理科数学2010-2019高考真题分类训练16专题六 数列 第十六讲 等比数列—附解析答案

专题六 数列 第十六讲 等比数列 2019 年 1 2019 全国 1 理 14 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 若 2 146 1 3 aaa 则 S5 2 2019 全国 3 理 5 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项为和为 15 且 a5 3a3 4a1 则 a3 A 16 B 8 C 4 D 2 3 2019 全国 2 卷理 19 已知数列 an 和 bn 满足 a1 1 b1 0 1 434 nnn aab 1 434 nnn bba 1 证明 an bn 是等比数列 an bn 是等差数列 2 求 an 和 bn 的通项公式 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 北京 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 依 次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于122 若第一个单音的频率为 f 则第八个单音的频率为 A 3 2f B 32 2 f C 12 5 2 f D 12 7 2 f 2 2018 浙江 已知 1 a 2 a 3 a 4 a成等比数列 且 1234123 ln aaaaaaa 若 1 1a 则 A 13 aa 24 aa B 13 aa 24 aa C 13 aa 24 aa D 13 aa 24 aa 3 2017 新课标 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红 光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 则塔的顶层共有灯 A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏 4 2015 新课标 等比数列 n a满足 1 3a 135 21aaa 则 357 aaa A 21 B 42 C 63 D 84 5 2014 重庆 对任意等比数列 n a 下列说法一定正确的是 A 139 a a a成等比数列 B 236 a a a成等比数列 C 248 a a a成等比数列 D 269 a a a成等比数列 6 2013 新课标 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 321 10Saa 5 9a 则 1 a A 1 3 B 1 3 C 1 9 D 1 9 7 2012 北京 已知 n a为等比数列 下面结论中正确的是 A 132 2aaa B 222 132 2aaa C 若 13 aa 则 12 aa D 若 31 aa 则 42 aa 8 2011 辽宁 若等比数列 n a满足 1 16n nn a a 则公比为 A 2 B 4 C 8 D 16 9 2010 广东 已知数列 n a为等比数列 n S是是它的前 n 项和 若 231 2aaa 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 则 5 S A 35 B 33 C 3l D 29 10 2010 浙江 设 n s为等比数列 n a的前 n 项和 25 80aa 则 5 2 S S A 11 B 8 C 5 D 11 11 2010 安徽 设 n a是任意等比数列 它的前n项和 前2n项和与前3n项和分别为 X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A 2XZY B Y YXZ ZX C 2 YXZ D Y YXX ZX 12 2010 北京 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 则m A 9 B 10 C 11 D 12 13 2010 辽宁 设 n S为等比数列 n a的前n项和 已知 34 32Sa 23 32Sa 则 公比q A 3 B 4 C 5 D 6 14 2010 天津 已知 n a是首项为 1 的等比数列 n s是 n a的前n项和 且 36 9ss 则数列 1 n a 的前 5 项和为 A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D 15 8 二 填空题 15 2017 新课标 设等比数列 n a满足 12 1aa 13 3aa 则 4 a 16 2017 江苏 等比数列 n a的各项均为实数 其前n项的和为 n S 已知 3 7 4 S 6 63 4 S 则 8 a 17 2017 北京 若等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab 44 8ab 则 2 2 a b 18 2016 年全国 I 设等比数列 n a满足 13 10aa 24 5aa 则 12n a aa 的最大 值为 19 2016 年浙江 设数列 n a的前n项和为 n S 若 2 4S 1 21 nn aS nN 则 1 a 5 S 20 2015 安徽 已知数列 n a是递增的等比数列 1432 9 8aaa a 则数列 n a的 前n项和等于 21 2014 广东 等比数列 n a的各项均为正数 且 15 4a a 则 