1 个红球 则获二等奖 若没有红球 则不获奖 1 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率 2 若某顾客有 3 次抽奖机会 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X 求X的 分布列和数学期望 12 2015 湖北 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A B两种奶制品 生产 1 吨A产品需鲜牛 奶 2 吨 使用设备 1 小时 获利 1000 元 生产 1 吨B产品需鲜牛奶 1 5 吨 使用设备 1 5 小时 获利 1200 元 要求每天B产品的产量不超过A产品产量的 2 倍 设备每天 生产 A B两种产品时间之和不超过 12 小时 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W 单位 吨 是一个随机变量 其分布列为 W 12 15 18 P 0 3 0 5 0 2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产 使其获利最大 因此每天的最大获利Z 单 位 元 是一个随机变量 求Z的分布列和均值 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立 求 3天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率 13 2015 新课标 某公司为了解用户对其产品的满意度 从A B两地区分别随机调查 了 20 个用户 得到用户对产品的满意度评分如下 A地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 得出结论即可 根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三个等级 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 假设两地区 用户的评价结果相互独立 根据所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的 概率 求 C 的概率 14 2014 山东 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利 比赛随即 结束 除第五局甲队获胜的概率是 1 2 外 其余每局比赛甲队获胜的概率是 2 3 假设各 局比赛结果互相独立 1 分别求甲队以 3 0 3 1 3 2 胜利的概率 2 若比赛结果为 3 0 或 3 1 则胜利方得 3 分 对方得 0 分 若比赛结果为 3 2 则胜 利方得 2 分 对方得 1 分 求乙队得分X的分布列及数学期望 15 2014 陕西 在一块耕地上种植一种作物 每季种植成本为 1000 元 此作物的市场价 格和这块地上的产量具有随机性 且互不影响 其具体情况如下表 设X表示在这块地上种植 1 季此作物的利润 求X的分布列 若在这块地上连续 3 季种植此作物 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率 16 2014 广东 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数 单位 件 获得数据如下 30 42 41 36 44 40 37 37 25 45 29 43 31 36 49 34 33 43 38 42 32 34 46 39 36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下 分组 频数 频率 25 30 3 0 12 30 35 5 0 20 35 40 8 0 32 40 45 1 n 1 f 45 50 2 n 2 f 1 确定样本频率分布表中 121 n nf和 2 f的值 2 根据上述频率分布表 画出样本频率分布直方图 3 根据样本频率分布直方图 求在该厂任取 4 人 至少有 1 人的日加工零件数落在 区间 30 35 的概率 17 2011 大纲 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险 但不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 X表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求X的期望 专题十一 概率与统计 第三十六讲二项分布及其应用 正态分布 答案部分 1 C 解析 由正态分布密度曲线的性质可知 2 11 XN 2 22 YN 的密度曲 线分别关于直线 1 x 2 x 对称 因此结合题中所给图象可得 12 所以 21 P YP Y 故A错误 又 2 11 XN 得密度曲线较 2 22 YN 的密度曲线 瘦高 所以 12 B 错误 对任意正 数t P XtP Yt P XtP Yt C 正确 D 错误 2 B 解析 1 36 95 44 68 26 13 59 2 P 3 A 解析 根据条件概率公式 P AB P B A P A 可得所求概率为 0 6 0 8 0 75 4 C 解析 如图 正态分布的密度函数示意图所示 函数关于直线2 x对称 所以 5 02 P 并且 4220 PP 则 2420 PPP 3 05 08 0 所以选 C 5 1 96 解析 由题意可得 抽到二等品的件数符合二项分布 即 100 0 02XB 由 二项分布的期望公式可得 1100 0 02 0 981 96DXnpp 6 3 2 解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币 可能的结果有 正正 正反 反正 反 反 所以在 1 次试验中成功次数 的取值为0 1 2 其中 111 0 1 2 424 PPP 在 1 次试验中成功的概率为 113 1 424 P 所以在 2 次试验中成功次数X的概率为 1 2 313 1 448 P XC x y O 4 2 2 39 2 416 P X 393 12 8162 EX 解法 2 由题意知 实验成功的概率 3 4 p 故 3 2 4 XB 所以 33 2 42 E X 7 1 3 解析 由 30 1 20 np npp 得 1 3 p 8 3 8 解析 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 N得 三个电子元件 的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作 的概率 2 1 3 1 1 4 Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 9 解析 1 抽取的一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率为 0 9974 从而零 件的尺寸在 3 3 之外的概率为 0 0026 故 16 0 0026 X B 因此 1 1 0 1 0 99740 0408P XP X X的数学期望为16 0 00260 0416EX 2 i 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有 0 0026 一天内抽取的 16 个零件中 出现尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有 0 0408 发生的概率很小 因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 可见上述监控生产 过程的方法是合理的 ii 由9 97x 0 212s 得 的估计值为 9 