理科数学2010-2019高考真题分类训练26专题九解析几何第二十六讲椭圆—附解析答案

专题九 解析几何 第二十六讲 椭圆 2019 年 1 2019 全国 I 理 10 已知椭圆 C 的焦点为 12 1 01 0FF 过 F2的直线与 C 交于 A B 两点 若 22 2 AFF B 1 ABBF 则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 2 2019 全国 II 理 21 1 已知点 A 2 0 B 2 0 动点 M x y 满足直线 AM 与 BM 的斜 率之积为 1 2 记 M 的轨迹为曲线 C 1 求 C 的方程 并说明 C 是什么曲线 3 2019 北京理 4 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 1 2 则 A 22 2ab B 22 34ab C 2ab D 3 4ab 4 2019 全国 III 理 15 设 12 FF 为椭圆 C 22 1 3620 xy 的两个焦点 M 为 C 上一点且在第 一象限 若 12 MFF 为等腰三角形 则 M 的坐标为 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 已知 1 F 2 F是椭圆 22 22 1 0 x y Cab ab 的左 右焦点 A是C的 左顶点 点P在过A且斜率为 3 6 的直线上 12 PFF为等腰三角形 12 120 FF P 则C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 2 2018 上海 设P是椭圆 22 1 53 xy 上的动点 则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A 2 2 B 2 3 C 2 5 D 4 2 3 2017 浙江 椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 4 2017 新课标 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右顶点分别为 1 A 2 A 且以线段 12 A A为直径的圆与直线20bxayab 相切 则C的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 5 2016 年全国 III 已知 O 为坐标原点 F 是椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点 A B 分别为 C 的左 右顶点 P 为 C 上一点 且 PF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交 于点 M 与 y 轴交于点 E 若直线 BM 经过 OE 的中点 则 C 的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 6 2016 年浙江 已知椭圆 1 C 2 2 2 1 x y m 1m 与双曲线 2 C 2 2 2 1 x y n 0n 的焦 点重合 1 e 2 e分别为 1 C 2 C的离心率 则 A mn 且 1 2 1ee B mn 且 1 2 1ee C mn 且 1 2 1ee D mn 且 1 2 1ee 7 2014 福建 设QP 分别为 26 2 2 yx和椭圆1 10 2 2 y x 上的点 则QP 两点间 的最大距离是 A 25 B 246 C 27 D 26 8 2013 新课标 1 已知椭圆x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 的右焦点为 F 3 0 过点 F 的直线交椭圆于 A B 两点 若 AB 的中点坐标为 1 1 则 E 的方程为 A x 2 45 y2 36 1 B x 2 36 y2 27 1 C x 2 27 y2 18 1 D x 2 18 y2 9 1 9 2012 新课标 设 1 F 2 F是椭圆E 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点 P为直线 2 3a x 上一点 12PF F 是底角为 o 30的等腰三角形 则E的离心率为 A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 5 4 二 填空题 10 2018 浙江 已知点 0 1 P 椭圆 2 2 4 x ym 1m 上两点A B满足2APPB 则当m 时 点B横坐标的绝对值最大 11 2018 北京 已知椭圆 22 22 1 0 xy Mab ab 双曲线 22 22 1 xy N mn 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭圆M的离心率为 双曲线N的离心率为 12 2016 江苏省 如图 在平面直角坐标系xOy中 F是椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦 点 直线 2 b y 与椭圆交于 B C两点 且90BFC 则该椭圆的离心率是 F CB O y x 13 2015 新课标 1 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点 且圆心在x的正半轴上 则 该圆的标准方程为 14 2014 江西 过点 1 1 M作斜率为 1 2 的直线与椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 相交 于 A B两点 若M是线段AB的中点 则椭圆C的离心率等于 15 2014 辽宁 