2122232425 log log log log log aaaaa 22 2014 广东 若等比数列 n a的各项均为正数 且 5 1291110 2eaaaa 则 1220 lnlnlnaaa 23 2014 江苏 在各项均为正数的等比数列 n a中 1 2 a 468 2aaa 则 6 a的值 是 24 2013 广东 设数列 n a是首项为1 公比为2 的等比数列 则 1234 aaaa 25 2013 北京 若等比数列 n a满足 24 aa 20 35 aa 40 则公比 q 前 n 项和 n S 26 2013 江苏 在正项等比数列 n a中 2 1 5 a 3 76 aa 则满足 nn aaaaaaaa 321321 的最大正整数n的值为 27 2012 江西 等比数列 n a的前n项和为 n S 公比不为 1 若 1 1a 且对任意的nN 都有 21 20 nnn aaa 则 5 S 28 2012 辽宁 已知等比数列 n a为递增数列 若0 1 a 且 12 5 2 nnn aaa 则数 列 n a的公比 q 29 2012 浙江 设公比为 0 q q 的等比数列 n a的前n项和为 n S 若 22 32Sa 44 32Sa 则q 30 2011 北京 在等比数列 n a中 1 1 2 a 4 4a 则公比q 12 n aaa 三 解答题 31 2018 全国卷 等比数列 n a中 1 1a 53 4aa 1 求 n a的通项公式 2 记 n S为 n a的前n项和 若63 m S 求m 32 2017 山东 已知 n x是各项均为正数的等比数列 且 12 3xx 32 2xx 求数列 n x的通项公式 如图 在平面直角坐标系xOy中 依次连接点 11 1 P x 22 2 P x 11 1 nn Pxn 得到折线 1 P 2 P 1n P 求由该折线与直线0y 1 xx 1n xx 所围成的区域的面积 n T P4 P3 P2 P1 Ox4x3x2x1 y x 33 2016 年全国 III 高考 已知数列 n a的前n项和1 nn Sa 其中0 证明 n a是等比数列 并求其通项公式 若 5 31 32 S 求 34 2014 新课标 已知数列 n a满足 1 a 1 1 31 nn aa 证明 1 2 n a 是等比数列 并求 n a的通项公式 证明 12 3111 2 n aaa 35 2014 福建 在等比数列 n a中 25 3 81aa 求 n a 设 3 log nn ba 求数列 n b的前n项和 n S 36 2014 江西 已知数列 n a的前n项和 Nn nn Sn 2 3 2 求数列 n a的通项公式 证明 对任意1 n 都有 Nm 使得 mn aaa 1 成等比数列 37 2013 四川 在等比数列 n a中 21 2aa 且 2 2a为 1 3a和 3 a的等差中项 求数列 n a的首项 公比及前n项和 38 2013 天津 已知首项为 3 2 的等比数列 n a的前 n 项和为 n S n N 且 234 2 4SSS 成 等差数列 求数列 n a的通项公式 证明 13 6 1 n n Sn S N 39 2011 新课标 已知等比数列 n a的各项均为正数 且 2 12326 231 9aaaa a 求数列 n a的通项公式 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 1 n b 的前 n 项和 40 2011 江西 已知两个等比数列 nn ab 满足 aa aba baba 若a 求数列 n a的通项公式 若数列 n a唯一 求a的值 41 2011 安徽 在数 1 和 100 之间插入n个实数 使得这2n 个数构成递增的等比数列 将这2n 个数的乘积记作 n T 再令 lg nn aT 1n 求数列 n a的通项公式 设 1 tantan nnn baa 求数列 n b的前n项和 n S 专题六 数列 第十六讲 等比数列 答案部分 2019 年 1 解析 解析 在等比数列中 由 2 46 aa 得 265 11 0a qa q 又 1 1 3 a 所以解得3q 则 5 5 1 5 1 1 3 1 121 3 11 33 S q aq 2 解析解析 设等比数列 n a的公比为 0 q q 则由前 4 项和为 15 且 531 34aaa 有 4 1 42 111 1 15 1 34 aq q a qa qa 解得 1 1 2 a q 所以 2 3 24a 故选 C 3 解析 解析 1 由题设得 11 4 2 nnnn abab 即 11 1 2 nnnn abab 又因为a1 b1 l 所以 nn ab 是首项为1 公比为 1 2 的等比数列 由题设得 11 4 4 8 nnnn abab 即 11 2 nnnn abab 又因为a1 b1 l 所以 nn ab 是首项为1 公差为2的等差数列 2 由 1 知 1 1 2 nn n ab 21 nn abn 所以 111 222 nnnnn n aababn 111 222 nnnnn n bababn 2010 2018 年 1 D 解析 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 第一个单音的频率为f 由等比数列的概念可知 这十三个单音的频率构成一个首项 为f 公比为122的等比数列 记为 n a 则第八个单音频率为 128 1712 8 2 2aff 故选 D 2 B 解析 解法一 因为ln1xx 0 x 所以 1234123 ln aaaaaaa 123 1aaa 所以 4 1a 又 