97 的估计值为 0 212 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 3 3 之外 因此需 对当天的生产过程进行检查 剔除 3 3 之外的数据 9 22 剩下数据的平均数为 1 16 9 979 22 10 02 15 因此 的估计值为 10 02 16 222 1 16 0 21216 9 971591 134 i i x 剔除 3 3 之外的数据 9 22 剩下数据的样本方差为 22 1 1591 1349 2215 10 02 0 008 15 因此 的估计值为0 0080 09 10 解析 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A 1 1 0 300 15 0 55P AP A 设续保人保费比基本保费高出60 为事件B 0 100 053 0 5511 P AB P B A P A 解 设本年度所交保费为随机变量X X 0 85a a 1 25a 1 5a 1 75a 2a P 0 30 0 15 0 20 0 20 0 10 0 05 平均保费 0 85 0 300 151 250 20 1 50 20 1 750 1020 05EXaaaaa 0 2550 150 250 30 1750 11 23aaaaaaa 平均保费与基本保费比值为1 23 11 解析 记事件 1 A 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 2 A 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 1 B 顾客抽奖 1 次获一等奖 2 B 顾客抽 奖 1 次获二等奖 C 顾客抽奖 1 次能获奖 由题意 1 A与 2 A相互独立 12 A A与 12 A A互斥 1 B与 2 B互斥 且 1 B 12 A A 2 B 12 A A 12 A A C 1 B 2 B 因P 1 A 4 10 2 5 P 2 A 5 10 1 2 所以P 1 B P 12 A A P 1 A P 2 A 2 5 1 2 1 5 P 2 B P 12 A A 12 A A P 12 A A P 12 A A P 1 A 1 P 2 A 1 P 1 A P 2 A 2 5 1 1 2 1 2 5 1 2 1 2 故所求概率为P C P 1 B 2 B P 1 B P 2 B 1 5 1 2 7 10 顾客抽奖 3 次独立重复试验 由 I 知 顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 1 5 所以 1 3 5 XB 于是 P X 0 003 3 14 55 C 64 125 P X 1 112 3 14 55 C 48 125 P X 2 221 3 14 55 C 12 125 P X 3 330 3 14 55 C 1 125 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 X的数学期望为 E X 3 1 5 3 5 12 解析 设每天 A B两种产品的生产数量分别为 x y 相应的获利为z 则有 21 5 1 512 20 0 0 xyW xy xy xy 1 目标函数为10001200zxy 当12W 时 1 表示的平面区域如图1 三个顶点分别为 0 0 2 4 4 8 6 0 ABC 将10001200zxy 变形为 5 61200 z yx 当2 4 4 8xy 时 直线l 5 61200 z yx 在y轴上的截距最大 最大获利 max 2 4 10004 8 12008160Zz 当15W 时 1 表示的平面区域如图2 三个顶点分别为 0 0 3 6 7 5 0 ABC 将10001200zxy 变形为 5 61200 z yx 当3 6xy 时 直线l 5 61200 z yx 在y轴上的截距最大 第 10 题解答图 1 第 10 题解答图 2 第 10 题解答图 3 y xA 0 0 D 9 0 12 8 O C 6 4 12 y x A 0 0 C 6 0 12 8 O B 2 4 4 8 y xA 0 0 C 7 5 0 12 8 O B 3 6 10 B 3 6 最大获利 max 3 10006 120010200Zz 当18W 时 1 表示的平面区域如图 3 四个顶点分别为 0 0 3 6 6 4 9 0 ABCD 将10001200zxy 变形为 5 61200 z yx 当6 4xy 时 直线l 5 61200 z yx 在y轴上的截距最大 最大获利 max 6 10004 120010800Zz 故最大获利Z的分布列为 Z 8160 10200 10800 P 0 3 0 5 0 2 因此 8160 0 3 10200 0 5 10800 0 29708E Z 由 知 一天最大获利超过 10000 元的概率 1 10000 0 50 20 7pP Z 由二项分布 3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为 33 1 1 1 1 0 30 973pp 13 解析 两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出 A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的 平均值 A 地区用户满意度评分比较集中 B 地区用户满意度评分比较分散 记 1A C表示事件 A 地区用户满意度等级为满意或非常满意 2A C表示事件 A 地区用户满意度等级为非常满意 1B C表示事件 B 地区用户满意度等级为不满意 2B C表示事件 B 地区用户满意度等级为满意 则 1A C与 1B C独立 2A C与 2B C独立 1B C与 2B C互斥 1122BABA CC CC C 1122 BABA P CP C CC C 1122 BABA P C CP C C 1122 BABA P CP CP CP C 由所给数据得 1A C 2A C 1B C 2B C发生的概率分别为 16 20 4 20 10 20 8 20 故 1 A P C 16 20 2 A P C 4 20 1 B P C 10 20 2 B P C 8 20 故 101684 0 48 20202020 P C 14 解析 1 记 甲队以 3 0 胜利 为事件 1 A 甲队以 3 1 胜利 为事件 2 A 甲 队以 3 2 胜利 为事件 3 A 由题意 各局比赛结果相互独立 故 3 1 28 327 P A 22 23 2228 1 33327 P AC 122 34 2214 1 33227 P AC 所以 甲队以 3 0 3 1 3 2 胜利的概率分别是 8 27 8 27 4 27 2 设 乙队以 3 2 胜利 为事件 4 A 由题意 各局比赛结果相互独立 所以 122 44 2214 1 1 33227 P AC 由题意 随机变量X的所有可能的取值为 0 1 2 3 根据事件的互斥性得 1212 0 P XP AAP AP A 16 27 3 4 1 27 P XP A 4 4 2 27 P XP A 3 P X 1 0 P X 1 P X 2 P X 3 27 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 3 27 所以 16443 0123 27272727 EX 7 9 15 解析 设 A 表示事件 作物产量为 300kg B 表示事件 作物市场价格为 6 元 kg 由题设知 0 5P A 0 4P B 因为利润 产量 市场价格 成本 所以X所有可能的取值为 500 10 10004000 500 6 10002000 300 10 10002000 300 6 1000800 4000 1 0 5 1 0 4 0