已知椭圆C 22 1 94 xy 点M与C的焦点不重合 若M关于C的焦 点的对称点分别为A B 线段MN的中点在C上 则 ANBN 16 2014 江西 设椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C的左右焦点为 21 FF 作 2 F作x轴的垂 线与C交于BA 两点 BF1与y轴相交于点D 若BFAD 1 则椭圆C的离心率 等于 17 2014 安徽 设 21 F F分别是椭圆 10 1 2 2 2 b b y xE的左 右焦点 过点 1 F的 直线交椭圆E于BA 两点 若xAFBFAF 211 3轴 则椭圆E的方程为 18 2013 福建 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别为 21 F F 焦距为c2 若 直线 3yxc 与椭圆 的一个交点M满足 1221 2FMFFMF 则该椭圆的离 心率等于 19 2012 江西 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分别 是 12 F F 若 1121 AFFFFB成等比数列 则此椭圆的离心率为 20 2011 浙江 设 12 F F分别为椭圆 2 2 1 3 x y 的左 右焦点 点 A B在椭圆上 若 12 5F AF B 则点A的坐标是 三 解答题 21 2018 全国卷 设椭圆 C 2 2 1 2 x y的右焦点为F 过F的直线l与C交于A B两 点 点M的坐标为 2 0 1 当l与x轴垂直时 求直线AM的方程 2 设O为坐标原点 证明 OMAOMB 22 2018 全国卷 已知斜率为k的直线l与椭圆C 22 1 43 xy 交于A B两点 线 段AB的中点为 1 Mm 0 m 1 证明 1 2 k 2 设F为C的右焦点 P为C上一点 且FPFAFB 0 证明 FA FP FB成等差数列 并求该数列的公差 23 2018 天津 设椭圆 22 22 1 xx ab 0ab 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的离 心率为 5 3 点A的坐标为 0 b 且6 2FBAB 1 求椭圆的方程 2 设直线l 0 ykx k 与椭圆在第一象限的交点为P 且l与直线AB交于点Q 若 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ O 为原点 求 k 的值 24 2017 新课标 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 四点 1 1 1 P 2 0 1 P 3 3 1 2 P 4 3 1 2 P 中恰有三点在椭圆C上 1 求C的方程 2 设直线l不经过 2 P点且与C相交于A B两点 若直线 2 P A与直线 2 P B的斜率的和 为1 证明 l过定点 25 2017 新课标 设O为坐标原点 动点M在椭圆C 2 2 1 2 x y 上 过M做x轴 的垂线 垂足为N 点P满足2NPNM 1 求点P的轨迹方程 2 设点Q在直线3x 上 且1OP PQ 证明 过点P且垂直于OQ的直线l过 C的左焦点F 26 2017 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆E 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 点P在椭圆E上 且位 于第一象限 过点 1 F作直线 1 PF的垂线 1 l 过点 2 F作直线 2 PF的垂线 2 l 1 求椭圆E的标准方程 2 若直线 1 l 2 l的交点Q在椭圆E上 求点P的坐标 27 2017 天津 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为 1 2 已 知A是抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F到抛物线的准线l的距离为 1 2 求椭圆的方程和抛物线的方程 设l上两点P Q关于x轴对称 直线AP与椭圆相交于点B B异于点A 直线BQ与x轴相交于点D 若APD 的面积为 6 2 求直线AP的方程 28 2017 山东 在平面直角坐标系xOy中 椭圆E 22 22 1 xy ab 0ab 的离心率为 2 2 焦距为2 求椭圆E的方程 如图 动直线l 1 3 2 yk x 交椭圆E于 A B两点 C是椭圆E上一点 直线OC 的斜率为 2 k 且 12 2 4 k k M是线段OC延长线上一点 且 2 3MCAB M的半径为MC OS OT是M的两条切线 切点分别为 S T 求SOT 的 最大值 并求取得最大值时直线l的斜率 C T S O M B A l x y 29 2016 年北京 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 0 A a 0 Bb 0 0 O OAB的面积为 1 求椭圆C的方程 设P是椭圆C上一点 直线PA与y轴交于点M 直线PB与x轴交于点N 求证 ANBM 为定值 30 2015 新课标 2 已知椭圆 C 222 9xym 0m 直线l不过原点 O 且不平行于 坐标轴 l 与 C 有两个交点 A B 线段 AB 的中点为 M 证明 直线 OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值 若 l 过点 3 m m 延长线段 OM 与 C 交于点 P 四边形 OAPB 能否为平行四边 行 若能 求此时 l 的斜率 若不能 说明理由 31 2015 北京 已知椭圆C 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 