1 1a 所以等比数列的公比0q 若1q 则 2 12341 1 10aaaaaqq 而 1231 1aaaa 所以 123 ln 0aaa 与 1231234 ln 0aaaaaaa 矛盾 所以10q 所以 2 131 1 0aaaq 2 241 1 0aaa qq 所以 13 aa 24 aa 故选 B 解法二 因为1 x ex 1234123 ln aaaaaaa 所以 1234 1231234 1 aaaa eaaaaaaa 则 4 1a 又 1 1a 所以等比数列的公比0q 若1q 则 2 12341 1 10aaaaaqq 而 1231 1aaaa 所以 123 ln 0aaa 与 1231234 ln 0aaaaaaa 矛盾 所以10q 所以 2 131 1 0aaaq 2 241 1 0aaa qq 所以 13 aa 24 aa 故选 B 3 B 解析 设塔顶共有灯 1 a盏 根据题意各层等数构成以 1 a为首项 2 为公比的等比数 列 7 7 1 71 1 2 21 381 1 2 a Sa 解得 1 3a 选 B 4 B 解析 由于 24 1 1 21aqq 1 3a 所以 42 60qq 所以 2 2q 2 3q舍去 所以 3 6a 5 12a 7 24a 所以 357 42aaa 5 D 解析 由等比数列的性质得 2 396 0aaa 因此 269 a a a一定成等比数列 6 C 解析 设等比数列 n a的公比为q 321 10Saa 12321 10aaaaa 即 31 9aa 2 9q 由 5 9a 即 4 1 9a q 1 1 9 a 7 B 解析 取特殊值可排除 A C D 由均值不等式可得 222 13132 22aaa aa 8 B 解析 由 1 16n nn a a 得 1 12 16n nn aa 两式相除得 1 12 1 16 16 16 n nn n nn aa a a 2 16q 1 16n nn a a 可知公比q为正数 4q 9 C 解析 设 n a 的公比为q 则由等比数列的性质知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知 47 5 22 4 aa 74 15 2 24 aa 1 4 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 1 16a 5 5 1 16 1 2 31 1 1 2 S 10 A 解析 通过 25 80aa 设公比为q 将该式转化为08 3 22 qaa 解得q 2 所以 5 5 2 2 11 32 11 11 4 Sq Sq 11 D 解析 取等比数列1 2 4 令1n 得1 3 7XYZ 代入验算 只有选项 D 满足 12 C 解析 2341010 123451m aa a a a aq qqqqa q 因此有11m 13 B 解析 两式相减得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 14 C 解析 显然q 1 所以 36 3 9 1 1 12 11 qq qq qq 所以 1 n a 是首项为 1 公比为 1 2 的等比数列 前 5 项和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 15 8 解析 设 n a的首项为 1 a 公比为q 所以 11 2 11 1 3 aa q aa q 解得 1 1 2 a q 则 3 41 8aa q 16 32 解析 设 n a的公比为q 由题意1q 由 6 3 6 3 3 1 19 1 Sq q Sq 所以2q 由 3 1 3 1 7 14 aq S q 得 1 1 4 a 所以 775 81 1 2232 4 aa q 17 1 解析 设 n a的公差为d n b的公比为q 由题意 3 1 38dq 所以3d 2q 所以 2 2 1 3 1 2 a b 18 64 解析 设 n a的公比为q 由 13 10aa 24 5aa 得 1 1 8 2 aq 则 2 4a 3 2a 4 1a 5 1 2 a 所以 121234 64 n a aaa a a a 19 1 121 解析 由于 12 21 4 21 aa aa 解得 1 1a 由 11 21 nnnn aSSS 所以 1 11 3 22 nn SS 所以 1 2 n S 是以 3 2 为首项 3 为公比的等比数列 所以 1 13 3 22 n n S 所以 5 121S 20 21 n 解析 由题意 14 2314 9 8 aa aaa a 解得 14 1 8aa 或 14 8 1aa 而 数列 n a是递增的等比数列 所以 14 1 8aa 即 3 4 1 8 a q a 所以2q 因而 数列 n a的前n项和 1 1 1 2 21 11 2 nn n n aq S q 21 5 解析 由等比数列的性质可知 2 1 5243 a aa aa 于是 由 15 4a a 得 3 2a 故 12345 32a a a a a 则 2122232425 log log log log log aaaaa 2123452 log log 325a a a a a 22 50 解析 因 n a是等比数列 1201011912 a aa aa a 由 5 1291110 2eaaaa 得 5 120 a ae 1220 lnlnlnaaa 10 1220120 ln ln a aaa a 50 23 4 解析 设等比数列 n a的公比为q 0q 则 864 2aaa 即为 42 444 2a qa qa 解得 2 