点 0 1P 和点 A mn 0m 都在椭圆C上 直线PA交x轴于点M 求椭圆C的方程 并求点M的坐标 用m n表示 设O为原点 点B与点A关于x轴对称 直线PB交x轴于点N 问 y轴上是 否存在点Q 使得OQMONQ 若存在 求点Q的坐标 若不存在 说明 理由 32 2015 安徽 设椭圆E的方程为 22 22 10 xy ab ab 点O为坐标原点 点A的坐 标为 0a 点B的坐标为 0 b 点M在线段AB上 满足2BMMA 直线OM 的斜率为 5 10 求E的离心率e 设点C的坐标为 0b N为线段AC的中点 点N关于直线AB的对称点 的纵坐标为 7 2 求E的方程 33 2015 山东 平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 为 3 2 左 右焦点分别是 1 F 2 F 以 1 F为圆心以 3 为半径的圆与以 2 F为圆心以 1 为半径的圆相交 且交点在椭圆C上 求椭圆C的方程 设椭圆E 22 22 1 44 xy ab P为椭圆C上任意一点 过点P的直线 ykxm 交椭圆E于 A B两点 射线PO交椭圆E于点Q i 求 OQ OP 的值 ii 求 ABQ面积的最大值 34 2014 新课标 1 已知点A 0 2 椭圆E 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 F是椭圆E的右焦点 直线AF的斜率为 2 3 3 O为坐标原点 求E的方程 设过点A的动直线l与E相交于 P Q两点 当OPQ 的面积最大时 求l的方 程 35 2014浙江 如图 设椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C动直线l与椭圆C只有一个公共点 P 且点P在第一象限 已知直线l的斜率为k 用kba 表示点P的坐标 若过原点O的直线 1 l与l垂直 证明 点P到直线 1 l的距离的最大值为ba x y P l1 l O 36 2014 新课标 2 设 1 F 2 F分别是椭圆C 2 2 22 10 y x ab ab 的左 右焦点 M 是C上一点且 2 MF与x轴垂直 直线 1 MF与C的另一个交点为N 若直线MN的斜率为 3 4 求C的离心率 若直线MN在y轴上的截距为 2 且 1 5MNFN 求 a b 37 2014 安徽 设 1 F 2 F分别是椭圆E 2 2 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点 过点 1 F 的直线交椭圆E于 A B两点 11 3 AFBF 若 2 4 ABABF 的周长为 16 求 2 AF 若 2 3 cos 5 AF B 求椭圆E的离心率 38 2014山东 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 直线yx 被椭圆C截得的线段长为 4 10 5 求椭圆C的方程 过原点的直线与椭圆 C 交于 A B 两点 A B 不是椭圆 C 的顶点 点 D 在椭 圆 C 上 且ADAB 直线 BD 与x轴 y轴分别交于 M N 两点 设直线 BD AM 的斜率分别为 12 k k 证明存在常数 使得 12 kk 并求 出 的值 求OMN 面积的最大值 39 2014 湖南 如图 5 O为坐标原点 双曲线 22 111 22 11 1 0 0 xy Cab ab 和椭圆 22 222 22 22 1 0 xy Cab ab 均过点 2 3 1 3 P 且以 1 C的两个顶点和 2 C的两个 焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形 求 12 C C的方程 是否存在直线l 使得l与 1 C交于 A B两点 与 2 C只有一个公共点 且 OAOBAB 证明你的结论 40 2014 四川 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab 0ab 的焦距为 4 其短轴的两个端点 与长轴的一个端点构成正三角形 求椭圆 C 的标准方程 设 F 为椭圆 C 的左焦点 T 为直线3x 上任意一点 过 F 作 TF 的垂线交椭 圆 C 于点 P Q i 证明 OT 平分线段 PQ 其中 O 为坐标原点 ii 当 TF PQ 最小时 求点 T 的坐标 41 2013安徽 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的焦距为4 且过点 23 P 求椭圆 C 的方程 设 0000 0 Q x yx y 为椭圆C上一点 过点Q作x轴的垂线 垂足为E 取 点 0 2 2 A 连接AE 过点A作AE的垂线交x轴于点D 点G是点D关于 y轴的对称点 作直线QG 问这样作出的直线QG是否与椭圆 C 一定有唯一 的公共点 并说明理由 42 2013 湖北 如图 已知椭圆 1 C与 2 C的中心在坐标原点O 长轴均为MN且在x轴上 短轴长分别为2m 2 n mn 过原点且不与x轴重合的直线l与 1 C 2 C的四个交点 按纵坐标从大到小依次为 A B C D 记 m n BDM和 ABN的面积分别为 1 S 和 2 S 当直线l与y轴重合时 若 12 SS 求 的值 当 变化时 是否存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 12 SS 并说明理由 43 2013 天津 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 离心率为 3 3 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3 3 求椭圆的方程 O x y B A 第 20 题图 C D M N 设 A B 分别为椭圆的左 右顶点 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C D 两点 若 8AC DBADCB 求 k 的值 44 2013 山东 椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点分别是 12 F F 离心率为 3 2 过 1 F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 l 求椭圆C的方程 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连接 12 PF PF 设 12 FPF 的角平分 线PM交C的长轴于点 0M m 求m的取值范围 在 的条件下 过点P作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个 公共点 设直线 12 PF PF的斜率分别为 12 k k 若0k 试证明 12 11 kkkk 为定 值 并求出这个定值 45 2012 北京 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的一个顶点为 2 0 A 离心率为 2 2 直线 1yk x 与椭圆C交于不同的两点 M N 求椭圆C的方程 当 AMN 得面积为 10 3 时 求k的值 46 2013 安徽 如图 21 F F分别是椭圆C 2 2 a x 2 2 b y 1 0 ba 的左 右焦点 A 是椭圆C的顶点 B是直线 2 AF与椭圆C的另一个交点 1 F A 2 F 60 x y O A F1 F2 B 求椭圆C的离心率 已知 ABF1的面积为 403 求 a b 的值 47 2012 广东 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心 率 2 3 e 且椭圆C上的点到 0 2 Q的距离的最大值为 3 求椭圆C的方程 在椭圆C上 是否存在点 M m n使得直线l 1mxny 与圆 O 22 1xy 相交于不同的两点 A B 且OAB 的面积最大 若存在 求出点M的坐标及 相对应的OAB 的面积 若不存在 请说明理由 48 2011 陕西 设椭圆 C 22 22 10 xy ab ab 过点 0 4 离心率为 3 5 求 C 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的中点坐标 49 2011 山东 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 2 2 1 3 x Cy 如图所示 斜率为 0 k k 且不过原点的直线l交椭圆C于A B两点 线段AB的中点为E 射线OE 交椭圆C于点G 交直线3x 于点 3 Dm 求 22 mk 的最小值 若 2 OGOD OE i 求证 直线l过定点 ii 试问点B G能否关于x轴对称 若能 求出此时ABG的外接圆方程 若 不能 请说明理由 G x y E 3 l B A O D 50 2010 新课标 设 1 F 2 F分别是椭圆 E 2 x 2 2 y b 1 01b 的左 右焦点 过 1 F 的直线l与E相交于A B两点 且 2 AF AB 2 BF成等差数列 求AB 若直线l的斜率为 1 求b的值 51 2010 辽宁 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB 求椭圆 C 的离心率 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 专题九 解析几何 第二十六讲 椭圆 答案部分 1 解析解析 如图所示 设 2 BFx 则 2 2AFx 所以 2 3BFABx 由椭圆定义 12 2BFBFa 即42xa 又 12 24AFAFax 2 2AFx 所以 1 2AFx 因此点 A 为椭圆的上顶点 设其坐标为 0 b 由 22 2AFBF 可得点 B 的坐标为 3 22 b 因为点 B 在椭圆 22 22 10 xy ab ab 上 所以 2 91 1 44a 解得 2 3a 又1c 所以 2 2b 所以椭圆方程为 22 1 32 xy 故选 B 2 解析 解析 1 由题设得 1 222 yy xx 化简得 22 1 2 42 xy x 所以 C 为中心在 坐标原点 焦点在 x 轴上的椭圆 不含左右顶点 3 解析解析 由题意 1 2 c e a 得 2 2 1 4 c a 则 22 2 1 4 ab a 所以 222 44aba 即 22 34ab 故选 B 4 解析解析 设 M m n 0m n 椭圆 C 22 1 3620 xy C 的6a 2 5b 2c y x F2F1 O B A 2 3 c e a 由于 M 为 C 上一点且在第一象限 可得 12 MFMF 12 MFF 为等腰三角形 可能 1 2MFc 或 2 2MFc 即有 2 68 3 m 即3m 15n 2 68 3 m 即30m 舍去 可得 3 15 M 2010 2018 年 1 D 解析 由题意可得椭圆的焦点在x轴上 如图所示 O y x P F2F1A 设 12 2 FFc 所以 12 PFF为等腰三角形 且 12 120 FF P 212 2PFFFc 2 OFc 点P坐标为 2 cos60 2 sin60 ccc 即点 2 3 Pcc 点P在过点A 且斜率为 3 6 的直线上 33 26 c ca 解得 1 4 c a 1 4 e 故选 D 2 C 解析 由题意 2 5 a 5 a 由椭圆的定义可知 P到该椭圆的两个焦点的距离 之和为22 5 a 故选 C 3 B 解析 由题意可知 2 9a 2 4b 222 5cab 离心率 5 3 c