2q 负值舍去 又 2 1a 所以 4 62 4aa q 24 15 解析 1234 1 2 4 8aaaa 1234 aaaa 15 25 1 2 22 n 解析 由 35 aa 24 q aa 得2q 3 241 aaa qq 20 得 1 2a 1 2 1 2 22 1 2 n n n S 26 12 解析 设正项等比数列 n a首项为 1 a 公比为 q 则 3 1 2 1 51 41 qqa qa 得 1 a 1 32 q 2 6 2 n n a 记 5 21 2 12 n nn aaaT 2 1 21 2 nn nn aaa nn T 则 2 1 5 2 2 12 nn n 化简得 5 2 11 2 1 2 212 nn n 当5 2 11 2 1 2 nnn时 12 2 12113 n 当 n 12 时 1212 T 当 n 13 时 1313 T 故 max 12n 27 11 解析 由 21 20 nnn aaa 可得 2 20 nnn a qa qa 由 1 1a 可知0 1 n aq 求得公比2q 可得 5 S 11 28 2 解析 22 21 1 2 5 2 1 5 2 1 5 2 2 nnnnn aaaaqa qqqqq 解得或 因为数列为递增数列 且 1 0 1 2aqq 所以 29 3 2 解析 依题意可得 2 1 12 111 443 3 1111 1 1 32 232201 1 23220 32 1 aq a q a qa qaqq aqa qa qaq a q q 两式相减可得 423 1111 22330a qa qa qa q 即 423 22330qqqq 解得1q 舍 或0q 或 3 2 q 因为0q 所以 3 2 q 30 2 1 1 2 2 n 解析 3 41 aa q 得 3 1 4 2 q 解得2q 1 12 1 1 2 1 2 2 1 22 n n n aaa 31 解析 1 设 n a的公比为q 由题设得 1n n aq 由已知得 42 4qq 解得0q 舍去 2q 或2q 故 1 2 n n a 或 1 2n n a 2 若 1 2 n n a 则 1 2 3 n n S 由63 m S 得 2 188 m 此方程没有正整 数解 若 1 2n n a 则21 n n S 由63 m S 得264 m 解得6m 综上 6m 32 解析 设数列 n x的公比为q 由已知0q 由题意得 11 2 11 3 2 xx q x qx q 所以 2 3520qq 因为0q 所以 1 2 1qx 因此数列 n x的通项公式为 1 2 n n x 过 123 P P P 1n P 向x轴作垂线 垂足分别为 123 Q Q Q 1n Q 由 得 11 1 222 nnn nn xx 记梯形 11nnnn P P QQ 的面积为 n b 由题意 12 1 2 21 2 2 nn n nn bn 所以 123n Tbbb n b 101 3 25 27 2 32 21 2 21 2 nn nn 又 012 23 25 27 2 n T 21 21 2 21 2 nn nn 得 1211 3 2 22 2 21 2 nn n Tn 1 1 32 1 2 21 2 21 2 n n n 所以 21 21 2 n n n T 33 解析 由题意得 111 1aSa 故1 1 1 1 a 0 1 a 由 nn aS 1 11 1 nn aS 得 nnn aaa 11 即 nn aa 1 1 由0 1 a 0 且1 得0 n a 所以 1 1 n n a a 因此 n a是首项为 1 1 公比为 1 的等比数列 于是 1 1 1 1 n n a 由 得 n n S 1 1 由 32 31 5 S得 32 31 1 1 5 即 5 1 32 1 解得1 34 解析 I 由 1 31 nn aa 得 1 11 3 22 nn aa 又 1 13 22 a 所以 1 2 n a 是首项为 3 2 公比为 3 的等比数列 13 22 n n a 因此 n a的通项公式为 31 2 n n a 由 I 知 12 31 n n a 因为当1n 时 1 312 3 nn 所以 1 11 312 3 nn 于是 1 12 11111313 1 1 33232 nn n aaa 所以 12 1113 2 n aaa 35 解析 设 n a的公比为q 依题意得 1 4 1 3 81 a q a q 解得 1 1 3 a q 因此 1 3n n a 因为 3 log1 nn ban 数列 n b的前n项和 2 1 22 n n n bbnn S 36 解析 因为 2 3 2 n nn S 所以 1 a 1 1S 当2n 时 1 32 nnn aSSn 又1n 时 所以数列 n a 的通项公式为32 n an 要使得 mn aaa 1 成等比数列 只需要 2 1nm aa a 即 22 32 1 32 342nmmnn 即 而此时 Nm 且 mn 所以对任意1 n 都有 Nm 使得 mn aaa 1 成等比数列 37 解析 由题意可知 21 213 2 43 aa aaa 即 11 2 111 2 43 a qa a qaa q 解得 1 1 3 a q 所以 1 331 1 32 nn n S 故 1 1 a 3q 31 2 n n S 38 解析 设等比数列 n a的公比为q 因为 2 2S 3 S 4 4S成等差数列 所以 3243 24SSSS 即 4324 SSSS 可得 43 2aa 于是 4 3 1 2 a q a 又 1 3 2 a 所以等比数列 n a的通项公式为 1 1 313 1 222 n n n n a