e a 选 B 4 A 解析 以线段 12 A A为直径的圆是 222 xya 直线20bxayab 与圆相切 所以圆心到直线的距离 22 2ab da ab 整理为 22 3ab 即 22222 323aacac 即 2 2 2 3 c a 6 3 c e a 故选 A 5 A 解析 设 0 Em 则直线AE的方程为1 xy ab 由题意可知 mc Mc m a 0 2 m 和 0 B a三点共线 则 22 mcmm m a ca 化简得3ac 则C的离心率 1 3 c e a 故选 A 6 A 解析 由题意知 22 11mn 即 22 2mn 2222 2 1 2 2222 1111 2 mnnn ee mnnn 42 4242 211 11 22 nn nnnn 所以 1 2 1ee 故选 A 7 D 解析 由题意可设 10cos sin Q 圆的圆心坐标为 0 6 C 圆心到Q的距离 为 222 2 10cos sin6 509 sin 505 2 3 CQ 当且仅 当 2 sin 3 时取等号 所以 maxmax 5 226 2PQCQr 所以QP 两点间的最大距离是6 2 8 D 解析 设 1122 A x yB xy 则 12 xx 2 12 yy 2 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab AB k 12 12 yy xx 2 12 2 12 bxx ayy 2 2 b a 又 AB k 0 1 3 1 1 2 2 2 b a 1 2 又 9 2 c 22 ab 解得 2 b 9 2 a 18 椭圆方程为 22 1 189 xy 故选 D 9 C 解析 21 F PF是底角为30的等腰三角形 221 33 2 2 24 c PFF Facce a 10 5 解析 设 11 A x y 22 B xy 由2APPB 得 12 12 2 12 1 xx yy 即 12 2xx 12 32yy 因为点A B在椭圆上 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 4 x xm x ym 得 2 13 44 ym 所以 2222 22 1591 32 5 44 4244 xmymmm 所以当5m 时 点B横坐标的绝对值最大 最大值为 2 11 312 解析 设椭圆的右焦点为 0 F c 双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象 限内的交点为A 由题意可知 3 22 cc A 由点A在椭圆M上得 22 22 3 1 44 cc ab 222222 34b ca ca b 222 bac 22222222 34 ac ca ca ac 4224 480aa cc 42 8 40ee 椭椭 2 42 3e 椭 31e 椭 舍去 或3 1e 椭 椭圆M的离心率3 1 双曲线的渐近线过点 3 22 cc A 渐近线方程为3yx 故双曲线的离心率 22 2 2 mn e m 双 y x A FO 12 6 3 解析 由题意得 0F c 直线 2 b y 与椭圆方程联立可得 3 22 a b B 3 22 a b C 由90BFC 可得0BF CF 3 22 ab BFc 3 22 ab CFc 则 222 31 0 44 cab 由 222 bac 可得 22 31 42 ca 则 26 33 c e a 13 22 325 24 xy 解析 由题意圆过 4 0 0 2 0 2 三个点 设圆心为 0 a 其中0a 由 2 44 aa 解得 3 2 a 所以圆的方程为 22 325 24 xy 14 2 2 解析 设 11 A x y 22 B xy 分别代入椭圆方程相减得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 根据题意有 1212 2 2xxyy 且 12 12 1 2 yy xx 所以 22 221 0 2ab 得 22 2ab 整理 22 2ac 所以 2 2 e 15 12 解析 设MN交椭圆于点P 连接 1 FP和 2 F P 利用中位线定理可得ANBN 12 222 2412FPF Paa 16 3 3 解析 由题意可得 2 b A c a 2 b B c a 由题意可知点D为 1 FB的中点 所 以点D的坐标为 2 0 2 b a 由BFAD 1 所以 1 1 ADF B kk 整理得 2 32bac 解得 3 3 e 17 22 3 1 2 xy 解析 由题意得通径 2 2 AFb 点 B 坐标为 2 51 33 c Bb 将点 B 坐标带入椭圆方程得 22 2 2 1 5 3 1 3 b c b 又 22 1bc 解得 2 2 2 3 1 3 b c 椭圆方程为 22 3 1 2 xy 18 13 解析 由题意可知 21F MF 中 90 30 60 211221 MFFFMFFMF 所以有 12 21 2 2 21 2 2 2 1 3 2 2 MFMF aMFMF cFFMFMF 整理得13 a c e 故答案为13 19 5 5 解析 由椭圆的性质可知 1 AFac 12 2FFc 1 FBac 又已知 1 AF 12 FF 1 FB成等比数列 故 2 2 ac acc 即 222 4acc 则 22 5ac 故 5 5 c e a 即椭圆的离心率为 5 5 20 0 1 解析 设点A的坐标为 m n B点的坐标为 c d 12 2 0 2 0 FF 可得 1 2 F Amn 2 2 F Bcd 12 5F AF B 6 2 55 mn cd 又点 A B在椭圆上 2 2 1 3 m n 2 2 6 2 5 1 35 m n 解得0 1mn 点A的坐标是 0 1 21 解析 1 由已知得 1 0 F l的方程为1 x 由已知可得 点A的坐标为 2 1 2 或 2 1 2 所以AM的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx 2 当l与x轴重合时 0OMAOMB 当l与x轴垂直时 OM为AB的垂直平分线 所以OMAOMB 当l与x轴不重合也不垂直时 设l的方程为 1 0 yk xk 1221 AyxyxB 则 1 2 x 2 2 x 直线MA MB的斜率之和为 2 12 1 22 MAMB xx yy kk 由 11 ykxk 22 ykxk得 1212 12 23 4 2 2 MAMB x xxxkk xx k kk 将 1 yk x 代入 2 2 1 2 x y 得 2222 21 4220kxk xk 所以 2 1 2 2 4 21 k k xx 2 1 2 2 22 21 x k k x 则 3 1 3 1 3 22 2 441284 23 40 21 kkkkk kkk k x xxx 从而0 MAMB kk 故MA MB的倾斜角互补 所以OMAOMB 综上 OMAOMB 22 解析 1 设 11 A x y 22 B xy 则 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 两式相减 并由 12 12 yy k xx 得 1212 0 43 xxyy k 由题设知 12 1 2 xx 12 2 yy m 于是 3 4 k m 由题设得 3 0 2 m 故 1 2 k 2 由题意得 1 0 F 设 33 P x y 则 331122 1 1 1 0 0 xyxyxy 由 1 及题设得 312 3 1xxx 312 20yyym 又点P在C上 所以 3 4 m 从而 3 1 2 P 3 2 FP 于是 2 222 11 111 1 1 3 1 2 42 xx FAxyx 同理 2 2 2 x FB 所以 12 1 4 3 2 FAFBxx 故2 FPFAFB 即 FA FP FB成等差数列 设该数列的公差为d 则 2 121212 11 2 4 22 dFBFAxxxxx x 将 3 4 m 代入 得1k 所以l的方程为 7 4 yx 代入C的方程 并整理得 2 1 7140 4 xx 故 12 2xx 12 1 28 x x 代入 解得 3 21 28 d 所以该数列的公差为 3 21 28 或 3 21 28 23 解析 设椭圆的焦距为2c 由已知知 2 2 5 9 c a 又由 222 abc 可得23ab 由已知可得 FB a 2ABb 由6 2FBAB 可得6ab 从而3a 2b 所以 椭圆的方程为 22 1 94 xy 2 设点P的坐标为 11 x y 点Q的坐标为 22 xy 由已知有 12 0yy 故 12 sinPQAOQyy 又因为 2 sin y AQ OAB 而 4 OAB 故 2 2AQy 由 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ 可得 12 59yy 由方程组 22 1 94 ykx xy 消去x 可得1 2 6 94 k y k 易知直线AB的方程为20 xy 由方程组 20 ykx xy 消去x 可得 2 2 1 k y k 由 12 59yy 可得 2 5 1 3 94kk 两边平方 整理得 2 5650110kk 解得 1 2 k 或 11 28 k 所以 k的值为 111 228 或 24 解析 1 由于 3 P 4 P两点关于 y 轴对称 故由题设知 C 经过 3 P 4 P两点 又由 2222 1113 4abab 知 C 不经过点 1 P 所以点 2 P在 C 上 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab 解得 2 2 4 1 a b 故 C 的方程为 2 2 1 4 x y 2 设直线 2 P A与直线 2 P B的斜率分别为 1 k 2 k 如果l与x轴垂直 设l xt 由题设知0t 且 2t 可得 A B 的坐标分别为 t 2 4 2 t t 2 4 2 t 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt 得2t 不符合题设 从而可设l ykxm 1m 将ykxm 代入 2 2 1 4 x y 得 222 41 8440kxkmxm 由题设可知 22 16 41 0km 设 11 A x y 22 B xy 则 12 2 8 41 km xx k 2 12 2 44 41 m x x k 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2 1 kx xmxx x x 由题设 12 1kk 故 1212 21 1 0kx xmxx 即 2 22 448 21 1 0 4141 mkm km kk 解得 1 2 m k 当且仅当1m 时 0 欲使l 1 2 m yxm 即 1 1 2 2 m yx 所以l过定点 2 1 25 解析 1 设 P x y 00 M xy 则 0 0 N x 0 NPxxy 0 0 NMy 由2NPNM 得 0 xx 0 2 2 yy 因为 00 M xy在C上 所以 22 1 22 xy 因此点P的轨迹方程为 22 2xy 2 由题意知 1 0 F 设 3 Qt P m n 则 3 OQt 1 PFmn 3 3OQ PFmtn OPm n 3 PQm tn 由1OP PQ 得 22 31mmtnn 又由 1 知 22 2mn 故3 30m tn 所以0OQ PF 即OQPF 又过点P存在唯一直线垂直与OQ 所以过点P且 垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 26 解析 1 设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 所以 1 2 c a 2 2 8 a c 解得2 1ac 于是 22 3bac 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 2 由 1 知 1 1 0 F 2 1 0 F 设 00 P xy 因为点P为第一象限的点 故 00 0 0 xy 当 0 1x 时 2 l与 1 l相交于 1 F 与题设不符 当 0 1x 时 直线 1 PF的斜率为 0 0 1 y x 直线 2 PF的斜率为 0 0 1 y x 因为 11 lPF 22 lPF 所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y 直线 2 l的斜率为 0 0 1x y 从而直线 1 l的方程 0 0 1 1 x yx y 直线 2 l的方程 0 0 1 1 x yx y 由 解得 2 0 0 0 1 x xxy y 所以 2 0 0 0 1 x Qx y 因为点Q在椭圆上 由对称性 得 2 0 0 0 1x y y 即 22 00 1xy 或 22 00 1xy 又P在椭圆E上 故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 解得 00 4 73 7 77 xy 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 无解 因此点P的坐标为 4 7 3 7 77 27 解析 设F的坐标为 0 c 依题意 1 2 c a 2 p a 1 2 ac 解得1a 1 2 c 2p 于是 222 3 4 bac 所以 椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x 抛物线的方程为 2 4yx 设直线AP的方程为1 0 xmym 与直线l的方程1x 联立 可得点 2 1 P m 故 2 1 Q m 将1xmy 与 2 2 4 1 3 y x 联立 消去x 整理得 22 34 60mymy 解得0y 或 2 6 34 m y m 由点B异于点A 可得点 2 22 346 3434 mm B mm 由 2 1 Q m 可得直线BQ的方程为 2 22 62342 1 1 0 3434 mm xy mmmm 令0y 解得 2 2 23 32 m x m 故 2 2 23 0 32 m D m 所以 22 22 236 1 3232 mm AD mm 又因为APD 的面积为 6 2 故 2 2 1626 232 2 m mm 整理得 2 32 6 20mm 解得 6 3 m 所以 6 3 m 所以 直线AP的方程为3630 xy 或3630 xy 28 解析 I 由题意知 2 2 c e a 22c 所以2 1ab 因此椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y 设 1122 A x yB x y 联立方程 2 2 1 1 2 3 2 x y yk x 得 22 11 424 310kxk x 由题意知0 且 1 1212 2 2 1 1 2 31 212 21 k xxx x kk 所以 22 112 112 2 1 118 12 1 2 kk ABkxx k 由题意可知圆M的半径r为 22 11 2 1 1 1 8 22 2 332 1 kk rAB k 由题设知 12 2 4 k k 所以 2 1 2 4 k k 因此直线OC的方程为 1 2 4 yx k 联立方程 2 2 1 1 2 2 4 x y yx k 得 2 221 22 11 81 1414 k xy kk 因此 2 221 2 1 18 14 k OCxy k 由题意可知 1 sin 2 1 SOTr OCrOC r 而 2 1 2 1 22 11 2 1 18 14 1182 2 321 k OCk r kk k 2 1 22 11 123 2 4 141 k kk 令 2 1 12tk 则 1 1 0 1t t 因此 22 2 33131 1 22211 21 119 2 24 OC t r tt tt t 当且仅当1 1 2t 即2t 时等号成立 此时 1 2 2 k 所以 1 sin 22 SOT 因此 26 SOT 所以SOT 最大值为 3 综上所述 SOT 的最大值为 3 取得最大值时直线l的斜率为 1 2 2 k 29 解析 由题意得 1 2 1 2 3 222 cba ab a c 解得1 2 ba 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 y x 由 知 1 0 0 2 BA 设 00 yxP 则44 2 0 2 0 yx 当0 0 x时 直线PA的方程为 2 2 0 0 x x y y 令0 x 得 2 2 0 0 x y yM 从而 2 2 11 0 0 x y yBM M 直线PB的方程为1 1 0 0 x x y y 令0 y 得 1 0 0 y x xN 从而 1 22 0 0 y x xAN N 所以 2 2 1 1 2 0 0 0 0 x y y x BMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4 当0 0 x时 1 0 y 2 2 ANBM 所以4 BMAN 综上 BMAN 为定值 30 解析 设直线 l ykxb 0 0 kb 11 A x y 22 B xy MM M xy 将ykxb 代入 222 9xym 得 2222 9 20kxkbxbm 故 12 2 29 M xxkb x k 2 9 9 MM b ykxb k 于是直线OM的斜率 9 M OM M y k xk 即9 OM kk 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 四边形OAPB能为平行四边形 因为直线l过点 3 m m 所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k 3k 由 得OM的方程为 9 yx k 设点P的横坐标为 P x 由 222 9 9 yx k xym 得 22 2 2 981 P k m x k 即 2 39 P km x k 将点 3 m m的坐标代入直线l的方程得 3 3 mk b 因此 2 3 3 9 M mk k x k 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分 即2 PM xx 于是 2 39 km k 2 3 2 3 9 mk k k 解得 1 47k 2 47k 因为0 3 ii kk 1i 2 所以当l的斜率为47 或47 时 四边形OAPB为 平行四边形 31 解析 由题意得 222 1 2 2 b c a abc 解得 2 a 2 故椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 设M N x 0 因为0m 所以11n 直线PA的方程为 1 1 n yx m 所以 M x 1 m n 即 0 1 m M n 因为点B与点A关于x轴对称 所以 B mn 设 0 N N x 则 N x 1 m n 存在点 0 Q Qy使得OQM ONQ 等价 存在点 0 Q Qy使得 OM OQ OQ ON 即 Q y满足 2 QMN yxx 因为 1 M m x n 1 N m x n 2 2 1 2 m n 所以 2 2 2 2 1 QMN m yxx n 所以 Q y 2或2 Q y 故在y轴上存在点Q 使得OQM ONQ 点Q的坐标为 0 2 或 0 2 32 解析 1 由题设条件知 点M的坐标为 21 33 ab 又 5 10 OM k 从而 5 210 b a 进而得 22 5 2ab cabb 故 2 5 5 c e a 2 由题设条件和 I 的计算结果可得 直线AB的方程为1 5 xy bb 点N的坐 标为 51 22 bb 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 1 7 2 x 则线段NS的 中点T的坐标为 1 517 4244 x bb 又点T在直线AB上 且1 NSAB kk 从而 有 1 1 517 4244 1 5 71 22 5 5 2 x bb bb b b x 解得3b 所以3 5b 故椭圆E的方程为 22 1 459 xy 33 解析 由题意知42 a 则2 a 又 3 2 c a 222 acb 可得1 b 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 y x 由 I 知椭圆E的方程为1 416 22 yx i 设 00 OP OQ yxP 由题意知 00 yxQ 因为1 4 2 0 2 0 y x 又1 4 16 2 0 2 0 yx 即1 4 4 2 0 2 0 y x 所以2 即2 OP OQ ii 设 2211 yxByxA 将mkxy 代入椭圆E的方程 可得01648 41 222 mkmxxk 由0 可得 22 164km 则有 2 2 21 2 21 41 164 41 8 k m xx k km xx 所以 2 22 21 41 4164 k mk xx 因为直线mkxy 与y轴交点的坐标为 0 m 所以OAB 的面积 2 1 21 xxmS 2 22 41 4162 k mmk 2 222 41 416 2 k mmk 2 2 2 2 41 41 4 2 k m k m 令t k m 2 2 41 将mkxy 代入椭圆C的方程 可得 0448 41 222 mkmxxk 由0 可得 22 41km 由 可知 10 t 因此ttttS42 4 2 2 故 2 3S 当且仅当1 t时 即 22 41km 时取得最大值32 由 i 知 ABQ 面积为S3 所以ABQ 面积的最大值为36 34 解析 22 3 c 0 3 3 Fc c I 设 由条件知 得 222 3 2 1 2 c abac a 又所以 2 2 1 4 x Ey 故 的方程为 1122 2 lxl y kxP x yQ xy 当轴时不合题意 故设 2 2 21 4 x ykxy 将代入得 22 1 4 16120 kxkx 2 22 1 2 2 382 43 16 43 0 441 kk kkx k 当即时 22 2 12 2 4143 1 41 kk PQkxx k 从而 2 2 1 OPQdOPQ k 又点 到直线的距离所以的面积 2 2 14 43 241 OPQ k Sd PQ k 2 2 44 43 0 4 4 OPQ t kttS t t t 设则 47 4 20 2 ttk t 因为当且仅当 即时等号成立 且满足 OPQ 所以 当的面积最大时 的方程为 77 22 22 yxyx 或 35 解析 设直线l的方程为 0ykxm k 由 22 22 1 ykxm xy ab 消去y得 222222222 20ba kxa kmxa ma b 由于直线l与椭圆C只有一个公共点P 故0 即 2222 0bma k 解得点P的坐标为 22 222222 a kmb m ba kba k 由点P在第一象限 故点P的坐标为 22 222222 a kb ba kba k 由于直线 1 l过原点O 且与l垂直 故直线 1 l的方程为0 xky 所以点P到直线 1 l的距离 22 222222 2 1 a kb ba kba k d k 整理得 22 2 2222 2 ab d b baa k k 因为 2 22 2 2 b a kab k 所以 2222 2